微積分 第3版 課件 第六章 定積分及其應(yīng)用

6.1

定積分的概念與性質(zhì)

同導(dǎo)數(shù)一樣，我們?nèi)匀粡膸缀魏臀锢韮蓚€(gè)方面介紹定積分的背景問題，從中引出定積分的概念，然后介紹定積分的性質(zhì)。第六章定積分及其應(yīng)用所圍成的平面圖形.引例一求曲邊梯形的面積曲邊梯形是指由連續(xù)曲線x軸與兩條直線一、定積分的背景和定義6.1.1定積分的概念用矩形面積之和近似取代曲邊梯形面積思想:以直代曲應(yīng)用極限的思想,分四步求面積A.(1)

劃分(2)

近似長度為為高的小矩形,面積近似代替任意用分點(diǎn)(3)

求和這些小矩形面積之和可作為曲邊梯形面積A的近似值:(4)

取極限為了得到A的精確值,分割無限加細(xì),趨近于零時(shí),取極限,極限值就是曲邊梯形面積即小區(qū)間的最大長度(庫存量的瞬時(shí)變化率),

求該倉庫在

時(shí)

引例二庫存量問題設(shè)某倉庫在時(shí)刻的邊際庫存量為

段上庫存的變化總量.(3)求和(4)取極限庫存量的精確值(2)近似(1)

劃分任取

表示在時(shí)間

內(nèi)的庫存量變化設(shè)函數(shù)

f(x)在[a,b]上有界,定義6.1

把區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間,各小區(qū)間長度依次為一點(diǎn)作乘積如果不論對(duì)[a,b](1)在[a,b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)(2)在各小區(qū)間上任取(3)并作和(4)記被積函數(shù)被積表達(dá)式記為積分和怎樣的分法,怎樣的取法,只要當(dāng)和S總趨于確定的極限I,稱這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分.積分下限積分上限積分變量[a,b]稱為積分區(qū)間也不論在小區(qū)間上點(diǎn)關(guān)于定積分概念的兩條說明：

而與積分變量的字母無關(guān).2.定積分是數(shù)值,僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān),1.如果

f(x)在[a,b]上的定積分存在,則稱

f(x)在[a,b]上可積,否則,稱

f(x)在[a,b]上不可積.連續(xù)函數(shù)一定可積.定積分的存在定理取

.解例6.1用定義計(jì)算.顯然，在

[0,1]上連續(xù),

在

[0,1]上可積.因而把區(qū)間[0,1]等分,則第

i個(gè)分點(diǎn)為,于是二、定積分的幾何意義曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值幾何意義取負(fù)號(hào).它是介于x軸、函數(shù)

f(x)的圖形及兩條直線

x=a,x=b之間的各部分面積的代數(shù)和.在

x軸上方的面積取正號(hào);在

x軸下方的面積例6.2

計(jì)算解例6.3

求解oxyP1363(2)利用定積分的幾何意義求：解oxy

設(shè)f(x)連續(xù)，由定積分的幾何意義得到下面的結(jié)論：(2)如果

f(x)是

[-a,a]上的奇函數(shù)，則；(3)如果

f(x)是

[-a,a]上的偶函數(shù)，則；(1)；4.如果f(x)是以T為周期的連續(xù)函數(shù),則例6.4

計(jì)算解區(qū)間

[-1,1]關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)

是連續(xù)的奇函數(shù)，所以(2)6.1.2定積分的性質(zhì)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間

上可積，規(guī)定:性質(zhì)6.1

線性性質(zhì)性質(zhì)

6.2

區(qū)間可加性無論

a,b,c

的相對(duì)位置如何,上式總成立.設(shè)

則無論

a,b,c

的相對(duì)位置如何,上式總成立.例

若則性質(zhì)6.3

保號(hào)性則有如果在區(qū)間[a,b]上證因即得令又因推論6.1

保序性

如果在區(qū)間[a,b]上則

推論6.2證即解因于是例

比較積分值

和

的大小.性質(zhì)

6.4

定積分的估值定理證

因設(shè)

M及m分別是函數(shù)

在區(qū)間[a,b]上的最大值與最小值,則

即由推論6.1(保序性)解

設(shè)例6.6

估計(jì)定積分

的值的范圍.故因性質(zhì)6.5

定積分中值定理則在積分區(qū)間上至少存在一個(gè)點(diǎn)如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),積分中值公式

使得

證使得由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,上至少存在一個(gè)點(diǎn)在區(qū)間[a,b]所以在區(qū)間[a,b]上至少存在一點(diǎn)使得以區(qū)間[a,b]為底邊,以曲線為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為的一個(gè)矩形的面積.稱為函數(shù)f(x)在[a,b]上的平均值.積分中值公式的幾何解釋：練習(xí)利用積分中值公式證明證由積分中值公式有練習(xí)練習(xí)求

解6.2

微積分基本公式

本節(jié)我們介紹微積分學(xué)的基本公式,也稱為牛頓－萊布尼茲公式.它揭示了定積分和原函數(shù)之間的聯(lián)系,提供了一個(gè)簡便有效的計(jì)算定積分的方法，促成了微積分方法的大發(fā)展。定理6.1

微積分基本公式則設(shè)

在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，是

的一個(gè)原函數(shù)，牛頓—萊布尼茨公式則定積分記為稱為積分上限函數(shù).是一個(gè)關(guān)于x的函數(shù),設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),上的一點(diǎn),并設(shè)x為[a,b]積分上限函數(shù)的概念或變上限積分.注意:如果

f(x)在[a,b]上連續(xù),則積分上限函數(shù)在[a,b]上可導(dǎo),定理6.2

積分上限函數(shù)的基本性質(zhì)即且有由積分中值定理即證例6.7

設(shè)，求

.解令，則

推廣練習(xí)例

解這是型未定式,應(yīng)用洛必達(dá)法則及等價(jià)無窮小代換來計(jì)算.例求極限解這是

型未定式,分析用洛必達(dá)法則練習(xí)微積分基本公式的證明證設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，而

也是的一個(gè)原函數(shù),注意到為了書寫方便牛頓—萊布尼茨公式解例6.8

計(jì)算定積分

解例6.9

計(jì)算定積分

解例6.10

計(jì)算曲線在的平面圖形的面積.上與x軸所圍成面積例6.11

設(shè)

,求解解例6.12

計(jì)算

原式解因定積分是數(shù)值,于是例6.13

設(shè)

則等式兩邊在[0,1]上積分,得證令為單調(diào)增加函數(shù).證明:只有一個(gè)實(shí)根.例6.14所以原方程只有一個(gè)解.唯一性：或存在性：所以原方程有解.6.3

定積分的換元法與分部積分

盡管從理論上說把不定積分與牛頓－萊布尼茲公式結(jié)合起來就已經(jīng)解決了定積分計(jì)算的主要問題，但我們?nèi)匀豢梢葬槍?duì)定積分本身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)使計(jì)算過程得以簡化.51定理6.3

定積分的換元公式6.3.1定積分的換元法連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且設(shè)

在

上連續(xù),單調(diào)、有應(yīng)用定積分的換元公式時(shí),“換元必須換限”.則定積分換元公式證故則由牛頓-萊布尼茲公式,有注由于積分限做了相應(yīng)的故積出來的原函數(shù)不必回代;求定積分時(shí)，換元就換限，不換元就不換限，邊積邊代限.

(1)換元公式仍成立;(2)在定積分換元公式中,改變,(3)例6.15

求橢圓

的面積S.解令

則

當(dāng)

時(shí)，

;

當(dāng)

時(shí)，

.

于是解令原式例6.16計(jì)算解令原式例6.17奇函數(shù)練習(xí)計(jì)算解原式偶函數(shù)單位圓的面積練習(xí)奇奇偶例

6.18

若

在[0,1]上連續(xù),證明

設(shè)證證令練習(xí)設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，證明：定理

6.46.3.2

定積分的分部積分法設(shè)函數(shù)

在區(qū)間[a,b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有或定積分的分部積分公式例

6.19

計(jì)算解:令則于是當(dāng)

x=0時(shí)

t=0，當(dāng)

x=1時(shí)

t=1解例6.20

計(jì)算由曲線和

x軸所圍成的區(qū)域的面積S.由定積分的幾何意義,所求面積

計(jì)算解練習(xí)6.4

廣義積分

本章的前幾節(jié)我們討論了有界函數(shù)在有限閉區(qū)間上的定積分，可以稱之為常義積分。這一節(jié)我們將把定積分的定義從有限區(qū)間推廣到無限區(qū)間，從有界函數(shù)推廣到無界函數(shù)，這就是所謂的廣義積分（也有人稱之為反常積分）.

6.4.1無限區(qū)間上的廣義積分定義

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間上的廣義積分.否則,稱廣義積分發(fā)散.極限

存在,稱廣義積分收斂;極限

存在,稱廣義積分收斂;為函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),

則稱否則,稱廣義積分發(fā)散.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),稱在區(qū)間上的廣義積分,為函數(shù)否則,稱廣義積分發(fā)散.如果

都收斂,稱廣義積分收斂;設(shè)是的一個(gè)原函數(shù),則例6.21

計(jì)算解或?qū)憺榻猱?dāng)

時(shí)廣義積分發(fā)散.因此,當(dāng)

時(shí)廣義積分收斂,其值為例

6.22

討論廣義積分的收斂性.(1)當(dāng)

p≠1時(shí)(2)當(dāng)

p

=1時(shí)計(jì)算解練習(xí)6.4.2無界函數(shù)的廣義積分(瑕積分)定義

設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a,b]上連續(xù),稱為

在區(qū)間(a,b]的廣義積分,否則,稱廣義積分發(fā)散.如果

存在,則稱廣義積分

收斂;如果函數(shù)在點(diǎn)a的任意鄰域無界,則稱點(diǎn)a是的一個(gè)瑕點(diǎn).點(diǎn)a是的一個(gè)瑕點(diǎn).如果

存在,稱廣義積分收斂；

為函數(shù)在區(qū)間[a,b)的廣義積分,設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a,b)上連續(xù)，否則,稱廣義積分發(fā)散.

點(diǎn)

b是的一個(gè)瑕點(diǎn).稱否則,稱廣義積分

發(fā)散.設(shè)函數(shù)在

上連續(xù),

為

在區(qū)間[a,b]的廣義積分.如果

都存在,則稱在[a,b]上無界函數(shù)

的廣義積分

收斂;點(diǎn)c是的一個(gè)瑕點(diǎn).解例

6.23

討論廣義積分的收斂性.因此,當(dāng)

時(shí)廣義積分收斂,其值為當(dāng)

時(shí)廣義積分發(fā)散.(1)當(dāng)

p≠1時(shí)(2)當(dāng)

p

=1時(shí)解例

6.24

計(jì)算廣義積分是瑕點(diǎn).解例6.25

計(jì)算廣義積分是瑕點(diǎn).

練習(xí)

計(jì)算廣義積分為瑕點(diǎn),解

練習(xí)

計(jì)算廣義積分解故原廣義積分發(fā)散.為瑕點(diǎn),練習(xí)

求解發(fā)散.也發(fā)散.注錯(cuò)誤的做法:6.5

定積分的應(yīng)用

定積分在科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。通常用定積分解決的問題是求非均勻分布的整體量，例如面積、體積、成本、利潤等。“微元法(元素法）”是定積分應(yīng)用的基本方法，其核心思想是在每個(gè)微小的局部把函數(shù)看作常數(shù)。什么量可以用定積分表示出來?(1)U是一個(gè)與變量x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量;則可以考慮用定積分來表達(dá)這個(gè)量U.(2)U對(duì)于區(qū)間[a,b]具有可加性.就是說,如果把區(qū)間[a,b]分成許多部分區(qū)間,(3)部分量

的近似值可表示為當(dāng)所求量U符合下列條件：則U相應(yīng)地分成許多部分量,而U等于所有部分量之和.微元法的一般步驟：這個(gè)方法通常稱為微元法(元素法).(1)根據(jù)問題的具體情況,選取一個(gè)變量例如

x(2)任取一小區(qū)間并記為求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量

的近似值dU,并將其表示為(3)以所求量U的元素

為被積表達(dá)式,在區(qū)間[a,b]上作定積分,得即為所求量U的積分表達(dá)式.為積分變量,并確定它的變化區(qū)間[a,b];這個(gè)小區(qū)間上所對(duì)應(yīng)的小曲邊梯形面積面積微元得

曲邊梯形面積的積分式也可以用微元法

建立如下.地等于長為f(x)、寬為dx的小矩形面積,故有近似它對(duì)應(yīng)的面積元素dA為6.5.1平面圖形的面積在[a,b]上任取一區(qū)間

設(shè)平面圖形是由兩條連續(xù)曲線y=f(x)，y=g(x)（其中

）以及直線x=a,x=b

所圍成，求此平面圖形的面積.和直線所圍成的區(qū)域的面積A.的面積元素dA為它對(duì)應(yīng)求由曲線小區(qū)間在區(qū)間[c,d]上任取一個(gè)解兩曲線的交點(diǎn)選

x為積分變量例

6.26

求由曲線和所圍成的圖形面積.面積元素解兩曲線的交點(diǎn)選

y為積分變量例

6.27

求由

和

所圍成的圖形的面積.

所求面積解畫草圖,求兩曲線交點(diǎn)的坐標(biāo)以便解方程組:交點(diǎn)面積元素選

為積分變量,?確定積分限,練習(xí)旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條圓柱圓錐圓臺(tái)6.5.2體積問題1.旋轉(zhuǎn)體的體積直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這直線稱為旋轉(zhuǎn)軸．旋轉(zhuǎn)而成的薄片的體積元素旋轉(zhuǎn)體的體積為如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線直線及

x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體,求體