六年級數學下冊 第4單元 正比例與反比例-第01講-正比例(教師版)（北師大）

高思愛提分演示（KJ)初中語文教師輔導講義[教師版]學員姓名寒假班 年級初一輔導科目初中語文學科教師李紅娟上課時間2020-02-0508:00:00-09:00:00 知識圖譜正比例知識精講一．認識變化的量1．生活中存在著許多相互依存的變化的量，一個量變化，另一個量也隨著變化．例如：①一天中的氣溫隨著時間的變化而變化；②汽車行駛的路程隨著時間的變化而變化；③生產總量隨著天數的變化而變化；④正方形的周長隨著邊長的變化而變化；⑤人的體重隨著年齡的變化而變化；．．．．．．．．二．正比例的意義1．兩個相關聯(lián)的量，一個量變化，另一個量也隨著變化，如果這兩個量中相對應的兩個數的比值（也就是商）一定，這樣的兩個量叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系；2．如果用字母xy表示兩個相關聯(lián)的量，用字母k表示它們的比值，正比例關系可以表示為．三．判斷兩個量是否成正比例關系的方法1．首先判斷兩個量是不是相關聯(lián)的量；2．再判斷兩個量中相對應的兩個數的比值是否一定；3．最后判斷出兩個量是否成正比例．四．成正比例關系的兩個量的圖形的特點1．成正比例關系的兩個相對應的量表示的各點在同一條直線上，即正比例圖形是一條直線；2．從圖象中可以直觀的看到兩個量的變化情況，同時根據圖象還可以在已知一個量的數量時，找出這一個量的對應數量．典型例題樂樂和爸爸的年齡變化情況如下，把表填寫完整．名師學堂

解題思路．爸爸的年齡隨著樂樂的年齡的增加而增加，所以爸爸的年齡與樂樂的年齡是兩個相關聯(lián)的量．把表格補充完整：，所以雖然爸爸和樂樂的年齡是兩個相關聯(lián)的量，但是這兩個量中相對應的兩個數的比值不固定，所以爸爸和樂樂的年齡不成正比例關系．正確答案．不成正比例三點剖析重點：正比例的意義、正比例關系圖像的特點和作用．難點：能正確判斷兩種量是否成正比例關系．易錯點：兩個相關聯(lián)的量相對應的兩個數的比值一定時，這兩種量才成正比例關系．認識變化的量例題例題1、下面是淘氣6～10歲的身高情況統(tǒng)計表：年齡／歲年齡／歲678910身高／cm110113125130136（1）表中有哪兩個變化的量？（2）這兩個變化的量是怎樣變化的？【答案】（1）表中有年齡和身高這兩個變化的量．（2）身高隨著年齡的增長而增長．【解析】（1）表中有年齡和身高這兩個變化的量．（2）身高隨著年齡的增長而增長．例題2、周末，小明到公園蕩秋千，秋千的高度的變化情況可以用下圖來表示．（1）小明蕩秋千的過程中，到達的最高點是多少米？最低點是多少米？（2）蕩秋千的第一個起落過程中，什么時間范圍內高度在增加？什么時間范圍內高度在降低？（3）到達最高點后，下一次再到達最高點需要經過幾秒鐘？【答案】（1）最高點：3.6米；最低點：0.6米（2）0~6秒；6~12秒（3）12秒【解析】（1）最高點：3.6米；最低點：0.6米（2）0~6秒；6~12秒（3）12秒例題3、看題填表。小華家距小剛家390m，兩人同時從家出發(fā)相向而行，小華每分鐘走60m，小剛每分鐘走70m。兩個人走的時間和路程的變化情況表兩個人走的時間和路程的變化情況表走的時間小華走的路程小剛走的路程現在兩人的距離1分鐘2分鐘3分鐘【答案】60m，70m，260m，120m，140m，130m，180m，210m，0m【解析】60m，70m，260m，120m，140m，130m，180m，210m，0m例題4、小剛購買蘋果的質量和應付的錢數如下表所示：購買蘋果的質量／購買蘋果的質量／kg0.5123456應付的錢數／元24812162024（1）表中購買蘋果的質量和應付的錢數是如何變化的？（2）用a（a＞0）表示購買蘋果的質量，用b表示應付的錢數，用式子表示出購買蘋果的質量a與應付的錢數b之間的關系．【答案】（1）應付的錢數隨購買蘋果的質量的增加而增加．（2）=4【解析】（1）應付的錢數隨購買蘋果的質量的增加而增加．（2）=4隨練隨練1、小紅看《水滸傳》的時間和頁數如下表：時間／天時間／天123…頁數／頁265278…表中（）和（）在發(fā)生變化，（）隨著（）的變化而變化．時間越多，所看的頁數就越（）；反之，時間越少，所看的頁數就越（）．【答案】時間，頁數，頁數，時間，多，少【解析】時間，頁數，頁數，時間，多，少隨練2、科學課后，笑笑觀察了學校旗桿影子長度與時間的關系，制成下表：時間／時時間／時78910影子長度／m12.11064.3笑笑由此總結：影子會越來越短，也就是從日出到日落，旗桿影子由長變短．她的總結對嗎？為什么？【答案】不對，因為從早晨到中午，旗桿影子逐漸變短；從中午到傍晚，旗桿影子逐漸變長．【解析】點撥：如果事物變化具有周期性規(guī)律，應對周期內的變化情況做出完整記錄．笑笑只記錄了上午影子的變化，沒有記錄下午影子的變化．隨練3、小明今年8歲，媽媽36歲，根據這個信息把下表填寫完整．小明小明／歲1358122025媽媽／歲36（1）表中（）與（）在發(fā)生變化，（）不變．（2）如果用x表示媽媽的年齡，用y表示小明的年齡，那么小明的年齡和媽媽的年齡的關系表示為（）．【答案】29；31；33；40；48；53（1）小明的年齡；媽媽的年齡；年齡差（2）y=x-28【解析】29；31；33；40；48；53（1）小明的年齡；媽媽的年齡；年齡差（2）y=x-28正比例的意義例題例題1、除數一定，被除數和商成正比例關系．（）【答案】√【解析】√例題2、如果x＝6y（y≠0），那么x和y成（）比例關系．【答案】正【解析】正例題3、填空．（1）為提高自身的閱讀能力，學生們積極訂閱書刊，認真閱讀．某書店銷售《小學生天地》的份數和總價如下表：份數／份份數／份123456…總價／元306090120150180…①表中（）和（）是相關聯(lián)的量，（）增加，（）也隨著增加．②總價與份數這兩個相關聯(lián)的量中相對應的兩個數的比值都是（），這個比值實際上是（）．③因為總價與份數的比值一定，所以表中的兩種量叫做成（）的量．（2）路程與時間的比值是（），當這個比值一定時，（）和（）成（）比例關系．【答案】（1）①份數總價份數總價②30《小學生天地》的單價③正比例（2）速度路程時間正【解析】（1）①份數總價份數總價②30《小學生天地》的單價③正比例（2）速度路程時間正例題4、下面是王奶奶家去年下半年每月用水的水費情況．月份月份789101112用水量／噸161815141213水費／元44.850.44239.233.636.4（1）分別寫出各月水費與用水量的比，比較比值的大?。?）這個比值表示的意義是什么？（3）水費與相對應的用水量成正比例關系嗎？為什么？【答案】（1）（2）比值2.8表示每噸水的價錢（3）成正比例關系．因為水費相對應的用水量的比值一定．【解析】（1）（2）比值2.8表示每噸水的價錢（3）成正比例關系．因為水費相對應的用水量的比值一定．隨練隨練1、看表填一填．時間／時時間／時235710路程／km100150250350500（）和（）是兩個變化的量，變化的規(guī)律是（），路程和時間成（）比例．【答案】時間，路程，路程和時間的比值一定，正【解析】時間，路程，路程和時間的比值一定，正隨練2、填空．已知x和y是正比例關系，根據表中條件，填寫下表．xx41248y6912【答案】xx412182448y2691224【解析】xx412182448y2691224隨練3、填一填．（1）乘船的人數與所付船費如下表．人數人數1234船費／元5101520①表格中的（）和（）是兩種相關聯(lián)的量，船費隨著（）的變化而變化．②船費與人數兩種量中相對應的兩個數的比值是（），這個比值實際上是（）．③因為每人的（）一定，所以（）和（）成（）比例關系．（2）兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著（），如果這兩種量中（）的兩個數的（）一定，這兩種量就叫做成正比例關系的量．（3）如果用x和y表示兩種相關聯(lián)的量，用k表示它們的比值（一定），正比例關系可以用式子表示為（）．（4）因為（一定），所以總價和數量成（）比例關系．（5）因為（一定），所以（）和（）成（）比例關系．【答案】（1）①人數船費人數②5每人付的船費③船費船費人數正（2）變化相對應比值（3）（一定）（4）單價正（5）工作總量工作時間工作總量【解析】（1）①人數船費人數②5每人付的船費③船費船費人數正（2）變化相對應比值（3）（一定）（4）單價正（5）工作總量工作時間工作總量判斷兩種量是否成正比例關系的方法例題例題1、選擇．（將正確答案的字母填在括號里）（1）下列各組中兩種量不成正比例關系的是（）．A．人的身高與年齡B．y＝5x，y和xC．工作效率一定，工作總量和工作時間D．圓的周長與直徑（2）甲數的與乙數的相等（甲、乙均不為0），甲數與乙數（）．A．成正比例關系B．不成正比例關系C．無法判斷【答案】【解析】（1）A（2）A例題2、下表中關于正方體的一些數量，哪兩種量成正比例關系？說明理由．棱長／棱長／cm1234底面積／cm214916表面積／cm26245496體積／cm3182764質量／g7.862.4210.6499.2【答案】正方體的表面積和底面積成正比例關系．因為：表面積÷底面積=6.正方體的質量與體積成正比例關系．因為：質量÷體積=每立方厘米的質量（一定）．【解析】正方體的表面積和底面積成正比例關系．因為：表面積÷底面積=6.正方體的質量與體積成正比例關系．因為：質量÷體積=每立方厘米的質量（一定）．例題3、下面是6位同學家4月份的用電情況．住戶住戶張亮家李亮家李青家冉莊家小紅家小立家用電且／千瓦時152024293032電費／元8.251113.2（1）根據表中的數據找規(guī)律，把上表填寫完整．（2）表中變化的量有幾種？它們的變化規(guī)律是什么？（3）寫出表中給出的已知的相關聯(lián)兩種量的比值，并說說比值表示什么？（4）表中的兩種相關聯(lián)的量成正比例關系嗎？為什么？【答案】（1）冉莊家：15.95小紅家：16.5小立家：17.6（2）表中變化的量有：用電量（單位：千瓦時）和電費（單位：元）兩種相關聯(lián)的量，它們的變化規(guī)律是：電費隨著用電量的增加而增加．（3）=0.55 =0.55=0.55，它們的比值表示每千瓦時電的價格（4）表中兩種相關聯(lián)的量成正比例關系．因為=每千瓦時電的價格（一定），所以電費和用電量成正比例關系【解析】（1）冉莊家：15.95小紅家：16.5小立家：17.6（2）表中變化的量有：用電量（單位：千瓦時）和電費（單位：元）兩種相關聯(lián)的量，它們的變化規(guī)律是：電費隨著用電量的增加而增加．（3）=0.55 =0.55=0.55，它們的比值表示每千瓦時電的價格（4）表中兩種相關聯(lián)的量成正比例關系．因為=每千瓦時電的價格（一定），所以電費和用電量成正比例關系例題4、在下面成正比例關系的兩個量的后面畫“√”．（1）平行四邊形的底一定，它的面積與高．（）（2）汽車行駛的速度一定，行駛的路程與時間．（）（3）正方形的面積和邊長．（）（4）訂閱《英語報》的份數和總錢數．（）（5）圓的周長和它的半徑．（）（6）4A＝12B（A、B均不為0），A和B．（）（7）圓的半徑和它的面積．（）（8）李玲的體重與她的身高．（）【答案】（1）√（2）√（3）（4）√（5）√（6）√（7）（8）【解析】（1）√（2）√（3）（4）√（5）√（6）√（7）（8）隨練隨練1、同一時間、同一地點，物體的影長與物體的高度成正比例關系．（）【答案】√【解析】√隨練2、判斷下面各題中的兩個量是否成正比例，并說明理由．（1）汽車行駛的速度一定，行駛的路程與時間．（2）一本書的頁數一定，看了的頁數與剩下的頁數．（3）小明的年齡和體重．【答案】（1）成正比例；（一定）（2）不成正比例；看了的頁數+剩下的頁數=一本的頁數（一定），但比值不一定（3）不成正比例；年齡和體重是兩種不相關聯(lián)的量【解析】（1）成正比例；（一定）（2）不成正比例；看了的頁數+剩下的頁數=一本的頁數（一定），但比值不一定（3）不成正比例；年齡和體重是兩種不相關聯(lián)的量隨練3、判斷：圓的直徑一定時，圓的周長與π成正比例．（）【答案】×【解析】點撥：=d．雖然C和π是相除關系，它們的比值也一定，但是π是一個固定的值，不是變量．所以當直徑一定時，周長也一定了，因此圓的周長與π不成正比例．正比例關系圖象的特點例題例題1、購買甲、乙兩種練習本的數量和總價的變化情況如下圖所示．（1）兩種練習本各買5本，分別需要多少元？（2）從圖上看，哪種練習本便宜些？【答案】（1）從題圖中可以看出，甲種練習本的單價是2元，乙種練習本的單價是1元，甲種練習本：2×5=10（元）乙種練習本：1×5=5（元）兩種練習本各買5本，分別需要10元和5元．（2）從題圖中來看，數量相同的情況下，乙種練習本的總價少一些，所以乙種練習本便宜些．【解析】（1）從題圖中可以看出，甲種練習本的單價是2元，乙種練習本的單價是1元，甲種練習本：2×5=10（元）乙種練習本：1×5=5（元）兩種練習本各買5本，分別需要10元和5元．（2）從題圖中來看，數量相同的情況下，乙種練習本的總價少一些，所以乙種練習本便宜些．例題2、甲、乙兩車行駛的路程和時間的關系如下圖．（1）從圖中可以看出，甲車行駛的路程與行駛的時間成什么比例關系？乙車呢？（2）如果甲、乙兩車從A．B兩地同時出發(fā)，相向而行，經過5小時相遇，A．B兩地相距多少千米？【答案】（1）因為=速度（一定），所以甲車行駛的路程與行駛的時間成正比例關系．同理，乙車行駛的路程與行駛的時間成正比例關系．點撥：甲車1小時行90km，2小時行180km……，==…=60．（2）甲車速度：=90（千米/時）乙車速度：=60（千米/時）（90+60）×5=750（km）【解析】（1）因為=速度（一定），所以甲車行駛的路程與行駛的時間成正比例關系．同理，乙車行駛的路程與行駛的時間成正比例關系．點撥：甲車1小時行90km，2小時行180km……，==…=60．（2）甲車速度：=90（千米/時）乙車速度：=60（千米/時）（90+60）×5=750（km）例題3、購買《典中點》的本數與總價的情況如下表．數量／本數量／本12357總價／元17.935.8（1）把上面的表格填寫完整．（2）根據表中數據，在下圖中描出購買《典中點》的總價和數量所對應的點，再把這些點依次連起來．（3）購買《典中點》的總價和數量成正比例關系嗎？為什么？【答案】（1）（2）（3）成正比例關系．因為=單價（一定），所以購買《典中點》的總價和數量成正比例關系．【解析】（1）數量/本12357總價/元17.935.853.789.5125.3（2）（3）成正比例關系．因為=單價（一定），所以購買《典中點》的總價和數量成正比例關系．例題4、張大伯從廠家進了一批不同的商品，現在全部按進價的200％出售．（1）填表．進價／元進價／元1020253540售價／元（2）完成下圖．（3）如果用戈x示進價，用y表示售價，那么y＝________．（4）售價與進價是否成正比例？為什么？【答案】（1）進價／元進價／元1020253540售價／元2040507080（2）（3）200%x（4）售價與進價成正比例，因為=200%（一定）【解析】（1）進價／元進價／元1020253540售價／元2040507080（2）（3）200%x（4）售價與進價成正比例，因為=200%（一定）隨練隨練1、選擇．（將正確答案的字母填在括號里）下圖中，表示正比例關系的圖象是（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】B隨練2、下面是電影院門票銷售數量與銷售金額的統(tǒng)計表．銷售數量／張銷售數量／張12345銷售金額／元1632486480淘氣把這兩個量的變化情況用如下圖象表示．淘氣表示的對嗎？如果你認為不對，請把圖象修改正確．【答案】淘氣表示的不對．修改正確的圖象如下：【解析】點撥：淘氣只畫了銷售數量為1-5張的圖象，是一條線段．應該將這條線段兩端延長，使其成為一條直線．隨練3、下面的圖象表示的是購買甲、乙兩種練習本的數量和總價的變化情況．（1）兩種練習本各買5本，分別需要多少元？（2）從圖上看，哪種練習本便宜些？【答案】（1）甲種練習本需要9.5元，乙種練習本需要5元．（2）乙種練習本便宜些．【解析】（1）甲種練習本需要9.5元，乙種練習本需要5元．（2）乙種練習本便宜些．拓展拓展1、下表是小蘭身高的變化情況．年齡年齡出生時6個月1周歲5周歲9周歲10周歲身高／cm507095125148153小蘭10周歲前身高是如何隨年齡增長而變化的．試著寫一寫．【答案】小蘭10周歲前身高是隨著年齡的增長而增高的【解析】小蘭10周歲前身高是隨著年齡的增長而增高的．拓展2、下面是某市2016年10月某一天氣溫變化統(tǒng)計圖．（1）圖中（）和（）是兩個相關聯(lián)的變化的量．（2）這一天中，最高氣溫是（）℃，最低氣溫是（）℃．（3）一天中，在（）時范圍內氣溫是上升的，在（）時范圍內氣溫保持不變，在（）時范圍內氣溫是下降的．【答案】（1）溫度；時間（2）28；16（3）0~14；14~16；16~24【解析】（1）溫度；時間（2）28；16（3）0~14；14~16；16~24拓展3、一輛汽車在高速公路上勻速行駛，所用的時間和行駛的路程如下表．時間／時時間／時0.20.40.60.81.6路程／千1）上表中哪些量在發(fā)生變化？（2）汽車行駛的路程是如何隨著行車時間的變化而變化的？（3）算一算，這輛汽車在高速公路上的行駛速度是多少？【答案】（1）時間；路程（2）時間延長，汽車行駛的路程也隨之更遠（3）140.2=70（千米/時）【解析】（1）時間；路程（2）時間延長，汽車行駛的路程也隨之更遠（3）140.2=70（千米/時）拓展4、周末，小明到公園蕩秋千，秋千高度的變化情況可以用下圖來表示．（1）小明蕩秋千的過程中，到達的最高點的高度是（）m，最低點的高度是（）m．（2）蕩秋千的第一個起落過程中，（）～（）秒高度在升高，（）～（）秒高度在降低．（3）到達最高點后，下一次再到達最高點需要經過（）秒．【答案】（1）3.6，0.6（2）0，6，6，12（3）12【解析】（1）3.6，0.6（2）0，6，6，12（3）12拓展5、在梯形中，面積和哪種量成正比例關系？【答案】如果梯形的高一定，那么面積與上下底的和成正比例關系；如果梯形的上下底的和一定，那么面積與高成正比例關系．【解析】如果梯形的高一定，那么面積與上下底的和成正比例關系；如果梯形的上下底的和一定，那么面積與高成正比例關系．拓展6、一輛汽車勻速行駛，其行駛的路程和耗油量如下表：耗油量／耗油量／L2458路程／km24486096（1）表中有哪兩個變化的量？（2）路程和耗油量的比值是多少？這個比值表示什么？（3）表中的路程和耗油量成什么關系？【答案】（1）耗油量和路程．（2）路程和耗油量的比值是12，這個比值表示汽車每消耗1L油能行駛12km．（3）表中的路程和耗油量成正比例關系．【解析】（1）耗油量和路程．（2）路程和耗油量的比值是12，這個比值表示汽車每消耗1L油能行駛12km．（3）表中的路程和耗油量成正比例關系．拓展7、填一填．（1）一種飲料，瓶數與總價如下表．瓶數瓶數1234總價／元3.5710.514從表中可以發(fā)現，總價與飲料瓶數的________（也就是________）相同，所以總價與飲料瓶數成________比例．（2）鐵塊的質量和體積如下表．質量／質量／kg7.815.623.431.2體積／dm31234從表中可以看出，鐵塊的質量與體積的________相同，所以鐵塊的質量和體積成________比例．（3）圓的半徑與它的周長、面積變化情況如下表，把表填寫完整．半徑／厘米半徑／厘米12345周長／厘米2π4π6π面積／平方厘米π4π9π從表中可以發(fā)現，圓的周長與它的半徑的比值________，所以圓的周長與它的半徑________；而圓的面積與它的半徑的比值________，所以圓的面積與它的半徑________．【答案】（1）比值；單價；正（2）比值；正（3）8；10；16；25；一定；成正比例；不一定；不成正比例【解析】（1）比值；單價；正（2）比值；正（3）8；10；16；25；一定；成正比例；不一定；不成正比例拓展8、幼兒園老師給小朋友們分餅干的情況如下表．人數人數123456餅干數／塊369121518說一說餅干數和小朋友的人數是否成正比例，并說明理由．【答案】餅干數和小朋友的人數成正比例，因為餅干數和小朋友的人數的比值是一定的．【解析】餅干數和小朋友的人數成正比例，因為餅干數和小朋友的人數的比值是一定的．拓展9、吳大爺在長2800米的濱江大道上散步，他行走的路程如下表：已行路程／米已行路程／米12035080015002300…剩下路程／米2680…（1）將上表填寫完整．（2）剩下路程隨已行路程的變化而變化嗎？變化過程中什么不變？（3）已行路程和剩下路程成正比例嗎？為什么？【答案】（1）2450；2000；1300；500（2）剩下路程隨已行路程的變化而變化；變化過程中總路程不變（3）已行路程與剩下路程不成正比例；理由：已行路程+剩下路程=總路程（一定），但比值不一定【解析】（1）2450；2000；1300；500（2）剩下路程隨已行路程的變化而變化；變化過