山東省煙臺(tái)市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024～2025學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平診斷高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1、本試題滿分150分，考試時(shí)間為120分鐘，2、答卷前，務(wù)必將姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡上，3．使用答題紙時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)，要字跡工整，筆跡清晰．超出答題區(qū)書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求．1．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．2．已知直線和直線平行，則實(shí)數(shù)m的值為（）A．0 B． C．1 D．或13．在三棱錐中，點(diǎn)M在線段上，且，N為中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A． B． C． D．4．已知直線的一個(gè)方向向量為且過(guò)點(diǎn)，則的方程為（）A． B． C． D．5．正四棱柱中，，E，F(xiàn)，G分別是，，的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．6．過(guò)點(diǎn)的直線與曲線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的斜率的取值范圍為（）A． B．C． D．7．在平行六面體中，底面是正方形，，，，M是棱的中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)H，則線段的長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．8．過(guò)直線上一點(diǎn)P作圓的切線，，切點(diǎn)為A，B，當(dāng)最小時(shí)，直線的方程為（）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．下列命題正確的有（）A．若直線a的方向向量與平面的法向量垂直，則B．若為空間的一個(gè)基底，則可構(gòu)成空間的另一個(gè)基底C．已知向量，，若，則為鈍角D．在四面體中，若Q為的重心，則10．已知直線與圓，則（）A．當(dāng)時(shí)，直線平分圓CB．直線與圓C總有兩個(gè)公共點(diǎn)C．直線被圓C截得的最短弦長(zhǎng)為D．被圓C截得的弦長(zhǎng)為的直線有且只有1條11．正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是正方體表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（）A．若P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則B．若P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為C．若E是的中點(diǎn)，且，則點(diǎn)P的軌跡圍成圖形的面積為D．若E，F(xiàn)分別是線段，的中點(diǎn)，當(dāng)P在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿足平面，則線段的最小值是三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．寫(xiě)出一個(gè)圓心在y軸上，且與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程______．13．已知向量在向量上的投影向量是，且，則______．14．已知點(diǎn)P是直線與直線的交點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_____；若點(diǎn)Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_____（本題第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱和的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積．16．（15分）已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在直線方程為，的平分線所在的直線方程為．（1）求直線的方程和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求的面積．17．（15分）如圖，在三棱柱中，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面為菱形，，．（1）證明：平面平面；（2）若E為棱中點(diǎn)，求直線與平面所成角的余弦值．18．（17分）已知一動(dòng)點(diǎn)A在圓上移動(dòng)，它與定點(diǎn)連線的中點(diǎn)為M．（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；（2）過(guò)定點(diǎn)的直線與點(diǎn)M的軌跡交于P，Q兩點(diǎn)．（Ⅰ）試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由；（Ⅱ）若，求直線的方程．19．（17分）如圖，在三棱臺(tái)中，上下底面分別為邊長(zhǎng)是2和4的等邊三角形，平面，且四棱錐的體積為，M為的中點(diǎn)，N為線段上一點(diǎn)．（1）若N為的中點(diǎn)，證明：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）是否存在點(diǎn)N使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定N的位置；若不存在，說(shuō)明理由．2024～2025學(xué)年度第一學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平診斷高二數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題ABDBDCAB二、選擇題9．BD10．ABD11．AD三、填空題12．，等13．14．，四、解答題15．（1）證明：以D為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．所以，，，設(shè)平面的法向量為，所以，令得，，所以，又平面，所以平面；（2），點(diǎn)F到平面的距離，由題意可知，，，，，所以，所以，三棱錐的體積．16．解：（1）因?yàn)檫吷系母咚谥本€方程為，的平分線所在的直線方程為，所以聯(lián)立，得，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，所以解得，即，所以，所以直線的方程為．設(shè)直線的方程為，過(guò)點(diǎn)，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得．（2）因?yàn)檫吽谥本€方程為，所以，點(diǎn)A到直線的距離，，所以．17．（1）證明：取中點(diǎn)O，連結(jié)，，，在中，，，所以為等邊三角形，所以，底面是以為斜邊的等腰直角三角形，所以，所以，為二面角的平面角，在中，，，，所以，可得，所以，所以，平面平面．（2）解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．所以，，且，，，設(shè)平面的法向量為，所以，令，，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，所以，直線與平面所成角的余弦值為．18．解：（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，由于點(diǎn)B的坐標(biāo)是，且M是線段的中點(diǎn)，所以，，于是，①因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足圓的方程，即②．把①代入②，得，整理，得，（2）①為定值，過(guò)點(diǎn)作直線與圓M相切，切點(diǎn)為T(mén)，易得．，所以為定值，且定值為12．②依題意可知，直線的斜率k存在且不為零，設(shè)．設(shè)，，將代入，并整理，得，∴，，∴，∴或．經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，時(shí)，，所以．所以，直線的方程為．19．解：（1）證明：設(shè)，可知的面積，的面積，三棱臺(tái)的體積，所以．連結(jié)，可得，，所以，即，因?yàn)镸，N分別為，的中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，易知，，所以平面，又平面，所以，又，所以平面．?）解：以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，．所以，，