《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) 第4版》課件 9.1 數(shù)學(xué)建模簡介

1第九章綜合實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)9.1數(shù)學(xué)建模簡介實(shí)驗(yàn)9.2手機(jī)模型數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)9.3傳染病模型2實(shí)驗(yàn)9.1數(shù)學(xué)建模簡介一、數(shù)學(xué)建模的基本思想二、數(shù)學(xué)建模的要求和步驟實(shí)驗(yàn)9.1數(shù)學(xué)建模簡介三、應(yīng)用舉例3一、數(shù)學(xué)建模的基本思想數(shù)學(xué)模型是指對于現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對象，為了某個特定的目的，做出一些必要的簡化和假設(shè)，并運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).它可以是等式、不等式，也可以是圖表、圖像，框圖、命題或邏輯運(yùn)算、有效算法等.簡言之，數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)術(shù)語對部分現(xiàn)實(shí)世界的表述.實(shí)驗(yàn)9.1數(shù)學(xué)建模簡介它主要有解釋、判斷、預(yù)測和控制四大功能.1.數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模的概念4實(shí)驗(yàn)9.1數(shù)學(xué)建模簡介數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型來解決各種實(shí)際問題的過程.首先利用數(shù)學(xué)知識和實(shí)際問題的背景知識建立數(shù)學(xué)模型，然后通過數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)工具對模型分析求解，進(jìn)而再解釋和驗(yàn)證所得的解，最終為解決現(xiàn)實(shí)問題提供數(shù)據(jù)支持和理論指導(dǎo).數(shù)學(xué)建模用于解決實(shí)際問題往往是多次循環(huán)、不斷深化的過程，5實(shí)驗(yàn)9.1數(shù)學(xué)建模簡介是綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和計(jì)算機(jī)工具解決實(shí)際問題的過程，是各種應(yīng)用問題嚴(yán)密化、精確化、科學(xué)化的途徑，是發(fā)現(xiàn)問題、解決問題和探索真理的有力工具，是培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新人才的一個重要渠道.數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)和實(shí)踐過程可以培養(yǎng)和增強(qiáng)我們的自學(xué)能力、創(chuàng)新素質(zhì)以及堅(jiān)忍不拔的探索、求實(shí)精神,踐行理論與實(shí)踐相結(jié)合，學(xué)以致用，知行合一.6實(shí)驗(yàn)9.1數(shù)學(xué)建模簡介2.數(shù)學(xué)建模的意義數(shù)學(xué)是在實(shí)際應(yīng)用的需求中產(chǎn)生的，要解決實(shí)際問題就必需建立數(shù)學(xué)模型，因此，數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)一樣有古老歷史.歐幾里德幾何、牛頓萬有引力定律都是數(shù)學(xué)建模的光輝典范.新技術(shù)、新工藝蓬勃興起，計(jì)算機(jī)的普及和廣泛應(yīng)用，使得數(shù)學(xué)建模被時代賦予更為重要的意義.數(shù)學(xué)模型在分析與設(shè)計(jì)、預(yù)報與決策、控制與優(yōu)化、規(guī)劃與管理等各個方面都發(fā)揮著不可替代的作用.7實(shí)驗(yàn)9.1數(shù)學(xué)建模簡介二、數(shù)學(xué)建模的要求和步驟1.數(shù)學(xué)模型的一般要求對一個數(shù)學(xué)模型的基本要求，簡言之即為：簡練、精確、正確.(1)數(shù)學(xué)模型要盡可能的簡單，便于處理.模型必須作簡化，即非實(shí)際問題本質(zhì)的關(guān)系要省略.(2)數(shù)學(xué)模型要有足夠的精確度，能較準(zhǔn)確地反映實(shí)際問題本質(zhì)的性質(zhì)和關(guān)系.8實(shí)驗(yàn)9.1數(shù)學(xué)建模簡介保留實(shí)際問題的本質(zhì)的東西和關(guān)系，去掉非本質(zhì)的，并且要不影響反映現(xiàn)實(shí)的真實(shí)程度.(3)構(gòu)造數(shù)學(xué)模型的理論要正確，依據(jù)要充分，推理要嚴(yán)密，要充分利用科學(xué)規(guī)律來建立模型.9實(shí)驗(yàn)9.1數(shù)學(xué)建模簡介2.數(shù)學(xué)建模的一般步驟（1）模型準(zhǔn)備（2）模型假設(shè)根據(jù)對象的特征和建模目的，對問題進(jìn)行必要的、合理的簡化，抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，用精確的語言做出假設(shè)，是建模至關(guān)重要的一步.了解問題的背景，明確建模目的，弄清對象特征，做好建模的準(zhǔn)備.10（3）模型構(gòu)成用數(shù)學(xué)的語言、符號描述研究對象的內(nèi)在規(guī)律，構(gòu)造各個量間的等式關(guān)系或其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即構(gòu)成所研究問題的數(shù)學(xué)模型.會用到廣泛的數(shù)學(xué)知識，包括高等數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、圖論、排隊(duì)論、線性規(guī)劃、對策論等等.實(shí)驗(yàn)9.1數(shù)學(xué)建模簡介工具愈簡單愈有價值.11多數(shù)情況下，很難獲得數(shù)學(xué)模型的解析解，而只能得到它的數(shù)值解，這就需要應(yīng)用各種數(shù)值方法、軟件和計(jì)算機(jī).因此數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在這一步的作用便舉足輕重.（5）模型分析（4）模型求解實(shí)驗(yàn)9.1數(shù)學(xué)建模簡介有時候需要對模型的求解結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，如結(jié)果的誤差分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏度分析等.12（6）模型檢驗(yàn)并非所有模型都要檢驗(yàn).把求解和分析結(jié)果翻譯回到實(shí)際問題，與實(shí)際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性.（7）模型推廣及應(yīng)用將數(shù)學(xué)模型及其解應(yīng)用于實(shí)際問題，可推廣到解決更多的類似問題，也可對模型進(jìn)行進(jìn)一步深化研究.實(shí)驗(yàn)9.1數(shù)學(xué)建模簡介13數(shù)學(xué)建模過程和步驟,可畫成下述框圖：實(shí)驗(yàn)9.1數(shù)學(xué)建模簡介上述步驟只是數(shù)學(xué)建模過程的一個大致的描述，實(shí)際建模時可以靈活應(yīng)用.14實(shí)驗(yàn)9.1數(shù)學(xué)建模簡介三、應(yīng)用舉例1.航行問題例1甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?解:

step1模型假設(shè)（作出簡化假設(shè)，并用符號表示有關(guān)量：假設(shè)船速、水速為勻速）：設(shè)x

表示船速，y

表示水速.15實(shí)驗(yàn)9.1數(shù)學(xué)建模簡介step2模型構(gòu)成（用物理定律列出數(shù)學(xué)式子.定律：勻速運(yùn)動的距離＝速度×?xí)r間）：則有step3模型求解（求解得到數(shù)學(xué)解答）：解得step4模型應(yīng)用（回答原問題）：所以船速是每小時20千米.16實(shí)驗(yàn)9.1數(shù)學(xué)建模簡介2.椅子問題例2四條腿一樣長的椅子一定能在不平的地面上放平穩(wěn)嗎？分析：step1模型假設(shè)（將文字轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，并做出合理假設(shè)，同時用符號表示有關(guān)量）.（1）椅子四條腿一樣長，椅子腳與地面的接觸處視為一個點(diǎn)，四腳連線呈正方形；

（2）地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷（沒有臺階那樣的情況），即視地面為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面；

17實(shí)驗(yàn)9.1數(shù)學(xué)建模簡介（3）地面起伏不是很大，椅子在任何位置至少有三只腳同時著地.如圖所示，設(shè)椅腳的連線為正方形ABCD，對角線AC與x軸重合，坐標(biāo)原點(diǎn)O在椅子中心，當(dāng)椅子繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，對角線AC

變?yōu)锳'C'，A'C'與x軸的夾角為θ.18step2模型構(gòu)成（運(yùn)用數(shù)學(xué)語言把條件和結(jié)論表現(xiàn)出來）：由于正方形的中心對稱性，只要設(shè)兩個距離函數(shù)就行,記A、C

兩腳與地面距離之和為f(θ),

B、D

兩腳與地面距離之和為g(θ).

實(shí)驗(yàn)9.1數(shù)學(xué)建模簡介顯然因此椅子和地面的距離之和可令由假設(shè)（2）知f(θ)、g(θ)為連續(xù)函數(shù)，因此h(θ)也為連續(xù)函數(shù).19由假設(shè)（3）得：實(shí)驗(yàn)9.1數(shù)學(xué)建模簡介對任意θ，都有則該問題歸結(jié)為：已知連續(xù)函數(shù)且求證至少存在一個使得：step3模型求解（即要找出）：20證：不妨設(shè)則有令即旋轉(zhuǎn)90o，對角線