《1向量基本定理》學(xué)習(xí)任務(wù)單

《1向量基本定理》學(xué)習(xí)任務(wù)單“向量基本定理”學(xué)習(xí)單班級(jí)：姓名：組號(hào)：【學(xué)習(xí)內(nèi)容】滬教版（2020）必修第二冊(cè)第8章平面向量8.3向量的坐標(biāo)表示之1向量基本定理?！疚业哪繕?biāo)】1、能夠準(zhǔn)確說(shuō)出向量基本定理的內(nèi)容，一個(gè)字都不錯(cuò)哦。2、會(huì)用向量基本定理來(lái)解決簡(jiǎn)單的向量分解問(wèn)題，就像拆積木一樣熟練。3、可以在給定的平面內(nèi)，根據(jù)向量基本定理找到合適的基底來(lái)表示其他向量，就像在地圖上找到正確的路線一樣。【重難點(diǎn)】重點(diǎn)：向量基本定理的理解與記憶，這可是我們的“大寶貝”，得牢牢抓住。難點(diǎn)：靈活運(yùn)用向量基本定理解決各種向量問(wèn)題，這就像走迷宮，要找到正確的出口可不容易。【我的研究】一、向量基本定理是啥？1、咱們先來(lái)看個(gè)例子哈。想象你在一個(gè)大操場(chǎng)上，有很多同學(xué)在不同方向跑來(lái)跑去。現(xiàn)在把每個(gè)同學(xué)看成一個(gè)向量。假如有兩個(gè)同學(xué)，一個(gè)朝著正東方向跑（我們把這個(gè)方向的向量設(shè)為向量a），一個(gè)朝著正北方向跑（這個(gè)向量設(shè)為向量b），而且這兩個(gè)同學(xué)跑得速度都不變哦。那操場(chǎng)上其他同學(xué)不管朝著哪個(gè)方向跑，是不是都可以用正東方向的這個(gè)同學(xué)和正北方向的這個(gè)同學(xué)的某種組合來(lái)表示呢？這就是向量基本定理的一個(gè)很直觀的例子啦。2、現(xiàn)在咱們來(lái)正式學(xué)習(xí)向量基本定理的內(nèi)容：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1+λ2e2。這里的e1和e2就像是剛才例子里正東和正北方向的同學(xué)，而λ1和λ2就是表示其他同學(xué)和這兩個(gè)特殊同學(xué)之間關(guān)系的數(shù)字。那大家先試著把這個(gè)定理讀個(gè)三遍，看看能不能記在小腦袋里呢？二、小練習(xí)1、已知向量e1，e2不共線，向量a＝3e1+2e2，向量b＝6e1+4e2，判斷向量a與向量b是否共線。我們可以這樣想哦，如果向量b能寫成向量a的某個(gè)倍數(shù)，那它們就是共線的。假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得b＝ka，也就是6e1＋4e2＝k(3e1+2e2)。那我們就可以得到兩個(gè)方程：6＝3k（這是根據(jù)e1前面的系數(shù)得到的）和4＝2k（這是根據(jù)e2前面的系數(shù)得到的）。解第一個(gè)方程得到k＝2，解第二個(gè)方程也得到k＝2，所以向量a與向量b是共線的。大家看，這樣一步一步分析是不是就很清楚啦？2、設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基底，如果λ1e1+λ2e2＝0，那么λ1和λ2的值是多少呢？因?yàn)閑1，e2是基底，它們是不共線的。就像我們前面說(shuō)的在操場(chǎng)上不同方向跑的同學(xué)，他們是獨(dú)立的哦。要使λ1e1+λ2e2＝0成立，只有當(dāng)λ1＝0且λ2＝0的時(shí)候才行。這就好比要讓一個(gè)東西不動(dòng)，那推動(dòng)它的所有力量都得是零一樣。三、找基底1、在平面直角坐標(biāo)系中，向量i＝（1,0)，向量j＝（0,1)，這兩個(gè)向量是很特殊的哦。那對(duì)于向量a＝（3,4)，我們?cè)趺从孟蛄縤和向量j來(lái)表示呢？根據(jù)向量基本定理，我們可以設(shè)a＝λ1i+λ2j，也就是(3,4)＝λ1(1,0)＋λ2(0,1)。這樣就可以得到兩個(gè)方程：3＝λ1（這是根據(jù)橫坐標(biāo)得到的）和4＝λ2（這是根據(jù)縱坐標(biāo)得到的）。所以向量a＝3i＋4j。是不是很有趣呢？就像把一個(gè)復(fù)雜的東西拆成了兩個(gè)簡(jiǎn)單的部分。2、再看一個(gè)例子，在一個(gè)斜著的坐標(biāo)系（不是直角坐標(biāo)系哦）里，有向量e1和向量e2，它們不共線。對(duì)于一個(gè)向量b，我們?cè)趺创_定它用e1和e2表示的系數(shù)呢？首先我們要根據(jù)向量基本定理設(shè)b＝μ1e1+μ2e2。然后我們可以通過(guò)一些已知條件，比如說(shuō)向量b的長(zhǎng)度和方向，以及向量e1和e2的長(zhǎng)度和方向之間的關(guān)系來(lái)建立方程，進(jìn)而求出μ1和μ2的值。這就有點(diǎn)像在一個(gè)神秘的地圖里，根據(jù)一些線索找到寶藏的位置一樣?！窘M內(nèi)過(guò)關(guān)】（課內(nèi)完成）一、判斷題1、任何兩個(gè)向量都可以作為平面內(nèi)的一組基底。（）答案是錯(cuò)的哦。因?yàn)橹挥胁还簿€的兩個(gè)向量才能作為基底，就像我們前面說(shuō)的，在操場(chǎng)上朝著相同方向或者在同一條直線上跑的同學(xué)不能作為兩種不同的“標(biāo)準(zhǔn)方向”一樣。2、若e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，且λ1e1+λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0。（）這個(gè)是對(duì)的，我們前面已經(jīng)詳細(xì)講過(guò)啦，基底向量是獨(dú)立的，要讓它們組合起來(lái)等于零向量，只能系數(shù)都是零。二、填空題1、已知向量e1，e2不共線，向量a＝2e13e2，向量b＝4e16e2，向量b＝＿_(dá)_a。我們?cè)O(shè)向量b＝ka，也就是4e16e2＝k(2e13e2)。根據(jù)前面講的方法，我們可以得到4＝2k（根據(jù)e1前面的系數(shù)），解得k＝2；6＝3k（根據(jù)e2前面的系數(shù)），解得k＝2。所以向量b＝2a。2、在平面內(nèi)，向量e1＝（2,1)，向量e2＝（1,3)，向量a＝（4,7)，若a＝λ1e1+λ2e2，則λ1＝＿_(dá)_，λ2＝＿_(dá)_。設(shè)a＝λ1e1+λ2e2，也就是(4,7)＝λ1(2,1)＋λ2(1,3)。得到方程組：4＝2λ1λ2和7＝λ1+3λ2。我們可以先把第一個(gè)方程變形為λ2＝2λ14，然后代入第二個(gè)方程，得到7＝λ1+3(2λ14)。展開得到7＝λ1+6λ112，移項(xiàng)得到7λ1＝5，解得λ1＝5/7。把λ1＝5/7代入λ2＝2λ14，得到λ2＝2×（5/7)－4＝10/728/7＝18/7。三、簡(jiǎn)答題1、請(qǐng)解釋為什么向量基本定理中要求基底向量不共線？就像我們前面在操場(chǎng)上的例子，如果兩個(gè)同學(xué)朝著相同或者相反的方向跑（也就是共線），那他們就不能表示出操場(chǎng)上所有方向的同學(xué)的跑步情況啦。在向量里也是一樣，如果基底向量共線，那它們就不能組合出平面內(nèi)所有的向量，就會(huì)有很多向量沒(méi)辦法用這兩個(gè)向量表示出來(lái)，就像少了一些顏色，畫不出完整的畫一樣?！井?dāng)堂檢測(cè)】（課內(nèi)完成）一、選擇題1、下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是（）A.e1＝（0,0)，e2＝（1,2)B.e1＝（1,2)，e2＝（5,7)C.e1＝（3,5)，e2＝（6,10)D.e1＝（2,3)，e2＝（1/2,3/4)答案是B哦。因?yàn)锳選項(xiàng)里e1是零向量，零向量和任何向量都共線，不能做基底；C選項(xiàng)里e2＝2e1，它們共線，不能做基底；D選項(xiàng)里e2＝1/4e1，它們也共線，不能做基底。只有B選項(xiàng)里的兩個(gè)向量不共線，可以做基底。2、已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝ab，如果c與d共線，那么（）A.k＝1且c與d同向B.k＝1且c與d反向C.k＝1且c與d同向D.k＝1且c與d反向因?yàn)閏與d共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得c＝λd，也就是ka＋b＝λ(ab)＝λaλb。得到方程組k＝λ和1＝λ，解得λ＝1，k＝1。當(dāng)k＝1時(shí)，c＝a＋b＝（ab)＝d，所以c與d反向，答案是D。二、計(jì)算題1、已知向量e1，e2不共線，向量a＝e1＋2e2，向量b＝3e14e2，求2a3b。首先計(jì)算2a，2a＝2(e1＋2e2)＝2e1＋4e2。然后計(jì)算3b，3b＝3(3e14e2)＝9e112e2。最后計(jì)算2a3b，2a3b=（2e1＋4e2)（9e112e2)＝2e1＋4e29e1＋12e2=7e1+16e2。2、設(shè)向量e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，已知向量a＝3e1＋5e2，向量b＝4e1＋7e2，向量c＝15e113e2，求實(shí)數(shù)λ，μ，使得c＝λa+μb。把a(bǔ)，b代入c＝λa+μb，得到15e113e2＝λ(3e1＋5e2)＋μ(4e1＋7e2)。展開得到15e113e2=（3λ4μ)e1+（5λ＋7μ)e2。得到方程組：15＝3λ4μ和13＝5λ＋7μ。我們可以先把第一個(gè)方程乘以5，得到75＝15λ20μ；把第二個(gè)方程乘以3，得到39＝15λ＋21μ。然后用新得到的第一個(gè)方程減去第二個(gè)方程，得到114＝41μ，解得μ＝114/41。把μ＝114/41代入15＝3λ4μ，得到15＝3λ4×（114/41)，解得λ＝53/41。三、拓展題1、在三角形ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，設(shè)向量AB＝a，向量AC＝b，試用a和b表示向量AD。因?yàn)镈是BC邊的中點(diǎn)，所以向量BD＝1/2向量BC。向量BC＝向量AC向量AB＝ba。所以向量BD＝1/2(ba)。向量AD＝向量AB＋向量BD＝a+1/2(ba)＝1/2a＋1/2b。2、已知向量e1，e2不共線，向量a，b滿足3a2b＝4e1，a＋2b＝3e2，求向量a，b用e1，e2表示的式子。我們把這兩個(gè)方程相加，得到4a＝4e13e2，解得a＝e13/4e2。把a(bǔ)＝e13/4e2代入a＋2b＝3e2，得到e13/4e2+2b＝3e2。移項(xiàng)得到2b＝3e2e1+3/4e2=e19/4e2，解得b＝1/2e19/8e2?！咀晕以u(píng)估方法】1、對(duì)于向量基本定理內(nèi)容的記憶，如果能準(zhǔn)確無(wú)誤地背出來(lái)，就給自己3分，如果有小錯(cuò)誤扣1分，如果錯(cuò)誤較多就扣2分。2、在做判斷題、填空題的時(shí)候，如果全對(duì)給自己5分，每錯(cuò)一題扣1分。3、在做簡(jiǎn)答題的時(shí)候，如果回答得邏輯清晰、內(nèi)容完整就給自己4分，如果回答有些不完整或者邏輯有點(diǎn)亂扣12分。4、在做選擇題、計(jì)算題和拓展題的時(shí)候，如果答案正確且步驟完整，根據(jù)題目的難易程度給自己68分不等，如果答案正確但步驟有小缺失扣13分，如果答案錯(cuò)誤就不得分。5、最后把所有的分?jǐn)?shù)加起來(lái)，如果總分在30分以上（包括30分），那說(shuō)明你對(duì)向量基本定理掌握得非常好；如果總分在2029分之間，那還需