第11講導(dǎo)數(shù)中的新定義問題（教師版）

第11講導(dǎo)數(shù)中的新定義問題（核心考點(diǎn)精講精練）命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題結(jié)合新定義載體而定，難度一般或較大，分值為5分【備考策略】1熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義及基本運(yùn)算2能結(jié)合實(shí)際題目理解導(dǎo)數(shù)新定義的概念及運(yùn)算3能結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識進(jìn)行綜合求解【命題預(yù)測】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容,也是高考壓軸題之一，而導(dǎo)數(shù)新定義更加考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，需綜合復(fù)習(xí)知識講解新定義問題的解決策略第一步，讀懂定義，如果有幾何意義可以考慮圖象，如果考慮不了就按照定義轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，并進(jìn)行化簡;第二步，數(shù)形結(jié)合借助圖象解決問題，如果不能借助圖像就用代數(shù)的方法求解，可以考慮轉(zhuǎn)化思想，將新定義問題和自己所學(xué)的知識結(jié)合起來轉(zhuǎn)化為自己熟悉的知識進(jìn)而求解考點(diǎn)一、導(dǎo)數(shù)中的新定義問題1．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）定義方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“奮斗點(diǎn)”.若函數(shù)，的“奮斗點(diǎn)”分別為，，則，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求導(dǎo)，根據(jù)“奮斗點(diǎn)”的定義可得，，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在定理求出的范圍，由求出的范圍，從而可比較大小.【詳解】函數(shù)，得，由題意可得，，即.設(shè)，，因?yàn)?，所以，易得在上單調(diào)遞減且，，故.由，，由題意得：，易知，所以，因?yàn)?，所?故選:D.2．（2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模）現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率.函數(shù)的圖象在處的曲率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出、，代值計(jì)算可得出函數(shù)的圖象在處的曲率.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，，所?故選：D.3．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)，的定義域都是，直線與，的圖象分別交于，兩點(diǎn)，若線段的長度是不為的常數(shù)，則稱曲線，為“平行曲線”設(shè)，且，為區(qū)間的“平行曲線”其中，在區(qū)間上的零點(diǎn)唯一，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)題意可知函數(shù)函數(shù)是由函數(shù)的圖象經(jīng)過上下平移得到，設(shè)，結(jié)合，求出，即可得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得的取值范圍.【詳解】解：為區(qū)間的“平行曲線”，函數(shù)是由函數(shù)的圖象經(jīng)過上下平移得到，即，，，即，由，，令，在區(qū)間上的零點(diǎn)唯一，與函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一的交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即，故的取值范圍是，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義，考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力．解題關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線有唯一交點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的性質(zhì)．1．（2022·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測）（多選）我們把形如的方程稱為微分方程，符合方程的函數(shù)稱為微分方程的解，下列函數(shù)為微分方程的解的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求得導(dǎo)函數(shù)，代入微分方程檢驗(yàn)即可．【詳解】選項(xiàng)A，，則，，不是解；選項(xiàng)B，，，，是方程的解；選項(xiàng)C，，，，不是方程的解；選項(xiàng)D，，，，是方程的解．故選：CD．2．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）（多選）若函數(shù)的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，使得在這兩點(diǎn)處的切線重合，則稱函數(shù)為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中是“切線重合函數(shù)”的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，確定切線斜率，選項(xiàng)AB，過圖象最高點(diǎn)（或最低點(diǎn)）處的切線是同一條直線，可判斷，選項(xiàng)C，由導(dǎo)函數(shù)斜率相等的點(diǎn)有無數(shù)組，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，確定斜率為1的切線，可判斷結(jié)論，選項(xiàng)D，導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，因此不存在斜率相等的兩點(diǎn)，這樣易判斷結(jié)論．【詳解】對A，，，時(shí)，，取得最大值，直線是函數(shù)圖象的切線，且過點(diǎn)，所以函數(shù)是“切線重合函數(shù)”；對B，，，時(shí)，，，，此時(shí)是函數(shù)的最大值，直線是函數(shù)圖象的切線，且過點(diǎn)，函數(shù)是“切線重合函數(shù)”；對C，，，時(shí)，，，過點(diǎn)的切線方程是，即，因此該切線過圖象上的兩個(gè)以上的點(diǎn)，函數(shù)是“切線重合函數(shù)”；對D，，，令，則，所以即是R上增函數(shù)，因此函數(shù)圖象上不存在兩點(diǎn)，它們的切線斜率相等，也就不存在切線過圖象上的兩點(diǎn)，因此函數(shù)不是“切線重合函數(shù)”．故選：ABC．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題關(guān)鍵是理解新定義，實(shí)質(zhì)仍然是求函數(shù)圖象上的切線方程，只是要考慮哪些切線重合，因此本題中含有三角函數(shù)，對三角函數(shù)來講，其最高點(diǎn)或最低點(diǎn)是首選，對其它與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)，涉及到其中三角函數(shù)的最大值或最小值點(diǎn)也是我們首選考慮的．3．（2023·重慶沙坪壩·重慶一中?？寄M預(yù)測）定義一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)一點(diǎn)處的彈性為，請寫出一個(gè)定義在正實(shí)數(shù)集上且任意一點(diǎn)處的彈性均為的可導(dǎo)函數(shù)．【答案】（答案不唯一）【分析】由整理得，可構(gòu)造函數(shù)，可得，可得，可得.【詳解】由題意，當(dāng)，，整理得設(shè)，則，故，為常數(shù)，由得故答案為：（答案不唯一）4．（2022·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測）給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作.②若，定義.③若函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對于任一有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式.例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開式為.根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：(1)求出在點(diǎn)處的階泰勒展開式，并直接寫出在點(diǎn)處的階泰勒展開式；(2)比較（1）中與的大小.(3)證明：.【答案】(1),；(2)答案見解析；(3)證明過程見解析.【分析】（1）根據(jù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式的定義可直接求得結(jié)果；（2）令，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，結(jié)合可得的正負(fù)，由此可得與的大小關(guān)系；（3）令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，即；①當(dāng)時(shí)，由，，可直接證得不等式成立；②當(dāng)時(shí)，分類討論，由此可證得不等式成立.【詳解】（1），，，，，，，即；同理可得：；（2）由（1）知：，，令，則，，，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；，，在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（3）令，則，，在上單調(diào)遞增，又，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即；在點(diǎn)處的階泰勒展開式為：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，①當(dāng)時(shí)，由（2）可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，，，，當(dāng)，由（2）可知，所以，，即有；當(dāng)時(shí)，，所以，時(shí)，單調(diào)遞減，從而，即．綜上所述：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)中的新定義問題，關(guān)鍵是審題時(shí)明確階泰勒展開式的具體定義；本題在證明不等式成立時(shí)的關(guān)鍵是能夠根據(jù)原函數(shù)與其在處的階泰勒展開式的大小關(guān)系，利用放縮的方法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.8．（2022·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，求切線方程；(2)設(shè)定義在上的函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，對任意，若在上恒成立，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“好點(diǎn)”，求函數(shù)在上所有“好點(diǎn)”的橫坐標(biāo)（結(jié)果用表示）.【答案】(1)(2)橫坐標(biāo)【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及斜率公式建立方程可求解；（2）根據(jù)題中的新定義，表達(dá)出，再通過研究其單調(diào)性得到最值，從而判斷“好點(diǎn)”的橫坐標(biāo).(1)當(dāng)時(shí)，，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程為：因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，代入原點(diǎn)坐標(biāo)可得：令，則，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，所以，且當(dāng)時(shí)，，所以的解唯一，即，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，切線方程為：.(2)設(shè)點(diǎn)是函數(shù)上一點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線為，則令，所以，①當(dāng)，即時(shí)，，則時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，故，即：，不滿足，所以時(shí)，不是函數(shù)在上的好點(diǎn).②當(dāng)，即時(shí)，i）若，即，此時(shí)：當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，不滿足，所以當(dāng)時(shí)，不是函數(shù)在上的好點(diǎn)ii），即，此時(shí)：當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，不滿足，所以當(dāng)時(shí)，不是函數(shù)在上的好點(diǎn).iii）當(dāng)，即，此時(shí)：時(shí)，恒成立，所以在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，即，所以時(shí)：當(dāng)時(shí)，，即，所以時(shí)，即對任意，，所以當(dāng)時(shí)，是函數(shù)在上的好點(diǎn).綜上所述，在上存在好點(diǎn)，橫坐標(biāo).【點(diǎn)睛】解決導(dǎo)數(shù)的幾何意義的關(guān)鍵一是要看清是求在某點(diǎn)處的切線還是過某點(diǎn)求切線；解決恒成立的問題的實(shí)質(zhì)是解決單調(diào)性和最值，這一般要分類討論.【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2023春·遼寧大連·高三瓦房店市高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在數(shù)學(xué)中，泰勒公式是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式.如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來近似函數(shù)在一點(diǎn)的鄰域中的值，常見的公式有：；.則利用泰勒公式估計(jì)的近似值為（

）（精確到）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，可得，分別計(jì)算當(dāng)時(shí)，前幾項(xiàng)的計(jì)算結(jié)果，可得答案.【詳解】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得，因?yàn)椋?，，所以，故選：B.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成了一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.簡單來說就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】結(jié)合“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的概念，轉(zhuǎn)化為方程有根的問題，對于選項(xiàng)A、C，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)最值，即可判斷，對于選項(xiàng)B，利用零點(diǎn)存在性定理判斷，對于選項(xiàng)D，直接根據(jù)方程無根判斷.【詳解】對于A：令，即，令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，所以，所以方程無根，所以函數(shù)不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故A不正確；對于B：令，即，令，函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，且，由零點(diǎn)存在性定理知，函數(shù)在上有零點(diǎn)，即有根，所以函數(shù)是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故B正確；對于C：令，即，令，則，得，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，所以，所以方程無根，所以函數(shù)不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故C不正確；對于D：令，即，而，所以方程無根，所以函數(shù)不是“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故D不正確；故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：方程的有解問題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可直接求方程的根，或者利用零點(diǎn)存在性定理判斷，也可構(gòu)造新函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)的零點(diǎn)問題，有時(shí)還可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)問題.二、多選題3．（2022秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記，若在上恒成立，則稱在上為凸函數(shù)，以下四個(gè)函數(shù)在上是凸函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)“二階導(dǎo)函數(shù)”的概念，結(jié)合導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式求解即可.【詳解】對于A，，當(dāng)時(shí)，，，故A錯(cuò)誤；對于B，在恒成立，故B正確；對于C，在恒成立，故C正確；對于D，，因?yàn)椋?，所以恒成立，故D正確.故選：BCD.4．（2022秋·廣東深圳·高三深圳中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若存在，使得．則稱為函數(shù)在上的“中值點(diǎn)”．下列函數(shù)，其中在區(qū)間上至少有兩個(gè)“中值點(diǎn)”的函數(shù)為（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】求出，逐項(xiàng)判斷方程在上的根的個(gè)數(shù)，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，，，由，所以，，當(dāng)時(shí)，，如下圖所示：由圖可知，直線與曲線在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，A選項(xiàng)滿足條件；對于B選項(xiàng)，，，由，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故方程在上不可能有兩個(gè)根，B不滿足條件；對于C選項(xiàng)，，，由，可得，解得，故函數(shù)在上只有一個(gè)“中值點(diǎn)”，C選項(xiàng)不滿足條件；對于D選項(xiàng)，，，由，可得，故函數(shù)在上有兩個(gè)“中值點(diǎn)”，D滿足條件.故選：AD.5．（2022秋·福建廈門·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若存在使得，則稱是的一個(gè)“新駐點(diǎn)”，下列函數(shù)中，具有“新駐點(diǎn)”的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求出各個(gè)選項(xiàng)中的導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合“新駐點(diǎn)”的定義，逐個(gè)求解是否有解即可【詳解】根據(jù)“新駐點(diǎn)”的定義，即判斷方程是否有解.選項(xiàng)A.,則,可得，故有新駐點(diǎn).選項(xiàng)B.,則可得或，故有新駐點(diǎn).選項(xiàng)C.，由，設(shè)，所以在上單調(diào)遞增.由，所以存在，使得所以函數(shù)有新駐點(diǎn).選項(xiàng)D.，由,顯然無解,故無新駐點(diǎn).故選：ABC6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記、分別為函數(shù)、的導(dǎo)函數(shù)，若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個(gè)“點(diǎn)”，則下列說法正確的為（

）A．函數(shù)與存在唯一“點(diǎn)”B．函數(shù)與存在兩個(gè)“點(diǎn)”C．函數(shù)與不存在“點(diǎn)”D．若函數(shù)與存在“點(diǎn)”，則【答案】ACD【分析】令，求出，利用“點(diǎn)”的定義逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】令.對于A選項(xiàng)，，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，所以，，此時(shí)，函數(shù)與存在唯一“點(diǎn)”，A對；對于B選項(xiàng)，，則，函數(shù)的定義域?yàn)?，令可得，且，所以，函?shù)與不存在“點(diǎn)”，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，，則，令可得，解得或，但，，此時(shí)，函數(shù)與不存在“點(diǎn)”，C對；對于D選項(xiàng)，，其中，則，若函數(shù)與存在“點(diǎn)”，記為，則，解得，D對.故選：ACD.7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）定義是的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.可以證明，任意三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”和對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是其對稱中心，請你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題，其中正確命題是（）A．存在有兩個(gè)及兩個(gè)以上對稱中心的三次函數(shù)B．函數(shù)的對稱中心也是函數(shù)的一個(gè)對稱中心C．存在三次函數(shù)，方程有實(shí)數(shù)解，且點(diǎn)為函數(shù)的對稱中心D．若函數(shù)，則【答案】BCD【分析】根據(jù)三次函數(shù)拐點(diǎn)與對稱中心關(guān)系研究判斷A、B；由題設(shè)定義，求解是否存在三次函數(shù)，使有實(shí)數(shù)解判斷C；利用定義找到對稱中心，應(yīng)用對稱性求函數(shù)值判斷D.【詳解】A：設(shè)三次函數(shù)，易知是一次函數(shù)，所以任何三次函數(shù)只有一個(gè)對稱中心，故不正確；B：由已知，由得：，函數(shù)的對稱中心為，又，得，故的對稱中心是的一個(gè)對稱中心，故正確；C：設(shè)，則，聯(lián)立得：，即時(shí)，存在三次函數(shù)，有實(shí)數(shù)解，且為的對稱中心，故正確；D：由題設(shè)，令得：，則，∴函數(shù)的對稱中心是，則，設(shè)，所以，所以，故正確.故選：BCD.三、填空題8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖像的對稱中心，若函數(shù)，則.【答案】8090【分析】本題首先可根據(jù)得出，從而，然后令，求出對稱中心，，最后根據(jù)即可求出算式.【詳解】由題意因?yàn)?，所以，，令，解得，，由題意得對稱中心為，所以，，故答案為：8090.9．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線y＝f（x）在點(diǎn)（x，f（x））處的曲率，則曲線在（1，1）處的曲率為；正弦曲線（x∈R）曲率的平方的最大值為.【答案】1【分析】（1）由題意，求導(dǎo)，代入公式，可得答案；（2）由題意，整理曲率的函數(shù)解析式，換元求導(dǎo)，求最值，可得答案.【詳解】（1）由題意得，，則，，則.（2）由題意得，，，∴，令，則，令，則，顯然當(dāng)t∈[1,2]時(shí)，，p（t）單調(diào)遞減，所以，∴的最大值為1.故答案為：，1.四、雙空題10．（2022秋·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.設(shè)函數(shù)，則的拐點(diǎn)為，.【答案】2022【分析】空1，令，解得．計(jì)算即可得出；空2，由于函數(shù)的對稱中心為．可得．即可得出．【詳解】，故，，令，解得：，而，故函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)是；由于函數(shù)的對稱中心為，則函數(shù)圖像上的點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)也在函數(shù)圖像上，即．．．故答案為：，2022．【能力提升】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)三次函數(shù)的圖象都有對稱中心，其中滿足，已知函數(shù)，則（

）A．2021 B． C．2022 D．【答案】B【分析】通過條件，先確定函數(shù)圖象的對稱中心點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)對稱性求出函數(shù)值的和.【詳解】由，可得，，令，得，又，所以對稱中心為，所以，…，，.所以．故選：B.2．（2022秋·山東青島·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為，在區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)為.若在區(qū)間上，恒成立，則稱函數(shù)在區(qū)間上為“凸函數(shù)”.已知實(shí)數(shù)是常數(shù)，.若對滿足的任何一個(gè)實(shí)數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上都為“凸函數(shù)”，則的最大為（

）A．3 B．2 C．1 D．1【答案】B【分析】根據(jù)題意，求出，問題轉(zhuǎn)化為恒成立，進(jìn)而解得答案.【詳解】由題意，，，根據(jù)“凸函數(shù)”的定義，原問題可以轉(zhuǎn)化為：即對任意的恒成立，將m視作自變量，x視作參數(shù)，則，解得，解得，由，故.故選：B.二、多選題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)容，定理如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)，使得，稱為函數(shù)在閉區(qū)間上的中值點(diǎn)，若關(guān)于函數(shù)在區(qū)間上“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為，函數(shù)在區(qū)間上“中值點(diǎn)”個(gè)數(shù)為，則有（

）（參考數(shù)據(jù)：，，，.）A． B． C． D．【答案】BC【分析】先求出由拉格朗日中值定理可得數(shù)形結(jié)合判斷該方程的隔壁的個(gè)數(shù)即為“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)的值，對于由拉格朗日中值定理可得數(shù)形結(jié)合判斷方程的根的個(gè)數(shù)即為“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)的值，即可得正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)在閉區(qū)間上的中值點(diǎn)為，由，由拉格朗日中值定理可得：，因?yàn)?，所以，可得，，即作出函?shù)和的圖象如圖：由圖可知，函數(shù)和的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程在上有兩個(gè)解，即函數(shù)在區(qū)間上有個(gè)中值點(diǎn)，所以，，函數(shù)在區(qū)間上“中值點(diǎn)”為，由拉格朗日中值定理可得：，因?yàn)椋?，所以作出函?shù)與的圖象如圖：當(dāng)時(shí)，，由圖可知函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有一個(gè)交點(diǎn)，即方程在區(qū)間上有一個(gè)根，所以函數(shù)在區(qū)間上有個(gè)“中值點(diǎn)”，所以，故選：BC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷函數(shù)零點(diǎn)（方程的根）個(gè)數(shù)的方法（1）直接法：令，如果能求出解，那么有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn)；（2）利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理：利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理時(shí)，不僅要求函數(shù)的圖象在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，并且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)，（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；（3）圖象法：畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；將函數(shù)拆成兩個(gè)函數(shù)，和的形式，根據(jù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)和的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（4）利用函數(shù)的性質(zhì)：若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到，若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則需要求出在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)周期性則可以得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).4．（2023秋·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）定義：如果函數(shù)在上存在，（），滿足，則稱，為上的“對望數(shù)”.已知函數(shù)為上的“對望函數(shù)”.下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)在任意區(qū)間上都不可能是“對望函數(shù)”B．函數(shù)是上的“對望函數(shù)”C．函數(shù)是上的“對望函數(shù)”D．若函數(shù)為上的“對望函數(shù)”，則在上單調(diào)【答案】ABC【分析】根據(jù)“對望函數(shù)”的定義，代入具體函數(shù)依次判斷，可判斷A，B，C；若函數(shù)為上的“對望函數(shù)”，則在上必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，可判斷D.【詳解】對于A，因?yàn)槭菃握{(diào)遞增函數(shù)，所以在上不可能存在，（），滿足，所以函數(shù)在任意區(qū)間上都不可能是“對望函數(shù)”，故A正確；對于B，，，令，得，，且，所以函數(shù)是上的“對望函數(shù)”，故B正確；對于C，，，令，得，因此存在，使得，所以函數(shù)是上的“對望函數(shù)”，故C正確；對于D，若函數(shù)為上的“對望函數(shù)”，則在上必有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC5．（2022秋·湖南長沙·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若存在，則稱為二元函數(shù)在點(diǎn)處對x的偏導(dǎo)數(shù)，記為；若存在，則稱為二元函數(shù)在點(diǎn)處對y的偏導(dǎo)數(shù)，記為.若二元函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．的最小值為D．的最小值為【答案】ABD【分析】根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行分析計(jì)算，，可判斷AB；，的最小值為，由于，構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)可求出的最小值可判斷CD.【詳解】因?yàn)椋?，），所以，則，故A選項(xiàng)正確；又，所以，故B選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，令（），，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，從而當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為，故D選項(xiàng)正確.故選：ABD.6．（2023·安徽淮北·高三?？奸_學(xué)考試）經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)的圖象都只有一個(gè)對稱中心點(diǎn)，其中是的根，是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù).若函數(shù)圖象的對稱點(diǎn)為，且不等式對任意恒成立，則（

）A． B． C．的值可能是 D．的值可能是【答案】ABC【解析】求導(dǎo)得，故由題意得，，即，故.進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為，由于，故，進(jìn)而得，即，進(jìn)而得ABC滿足條件.【詳解】由題意可得，因?yàn)椋?，所以，解得，?因?yàn)?，所以等價(jià)于.設(shè)，則，從而在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，即，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立），從而，故.故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意得，進(jìn)而將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，再結(jié)合得，進(jìn)而得.考查運(yùn)算求解能力與化歸轉(zhuǎn)化思想，是難題.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）定義：在區(qū)間上，若函數(shù)是減函數(shù)，且是增函數(shù)，則稱在區(qū)間上是“弱減函數(shù)”.根據(jù)定義可得（

）A．在上是“弱減函數(shù)”B．在上是“弱減函數(shù)”C．若在上是“弱減函數(shù)”，則D．若在上是“弱減函數(shù)”，則【答案】BD【分析】根據(jù)在上的單調(diào)性可判斷A；根據(jù)“弱減函數(shù)”的概念，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可判斷BC;由“弱減函數(shù)”的概念可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，求導(dǎo)，分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最值即可判斷D.【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在上不是增函數(shù)，故A不滿足條件；對于B選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上是減函數(shù).令，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，故B滿足條件；對于C選項(xiàng)，若在上單調(diào)遞減，由，得，故的單調(diào)遞減區(qū)間為.若在上單調(diào)遞增，則.故若在上是“弱減函數(shù)”，則，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，若在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，即.令，則，令，則，則在上單調(diào)遞減，故.故，在上單調(diào)遞減，.所以，解得.若在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，所以.令，則，所以在上單調(diào)遞增，.所以，解得.綜上，，故D正確.故選:BD.【點(diǎn)睛】總結(jié)點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．三、填空題8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）丹麥數(shù)學(xué)家琴生是世紀(jì)對數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.定義：函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為，在上的導(dǎo)函數(shù)為，若在上恒成立，則稱函數(shù)是上的“嚴(yán)格凸函數(shù)”，稱區(qū)間為函數(shù)的“嚴(yán)格凸區(qū)間”.則下列正確命題的序號為.①函數(shù)在上為“嚴(yán)格凸函數(shù)”；②函數(shù)的“嚴(yán)格凸區(qū)間”為；③函數(shù)在為“嚴(yán)格凸函數(shù)”，則的取值范圍為.【答案】①②.【分析】題中告訴了“嚴(yán)格凸函數(shù)”點(diǎn)的定義，那么在判斷①②③時(shí)，嚴(yán)格按照定義來解題.求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，以及的導(dǎo)函數(shù).對于①，只要證明在上恒成立；對于②，，所以，解得；對于③，在上恒成立，分離參數(shù)，，所以.【詳解】的導(dǎo)函數(shù)，，在上恒成立，所以函數(shù)在上為“嚴(yán)格凸函數(shù)”，所以①正確；的導(dǎo)函數(shù)，，，所以，解得，所以函數(shù)的“嚴(yán)格凸區(qū)間”為，所以②正確；的導(dǎo)函數(shù)，，，所以在上恒成立，即，設(shè)，則在單調(diào)遞增，所以，所以，所以③不正確；故答案為：①②.【點(diǎn)睛】準(zhǔn)確理解定義，對于①②③不同的問法，采取不同的解題方式，特別是③，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求最值問題.四、解答題9．（2022·湖南·模擬預(yù)測）設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若是定義域?yàn)镈的