《22.1直線和圓的位置關(guān)系》講義

《22.1直線和圓的位置關(guān)系》講義22.1直線和圓的位置關(guān)系講義一、引言同學們，咱們今天要一起探索直線和圓的那些事兒。這就好比我們在生活中，人和人的關(guān)系有遠有近，直線和圓也有不同的相處模式呢。我給你們講個我自己的經(jīng)歷，有一次我去公園玩，看到一個圓形的花壇，旁邊有幾條直直的小路。有的小路離花壇老遠，有的小路剛好擦著花壇邊兒，還有的小路直接就伸進花壇里面去了。這其實就有點像我們今天要學的直線和圓的位置關(guān)系。二、直線和圓的位置關(guān)系1、相離概念：當直線和圓沒有公共點的時候，就說直線和圓相離。這就好比公園那條離花壇老遠的小路，和花壇根本不沾邊兒，這就是直線（小路）和圓（花壇）相離的情況。從圓心到直線的距離（d）和圓半徑（r）的關(guān)系：在相離的情況下，圓心到直線的距離d大于圓的半徑r。咱們可以想象一下，如果把圓心看成是花壇的中心，半徑就是從花壇中心到花壇邊緣的距離，那離得老遠的小路（直線）到花壇中心的距離肯定比花壇半徑大呀。2、相切概念：當直線和圓有且只有一個公共點的時候，直線和圓相切。就像那條剛好擦著花壇邊兒的小路，只和花壇有一個接觸點，這就是相切啦。d和r的關(guān)系：此時圓心到直線的距離d等于圓的半徑r。這也好理解，因為剛好擦著邊兒，那從花壇中心到小路的距離可不就正好是花壇半徑嘛。3、相交概念：當直線和圓有兩個公共點的時候，直線和圓相交。就像那條伸進花壇里面去的小路，它和花壇有兩個交點，這就是相交的情況。d和r的關(guān)系：在相交的時候，圓心到直線的距離d小于圓的半徑r。因為小路都伸進花壇里面了，那從花壇中心到小路的距離肯定比花壇半徑小呀。為了讓大家更好地理解，我們來看個例子。假設(shè)我們有一個圓，它的方程是\（（x2)＾2+（y3)＾2＝9\），半徑r＝3。有一條直線方程是\（y＝2x+1\）。我們怎么判斷它們的位置關(guān)系呢？首先，我們要算出圓心\（（2,3)＼）到直線\（y＝2x＋1\）的距離d。根據(jù)點到直線的距離公式\（d=＼frac{＼vertAx_0+By_0+C\vert}｛＼sqrt{A^2+B^2}｝＼）（這里\（A＝2\），＼（B=－1\），＼（C＝1\），＼（x_0＝2\），＼（y_0=3\）），計算出來\（d=＼frac{＼vert2\times21\times3+1\vert}｛＼sqrt{2^2+（－1)＾2}｝＝＼frac{2}｛＼sqrt{5}｝＼）。因為\（＼frac{2}｛＼sqrt{5}｝＼lt3\），所以直線和圓是相交的關(guān)系。三、切線的性質(zhì)1、切線的定義回顧咱們剛剛說了，相切的時候直線和圓有且只有一個公共點。這條和圓相切的直線就叫做圓的切線。就像擦著花壇邊兒的那條小路，對于花壇來說，它就是一條切線。2、切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。還是拿花壇和小路舉例，如果把從花壇中心到切點（小路和花壇接觸的那個點）的連線看成半徑，那這條小路（切線）肯定是和這個半徑垂直的。這就好比你在那個切點的地方豎了一根垂直于小路的桿子，這根桿子就是半徑啦。證明：我們可以用反證法來證明這個性質(zhì)。假設(shè)圓的切線不垂直于經(jīng)過切點的半徑。設(shè)圓\（O\），切線\（l\）與圓相切于點\（A\），如果\（OA\）不垂直于\（l\），那么過點\（O\）作\（OB\perpl\）于點\（B\），則\（OB\ltOA\）（因為垂線段最短）。這樣的話，直線\（l\）就會和圓\（O\）還有另外一個交點，這就和直線\（l\）是圓\（O\）的切線（只有一個公共點）矛盾了。所以圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。3、推論經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。想象一下，從花壇中心作一條垂直于小路（切線）的直線，那這條直線肯定會經(jīng)過小路和花壇接觸的那個點（切點）。經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。這也很好理解，在切點那里作一條垂直于小路的直線，這條直線肯定是指向花壇中心（圓心）的。咱們來做個練習題鞏固一下。已知圓\（O\）的半徑為\（5\），直線\（l\）是圓\（O\）的切線，切點為\（A\），＼（OA＝5\），在直線\（l\）上取一點\（P\），連接\（OP\），若\（OP＝13\），求\（AP\）的長。因為直線\（l\）是切線，＼（OA\）是半徑，所以\（OA\perpl\）。在直角三角形\（OAP\）中，根據(jù)勾股定理\（AP=＼sqrt{OP^｛2}OA^｛2}｝＼），＼（OA＝5\），＼（OP＝13\），所以\（AP=＼sqrt{13^｛2}－5^｛2}｝＝＼sqrt{16925}＝＼sqrt{144}＝12\）。四、切線的判定1、判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。這就好比我們要判斷一條小路是不是花壇的切線，我們先看它是不是經(jīng)過花壇半徑的外端（也就是花壇邊緣上的一點），然后再看它是不是垂直于這個半徑，如果這兩個條件都滿足，那它就是花壇（圓）的切線（就像擦著邊兒且垂直于半徑的小路）。例如，已知圓\（O\），半徑\（OA\），有一條直線\（l\），＼（A\）在直線\（l\）上，且\（OA\perpl\），那么直線\（l\）就是圓\（O\）的切線。2、證明切線的一般步驟第一步，連接圓心和直線上的一點（假設(shè)為點\（A\））。這就像是找到從花壇中心到小路上一點的連線。第二步，證明這條連線（半徑）和直線垂直。就像證明從花壇中心到小路的連線垂直于小路。咱們來做個例子。已知圓\（O\）的直徑\（AB＝6\），點\（C\）在圓\（O\）上，＼（AC＝3\），過點\（C\）作圓\（O\）的切線\（l\），求切線\（l\）的長。首先連接\（OC\），因為\（AB\）是直徑，＼（C\）在圓上，所以\（OC=＼frac{AB}｛2}＝3\）。又因為\（AC＝3\），所以三角形\（AOC\）是等邊三角形，＼（＼angleAOC＝60^｛＼circ}＼）。因為\（l\）是切線，所以\（OC\perpl\）。在直角三角形\（OCL\）中（設(shè)切點為\（C\）），＼（OC＝3\），根據(jù)三角函數(shù)\（＼sin\angleAOC=＼frac{CL}｛OC}＼），＼（＼sin60^｛＼circ}＝＼frac{＼sqrt{3}｝｛2}＼），所以\（CL=＼frac{3\sqrt{3}｝｛2}＼），切線\（l\）的長為\（3\sqrt{3}＼）。五、三角形的內(nèi)切圓1、概念與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。我們可以把三角形想象成一個特殊的“花壇”，這個內(nèi)切圓就像是剛好和三角形三條邊都相切的一個特殊的“小路”。2、三角形內(nèi)心的概念三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心。這個內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點。為什么是角平分線的交點呢？我們可以這樣想，因為內(nèi)切圓和三角形三邊相切，從內(nèi)心到三邊的距離都相等（這個距離就是內(nèi)切圓的半徑），而角平分線上的點到角兩邊的距離相等，所以內(nèi)心就是三條角平分線的交點。3、三角形內(nèi)切圓半徑的計算對于一般三角形\（ABC\），設(shè)其面積為\（S\），周長為\（C\），內(nèi)切圓半徑為\（r\），則有\(zhòng)（S=＼frac{1}｛2}Cr\）。這個公式是怎么來的呢？我們可以把三角形分成三個小三角形，分別是\（＼triangleAOB\）、＼（＼triangleBOC\）和\（＼triangleAOC\）（＼（O\）為內(nèi)心），這三個小三角形的面積分別是\（＼frac{1}｛2}AB\cdotr\）、＼（＼frac{1}｛2}BC\cdotr\）和\（＼frac{1}｛2}AC\cdotr\），加起來就是三角形\（ABC\）的面積\（S=＼frac{1}｛2}（AB＋BC+AC)＼cdotr=＼frac{1}｛2}Cr\）。例如，已知三角形\（ABC\），＼（AB＝5\），＼（BC＝6\），＼（AC＝7\），其面積\（S＝6\sqrt{6}＼），根據(jù)\（S=＼frac{1}｛2}Cr\），先求周長\（C=5＋6+7＝18\），則\（r=＼frac{2S}｛C}＝＼frac{2\times6\sqrt{6}｝｛18}＝＼frac{2\sqrt{6}｝｛3}＼）。六、直線和圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用1、幾何證明中的應(yīng)用在幾何證明題中，經(jīng)常會用到直線和圓的位置關(guān)系的知識。比如證明兩條線段相等或者兩個角相等的時候，如果涉及到圓和直線，我們就要考慮是否可以利用切線的性質(zhì)、判定，或者直線和圓的位置關(guān)系所對應(yīng)的\（d\）和\（r\）的關(guān)系來證明。例如，已知圓\（O\），直線\（AB\）是圓\（O\）的切線，切點為\（B\），連接\（OB\），在圓\（O\）上取一點\（C\），連接\（OC\）、＼（BC\），過點\（C\）作\（CD\perpAB\）于點\（D\），求證\（BC\）平分\（＼angleOCD\）。因為\（AB\）是切線，＼（OB\）是半徑，所以\（OB\perpAB\）。又因為\（CD\perpAB\），所以\（OB\parallelCD\），＼（＼angleOBC=＼angleBCD\）。因為\（OB＝OC\），所以\（＼angleOBC=＼angleOCB\），所以\（＼angleOCB=＼angleBCD\），即\（BC\）平分\（＼angleOCD\）。2、實際問題中的應(yīng)用在生活中也有很多直線和圓位置關(guān)系的應(yīng)用。比如在建筑設(shè)計中，圓形的建筑結(jié)構(gòu)和周圍的直線型通道或者支撐結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系就涉及到直線和圓的位置關(guān)系。又比如在機械制造中，圓形的零件和直線型的工具或者軌道之間的關(guān)系也會用到這些知識。比如說要設(shè)計一個圓形的噴泉，周圍要修幾條直的石板路。我們要根據(jù)噴泉的半徑和石板路與噴泉的理想位置關(guān)系（相離、相切或者相交）來確定石板路的位置和長度等參數(shù)。如果我們希望石板路剛好擦著噴泉邊兒，那就是相切的關(guān)系，我們就要根據(jù)噴泉的半徑來確定石板路到噴泉中心的距離等。七、重點和難點1、重點直線和圓的三種位置關(guān)系（相離、相切、相交）以及對應(yīng)的圓心到直線的距離\（d\）和圓半徑\（r\）的關(guān)系，這是整個章節(jié)的基礎(chǔ)，同學們一定要牢記。就像我們要記住不同小路和花壇的不同關(guān)系以及它們之間距離的比較規(guī)則一樣。切線的性質(zhì)和判定定理。這是非常重要的內(nèi)容，在很多幾何證明和計算中都會用到。同學們要理解切線和半徑的垂直關(guān)系以及如何判定一條直線是切線。三角形的內(nèi)切圓相關(guān)概念，包括內(nèi)心的概念和內(nèi)切圓半徑的計算。這部分知識在解決三角形相關(guān)的幾何問題和一些實際應(yīng)用中很有用。2、難點切線的判定定理的應(yīng)用。有些題目中要準確地找到半徑并且證明直線垂直于半徑是比較困難的，需要同學們多做練習，提高解題的敏感度。在綜合應(yīng)用直線和圓的位置關(guān)系知識解決