物理系列教案《萬(wàn)有引力定律及應(yīng)用》

第3講萬(wàn)有引力定律及應(yīng)用★考情直播1.考綱要求考綱內(nèi)容能力要求考向定位1．萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用2．環(huán)繞速度3．第二宇宙速度和第三宇宙速度1．掌握萬(wàn)有引力定律的內(nèi)容，并能夠用萬(wàn)有引力定律求解相關(guān)問(wèn)題。2．理解第一宇宙速的意義。3．了解第二宇宙速度和第三宇宙速度萬(wàn)有引力定律是廣東高考的必考內(nèi)容，也是全國(guó)高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容?？忌炀氄莆赵摱傻膬?nèi)容，還要知道其主要應(yīng)用，要求能夠結(jié)合該定律與牛頓第二定律估算天體質(zhì)量、密度、計(jì)算天體間的距離（衛(wèi)星高度）、以及分析衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)軌道等相關(guān)問(wèn)題。要理解環(huán)繞速度實(shí)際上是衛(wèi)星在天體表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的線速度。由于高考計(jì)算題量減少，故本節(jié)命題應(yīng)當(dāng)會(huì)以選擇題為主，難度較以前會(huì)有所降低。2．考點(diǎn)整合考點(diǎn)1萬(wàn)有引力定律基本公式的理解1．萬(wàn)有引力定律：（1）內(nèi)容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的，兩個(gè)物體間的引力大小，跟它們的成正比，跟它們成反比．（2）公式：，G為萬(wàn)有引力常量，G=6.67×10-11N.m2/kg2．（3）適用條件：公式適用于間的相互作用．當(dāng)兩個(gè)物體間的距離物體本身的大小時(shí)，物體可視為質(zhì)點(diǎn)．2．物體在地球表面所受的重力與萬(wàn)有引力的關(guān)系：若不考慮地球自轉(zhuǎn)，物體在地球表面運(yùn)行時(shí)有，[特別提醒]：萬(wàn)有引力普遍存在于物體之間，但萬(wàn)有引力定律有其適用條件，。此外，要注意有些情況下萬(wàn)有引力可以略，例如微觀粒子間的萬(wàn)有引力。[例1]如圖所示，在一個(gè)半徑為R、質(zhì)量為M的均勻球體中，緊貼球的邊緣挖去一個(gè)半徑為R/2的球形空穴后，對(duì)位于球心和空穴中心連線上、與球心相距d的質(zhì)點(diǎn)m的引力是多大？[解析]把整個(gè)球體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力看成是挖去的小球體和剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力之和．其中完整的均質(zhì)球體對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)m的引力這個(gè)引力可以看成是：m挖去球穴后的剩余部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力F1與半徑為R/2的小球?qū)|(zhì)點(diǎn)的引力F2之和，即F=F1+F2．因半徑為R/2的小球質(zhì)量M/為.則所以挖去球穴后的剩余部分對(duì)球外質(zhì)點(diǎn)m的引力.【答案】考點(diǎn)2與天體有關(guān)的估算問(wèn)題在估算有關(guān)天體的一些物理量時(shí)應(yīng)緊扣兩個(gè)關(guān)鍵：①掌握一串公式：，以及質(zhì)量公式．②掌握一個(gè)模型：將天體或衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)看成運(yùn)動(dòng)，其向心力由提供．[特別提醒]：應(yīng)用萬(wàn)有引力定律能夠估算到的只是中心天體的質(zhì)量、密度等相關(guān)物理量，而對(duì)于繞行天體，則只能計(jì)算其運(yùn)動(dòng)的線速度、角速度、周期、向心加速度等。[例2]（2009湛師附中）[解析](1)利用彈簧秤測(cè)量物體m的重力F（2）在月球近地表面有，，在月球表面有，則有，【答案】(1)略（2），[規(guī)律總結(jié)]萬(wàn)有引力定律在天文上的典型應(yīng)用就是計(jì)算天體的質(zhì)量、密度、半徑，此時(shí)要緊口兩個(gè)關(guān)鍵：一是緊扣一個(gè)物理模型：就是將天體（或衛(wèi)星）的運(yùn)動(dòng)看成是勻速圓周運(yùn)動(dòng)；二是緊扣一個(gè)物體做圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征，即天體（或衛(wèi)星）的向心力由萬(wàn)有引力提供．考點(diǎn)3.描述天體運(yùn)動(dòng)的物理量之間的關(guān)系、衛(wèi)星變軌問(wèn)題1．描述天體運(yùn)動(dòng)的物理量主要有、、、與軌道半徑2．行星和衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)可近似視為，而萬(wàn)有引力提供行星、衛(wèi)星作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的．3．根據(jù)萬(wàn)有引力定律及向心力公式，可推導(dǎo)出線速度．角速度．周期隨高度變化的關(guān)系，具體關(guān)系如下：①由得，r越大，v越小；②由得，r越大，ω越?。虎塾傻?，r越大，T越大．[特別提醒]：衛(wèi)星在變軌過(guò)程中，機(jī)械能并不守恒。軌道半徑越大，運(yùn)動(dòng)的速度越小，但發(fā)射時(shí)所需要的能量卻越多，即發(fā)射速度要越大。[例3]（2009深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校）“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星以圓形軌道繞月飛行，衛(wèi)星將獲取的信息以微波信號(hào)發(fā)回地球，假設(shè)衛(wèi)星繞月的軌道平面與地月連心線共面，各已知物理量如表中所示：地球質(zhì)量月球質(zhì)量地球半徑月球半徑月球表面重力加速度月球繞地軌道半徑衛(wèi)星繞月軌道半徑MmＲR1g1rr1（1）嫦娥一號(hào)在奔月過(guò)程中受地球和月球引力相等時(shí)離月球面的高度為多少？（2）嫦娥一號(hào)繞月球一周所用的時(shí)間為多少？[解析]（1）設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量m′，由萬(wàn)有引力定律得：衛(wèi)星受地球和月球引力相等有：又因?yàn)椋海蹋保蹋玻絩，衛(wèi)星到月球表面的距離為：Ｓ＝Ｌ２－Ｒ１由上各式解得（2）由月球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力提供向心力得：在月球表面有：解得繞月球一周所用的時(shí)間為：【答案】（1）（2）[例4]（2008山西太原）我國(guó)研制的“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星于2007年10月24日18時(shí)由長(zhǎng)征三甲運(yùn)載火箭發(fā)射升空，星箭分離后在遠(yuǎn)地點(diǎn)做了一次變軌，進(jìn)入到16小時(shí)軌道，然后分別在16小時(shí)、24小時(shí)（停泊軌道）、48小時(shí)軌道（調(diào)相軌道）軌道近地點(diǎn)，各進(jìn)行了一次變軌，其中在調(diào)相軌道近地點(diǎn)變軌后，“嫦娥一號(hào)”衛(wèi)星進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道正式奔月，下列說(shuō)法中正確的是（）A．“嫦娥一號(hào)”由24小時(shí)軌道變?yōu)?8小時(shí)軌道時(shí)應(yīng)讓其發(fā)動(dòng)機(jī)在A點(diǎn)點(diǎn)火向后噴氣B．“嫦娥一號(hào)”由24小時(shí)軌道變?yōu)?8小時(shí)軌道時(shí)應(yīng)讓其發(fā)動(dòng)機(jī)在B點(diǎn)點(diǎn)火向后噴氣C．“嫦娥一號(hào)”沿24小時(shí)軌道在B點(diǎn)的速度大于沿24小時(shí)軌道在A點(diǎn)的速度D．“嫦娥一號(hào)”沿48小時(shí)軌道在B點(diǎn)的加速度大于沿24小時(shí)軌道在B點(diǎn)的加速度[解析]“嫦娥一號(hào)”由由24小時(shí)軌道變?yōu)?8小時(shí)軌道應(yīng)做離心運(yùn)動(dòng)，此時(shí)要增大速度，若選在A點(diǎn)點(diǎn)火，這樣會(huì)使衛(wèi)星進(jìn)入另一個(gè)與A點(diǎn)相切的橢圓軌道，而不會(huì)進(jìn)入預(yù)定的與B點(diǎn)相切的48小時(shí)軌道，因此要在B點(diǎn)點(diǎn)火，A錯(cuò)B對(duì)；“嫦娥一號(hào)”沿24小時(shí)橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，B點(diǎn)相當(dāng)于近地點(diǎn)而A點(diǎn)相當(dāng)于遠(yuǎn)地點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒可知C選項(xiàng)正確。根據(jù)公式GMm/R2=ma可知“嫦娥一號(hào)”沿48小時(shí)軌道在B點(diǎn)的加速度等于沿24小時(shí)軌道在B點(diǎn)的加速度，故D錯(cuò)?！敬鸢浮緽、C[規(guī)律總結(jié)]在處理變軌問(wèn)題時(shí)，一定要分清圓周軌道與橢圓軌道，弄清楚軌道切點(diǎn)上速度的關(guān)系，再根據(jù)機(jī)械能的變化分析衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)情況?？键c(diǎn)4萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系、“黃金代換”關(guān)系1．萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系地面上的物體由于受到地球的引力，這個(gè)力就是地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力．物體所受到的萬(wàn)有引力將產(chǎn)生兩個(gè)效果：一個(gè)是，另一個(gè)是物體隨地球一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)所需要的．在一般情況下，由于重力與萬(wàn)有引力相差不大，所以認(rèn)為兩者相等，即：，這個(gè)關(guān)系式也稱之為黃金代換公式．2．重力加速度與距離地面高度的關(guān)系若不考慮地球自轉(zhuǎn)，在地球表面處有，即地球表面處的重力加速度；在距地表高度為h的高空處，萬(wàn)有引力引起的重力加速度為g＇，由牛頓第二定律可得：即：。可見(jiàn)重力加速度隨高度增加而，這一結(jié)論對(duì)其它星球也適用．[例5]（2009廣州大學(xué)附中）我國(guó)首個(gè)月球探測(cè)計(jì)劃“嫦娥工程”將分三個(gè)階段實(shí)施，大約用十年左右時(shí)間完成，這極大地提高了同學(xué)們對(duì)月球的關(guān)注程度．以下是某同學(xué)就有關(guān)月球的知識(shí)設(shè)計(jì)的兩個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你解答：（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，且把月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看做是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。試求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑。（2）若某位宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球某水平表面上方h高處以速度v0水平拋出一個(gè)小球，小球落回到月球表面的水平距離為s。已知月球半徑為R月，萬(wàn)有引力常量為G。試求出月球的質(zhì)量M月。[解析]（1）假設(shè)地球質(zhì)量為M，有GMm/R2=mg設(shè)月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，有GM月m/r2=m月r(2π/T)2由以上各式可得：（2）設(shè)物體下落到月面的時(shí)間為t，有h=g月t2/2，s=v0t可得：g月=2hv02/s2，根據(jù)萬(wàn)有引力定律，mg月=GM月m/R月2，解得M月=2hR月2v02/Gs2【答案】（1）（2）M月=2hR月2v02/Gs2[規(guī)律總結(jié)]處理中心天體質(zhì)量未知的問(wèn)題，必然要用到黃金代換公式。通過(guò)這一公式，我們可以將中心天體的質(zhì)量用其表面重力加速度表示出來(lái)，即GM=gR2?？键c(diǎn)5三種宇宙速度1．第一宇宙速度(環(huán)繞速度)：即衛(wèi)星繞地球表面做時(shí)的速度，此時(shí)重力提供向心力，由得。這是人造地球衛(wèi)星的最小速度，也是人造地球衛(wèi)星環(huán)繞地球運(yùn)行的最速度。2．第二宇宙速度(脫離速度)：V2=V1=11.2km/s，使物體掙脫引力束縛的最小發(fā)射速度。3．第三宇宙速度(逃逸速度)：V3=16.7km/s，使物體掙脫引力束縛的最小發(fā)射速度。[特別提醒]：第一宇宙速度是發(fā)射衛(wèi)星的最小速度，卻是衛(wèi)星在圓周軌道上運(yùn)行的最大速度。[例6]我國(guó)將要發(fā)射一顆繞月運(yùn)行的探月衛(wèi)星“嫦娥1號(hào)”。設(shè)該衛(wèi)星的軌道是圓形的，且貼近月球表面。已知月球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的1/81，月球的半徑約為地球半徑的1/4，地球上的第一宇宙速度約為7.9km/s，則該探月衛(wèi)星繞月運(yùn)行的速率約為（）A.0.4km/sB.1.8km/sC.11km/sD.[解析]設(shè)地球質(zhì)量為M、半徑為R，第一宇宙速度為V，月球質(zhì)量為m、半徑為r，第一宇宙速度為v，則根據(jù)第一宇宙速度的定義，對(duì)任一物體，有，而，由兩以上兩式并代入數(shù)據(jù)可得【答案】B[規(guī)律總結(jié)]第一宇宙速度亦即環(huán)繞速度，在高考中也頻繁出現(xiàn)，往往是要求其它星體的第一宇宙速度，這就要求大家弄清該速度的本質(zhì)意義：即衛(wèi)星圍繞星球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度。高考重點(diǎn)熱點(diǎn)題型探究熱點(diǎn)1衛(wèi)星、天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題[真題1]（2008年廣東高考）圖7是“嫦娥一導(dǎo)奔月”示意圖，衛(wèi)星發(fā)射后通過(guò)自帶的小型火箭多次變軌，進(jìn)入地月轉(zhuǎn)移軌道，最終被月球引力捕獲，成為繞月衛(wèi)星，并開(kāi)展對(duì)月球的探測(cè)，下列說(shuō)法正確的是（）A．發(fā)射“嫦娥一號(hào)”的速度必須達(dá)到第三宇宙速度B．在繞月圓軌道上，衛(wèi)星周期與衛(wèi)星質(zhì)量有關(guān)C．衛(wèi)星受月球的引力與它到月球中心距離的平方成反比D．在繞月圓軌道上，衛(wèi)星受地球的引力大于受月球的引力[解析]“嫦娥一號(hào)”只是擺脫地球吸引，但并未飛離太陽(yáng)系，則其發(fā)射速度應(yīng)大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，A錯(cuò)。根據(jù)可知繞月周期與衛(wèi)星質(zhì)量無(wú)關(guān)，B錯(cuò)。根據(jù)萬(wàn)有引力定律可知C正確。衛(wèi)星在擺脫地球引力后才能達(dá)到繞月圓軌道，故該軌道上，衛(wèi)星受月球引力遠(yuǎn)大于地球引力，D錯(cuò)。【答案】C[名師指引]衛(wèi)星以及與航天知識(shí)相關(guān)的科技熱點(diǎn)，在高考中頻繁出現(xiàn)。這類問(wèn)題，考查的內(nèi)容相當(dāng)廣泛，泛及衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期、軌道半徑、發(fā)射及運(yùn)動(dòng)速度、發(fā)射過(guò)程中的變軌問(wèn)題等。這幾年航天事業(yè)在我國(guó)的高速發(fā)展，這塊知識(shí)對(duì)考生的考查尤為重要。因此要求同學(xué)們對(duì)萬(wàn)有引力定律及相關(guān)知識(shí)全面掌握，并在平時(shí)關(guān)注相關(guān)熱點(diǎn)問(wèn)題?！敬鸢浮竣泞脾荹新題導(dǎo)練]1．（2009北京崇文區(qū)）2008年9月我國(guó)成功發(fā)射神舟七號(hào)載人航天飛船。如圖所示為神舟七號(hào)繞地球飛行時(shí)的電視直播畫面，圖中數(shù)據(jù)顯示，飛船距地面的高度約為地球半徑的。已知地球半徑為R，地面附近的重力加速度為g，設(shè)飛船、大西洋星繞地球均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。(1)估算神舟七號(hào)飛船在軌運(yùn)行的加速度大??；(2)已知大西洋星距地面的高度約為地球半徑的6倍，估算大西洋星的速率。熱點(diǎn)2黃金代換公式的應(yīng)用[真題2](2007上海高考)宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t小球落回原處；若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過(guò)時(shí)間5t小球落回原處。（取地球表面重力加速度g＝10m/s2⑴求該星球表面附近的重力加速度g/；⑵已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星:R地＝1:4，求該星球的質(zhì)量與地球質(zhì)量之比M星:M地。[解析]⑴小球在地球上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，有。小球在星球上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，有，故。⑵地（星）球表面物體所受重力大小近似于萬(wàn)有引力，即，得，可解得：M星:M地＝112:542＝1:80【答案】1:80[名師指引]星球表面的重力加速度，是聯(lián)系物體運(yùn)動(dòng)與應(yīng)用“黃金代換”公式的橋梁，因此，要重視對(duì)重力加速度的求解的應(yīng)用。[新題導(dǎo)練]2．（2009江蘇泰興）我國(guó)月球探測(cè)計(jì)劃“嫦娥工程”將分三個(gè)階段實(shí)施，大約用十年左右時(shí)間完成，這極大的提高了同學(xué)們對(duì)月球的關(guān)注程度。以下是某同學(xué)就有關(guān)月球的知識(shí)設(shè)計(jì)的兩個(gè)問(wèn)題，現(xiàn)請(qǐng)你解答：（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，且把月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看做是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。試求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑。（2）若某位宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v0豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，小球落回到拋出點(diǎn)。已知月球半徑為R月，萬(wàn)有引力常量為G。試求出月球的質(zhì)量M月。熱點(diǎn)3環(huán)繞速度（第一宇宙速度）[真題3](2007天津高考)我國(guó)繞月探測(cè)工程的預(yù)先研究和工程實(shí)施已取得重要進(jìn)展。設(shè)地球、月球的質(zhì)量分別為m1、m2，半徑分別為R1、R2，人造地球衛(wèi)星的第一宇宙速度為v，對(duì)應(yīng)的環(huán)繞周期為T，則環(huán)繞月球表面附近圓軌道飛行的探測(cè)器的速度和周期分別為（）A．，B．，C．，D．，[解析]第一宇宙速度是物體圍繞星球表面作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，根據(jù)萬(wàn)有引力定律及向心力公式，質(zhì)量為m繞地球表面做圓周運(yùn)動(dòng)的物體有，而質(zhì)量為m繞月球表面做圓周運(yùn)動(dòng)的物體有，由以上兩式相比可知A選項(xiàng)正確?！敬鸢浮緼[名師指引]解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解第一宇宙速度的意義，即物體圍繞星球表面作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，此時(shí)物體的重力近似等于萬(wàn)有引力，并提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。[新題導(dǎo)練]3．(2009廣州調(diào)研)航天宇航員在月球表面完成了如下實(shí)驗(yàn)：如圖所示，在月球表面固定一豎直光滑圓形軌道，在軌道內(nèi)的最低點(diǎn)，放一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，當(dāng)給小球水平初速度v0時(shí)，小球剛好能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)。已知圓形軌道半徑為r，月球的半徑為R。若在月球表面上發(fā)射一顆環(huán)月衛(wèi)星，求最小發(fā)射速度。熱點(diǎn)4與萬(wàn)有引力定律相關(guān)的信息題[真題4]（2008全國(guó)高考=2\*ROMANII）我國(guó)發(fā)射的“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿近似于圓形軌道繞月飛行。