江蘇省無錫市梁溪區(qū)大橋?qū)嶒?yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年江蘇省無錫市梁溪區(qū)大橋?qū)嶒?yàn)學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一.選擇題1．（3分）下列圖形中，屬于軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．12．（3分）下列等式：①＝，②＝﹣2，③＝2，④＝﹣，⑤＝±4，⑥﹣＝﹣2，成立的是（）A．①⑤ B．②④ C．③⑥ D．②③④⑥3．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E在BC上，連接AD、AE，如果只添加一個(gè)條件使∠DAB＝∠EAC，則添加的條件不能為（）A．BD＝CE B．AD＝AE C．BE＝CD D．DA＝DE4．（3分）下列數(shù)中，3.14159，，0.121121112…，﹣π，，，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．（3分）下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（）A．8，12，15 B．1，5，5 C． D．40，41，96．（3分）如圖，某一個(gè)城市在一塊空地新建了三個(gè)居民小區(qū)，它們分別為A、B、C，且三個(gè)小區(qū)不在同一直線上，要想規(guī)劃一所中學(xué)，使這所中學(xué)到三個(gè)小區(qū)的距離相等．這所中學(xué)應(yīng)建在（）A．△ABC的三條中線的交點(diǎn) B．△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn) C．△ABC三條角平分線的交點(diǎn) D．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)7．（3分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于點(diǎn)F，若∠B＝20°，則∠DFE等于（）A．70° B．60° C．50° D．40°8．（3分）如圖所示，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BO平分∠ABC，OD⊥BC于點(diǎn)D，連接OA，若OD＝5，AB＝20，則△AOB的面積是（）A．20 B．30 C．50 D．1009．（3分）如圖，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝8，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，將△ABD沿AD折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接CE，則CE的長為（）A． B． C． D．10．（3分）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)E，BE＝ED，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ACB．若CD＝10，AD＝14，則DE的長為（）A．9 B．10 C．11 D．12二.填空題（共8小題）11．（3分）的平方根是．12．（3分）我市某企業(yè)去年生產(chǎn)總值達(dá)到1583.45萬元，用科學(xué)記數(shù)法表示（保留到百萬位）是元．13．（3分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：a3﹣9a＝．14．（3分）已知等腰三角形的一個(gè)角是100°，則底角的度數(shù)是．15．（3分）如圖，設(shè)△ABC和△CDE都是等邊三角形，且∠EBD＝62°，則∠AEB的度數(shù)是．16．（3分）在三角形ABC中，∠BAC＝45°，高AD，BE交于點(diǎn)H，M，N分別為AH，BC的中點(diǎn)，連接MN．若，則BC＝．17．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22°，PQ垂直平分AB，垂足為Q，交BC于點(diǎn)P．按以下步驟作圖：以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，分別交邊AC，AB于點(diǎn)D，E；分別以點(diǎn)D，E為圓心，以大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F；作射線AF．射線AF與直線PQ相交于點(diǎn)G，則∠AGQ的度數(shù)為度．18．（3分）如圖，已知△ABC與△ADC是直角三角形，∠B＝∠D＝90°，BC＝6，CD＝5．若∠BAC+2∠CAD＝180°，則AB的長是．三.解答題（共9小題）19．計(jì)算：（1）﹣（3﹣π）0+（）﹣2；（2）﹣+﹣（）2．20．求下列各式中的實(shí)數(shù)x．（1）4x2﹣25＝0；（2）27（x﹣1）3＝﹣64．21．（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根；（2）若x，y都是實(shí)數(shù)，且y＝+8，求x+3y的立方根．22．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM上，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求證：CE＝CM．（2）若AB＝4，求線段FC的長．23．（1）如圖1，已知△ABC，請(qǐng)用圓規(guī)和直尺在BC上找一點(diǎn)D，使△ABC沿直線AD折疊，點(diǎn)C落在邊AB上（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）如圖2，已知△ABC，請(qǐng)用圓規(guī)和直尺在BC上找一點(diǎn)D，使△ABC沿過點(diǎn)D的某一條直線折疊，點(diǎn)C落在邊AB上的E處，且DE⊥AB．（不寫作法，保留作圖痕跡）（3）如圖3，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1，線段AB和PQ的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．①在線段PQ上確定一點(diǎn)C（點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上），使△ABC是軸對(duì)稱圖形，并在網(wǎng)格中畫出△ABC；②請(qǐng)直接寫出△ABC的周長和面積．24．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)D、E分別在AC、BC上（點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合），若P運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)，且PD⊥PE．①求證：AD＝CE；②若AD＝7，BE＝1，求PD的長；（2）如圖2，點(diǎn)F在BC上，且PC＝PF，過點(diǎn)F作FH⊥AB，垂足為H，若AB＝10，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，線段PH的長度是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出PH的長度；若變化，請(qǐng)說明理由．25．定義：一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角兩倍的三角形，叫做“倍角三角形”．（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有（只填寫序號(hào)）．①頂角是30°的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一個(gè)角是30°的直角三角形．（2）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，將△ABC沿邊AB所在的直線翻折180°得到△ABD，延長DA到點(diǎn)E，連接BE．①若BC＝BE，求證：△ABE是“倍角三角形”；②點(diǎn)P在線段AE上，連接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的兩三角形中，一個(gè)是等腰三角形，一個(gè)是“倍角三角形”，請(qǐng)直接寫出∠E的度數(shù)．26．如圖，在四邊形ABDE中，△ABC、△DCE是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BCD為銳角；（1）在圖1中，△ACE與△BCD面積相等嗎？請(qǐng)說明理由．（2）如圖2，若AC＝4，CD＝5．則四邊形ABDC面積最大值為．（3）如圖3，已知BD＝6，△ACE的面積為10，G在BD邊上，GC的延長線經(jīng)過AE中點(diǎn)F，求CG的長．27．若△ABC和△ADE均為等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，當(dāng)∠ABC和∠ADE互余時(shí)，稱△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”，△ABC的邊BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．（1）如圖1，△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”．若連接BD，CE，判斷△ABD與△ACE是否互為“底余等腰三角形”：（填“是”或“否”）；（2）如圖1，△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”．當(dāng)0°＜∠BAC＜180°時(shí)，若△ADE的“余高”是AH．①請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作出AH（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）；②求證：DE＝2AH．（3）如圖2，當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，△ABC與△ADE互為“底余等腰三角形”，連接BD、CE，若BD＝6，CE＝8，請(qǐng)直接寫出BC的長．

2024-2025學(xué)年江蘇省無錫市梁溪區(qū)大橋?qū)嶒?yàn)學(xué)校八年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.選擇題1．（3分）下列圖形中，屬于軸對(duì)稱圖形的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念求解．如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸．【解答】解：第三個(gè)不是軸對(duì)稱圖形，其它三個(gè)是軸對(duì)稱圖形．故選：B．2．（3分）下列等式：①＝，②＝﹣2，③＝2，④＝﹣，⑤＝±4，⑥﹣＝﹣2，成立的是（）A．①⑤ B．②④ C．③⑥ D．②③④⑥【答案】D【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義對(duì)①③⑤⑥進(jìn)行判斷；根據(jù)立方根的定義對(duì)②④進(jìn)行判斷．【解答】解：＝，＝4，＝﹣2，＝2，＝﹣，﹣＝﹣2，所以上述等式成立的是②③④⑥．故選：D．3．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D、E在BC上，連接AD、AE，如果只添加一個(gè)條件使∠DAB＝∠EAC，則添加的條件不能為（）A．BD＝CE B．AD＝AE C．BE＝CD D．DA＝DE【答案】D【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解答】解：A、添加BD＝CE，可以利用“邊角邊”證明△ABD和△ACE全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠DAB＝∠EAC，故本選項(xiàng)不符合題意；B、添加AD＝AE，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ADE＝∠AED，然后利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠DAB＝∠EAC，故本選項(xiàng)不符合題意；C、添加BE＝CD可以利用“邊角邊”證明△ABE和△ACD全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠DAB＝∠EAC，故本選項(xiàng)不符合題意；D、添加DA＝DE無法求出∠DAB＝∠EAC，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．4．（3分）下列數(shù)中，3.14159，，0.121121112…，﹣π，，，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，注意帶根號(hào)且開不盡的為無理數(shù)．【解答】解：，，所以3.14159，，0.121121112…，﹣π，，，無理數(shù)有0.121121112…，﹣π，共2個(gè)，故選：B．5．（3分）下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是（）A．8，12，15 B．1，5，5 C． D．40，41，9【答案】D【分析】由勾股數(shù)的定義，只要驗(yàn)證兩較小正整數(shù)的平方和等于最大正整數(shù)的平方，則這三個(gè)數(shù)就是勾股數(shù)，據(jù)此判斷即可．【解答】解：A、82+122＝208≠152，故選項(xiàng)不符合題意；B、12+52＝26≠52，故選項(xiàng)不符合題意；C、不都是正整數(shù)，肯定不是勾股數(shù)，故選項(xiàng)不符合題意；D、92+402＝1681＝412，故選項(xiàng)符合題意．故選：D．6．（3分）如圖，某一個(gè)城市在一塊空地新建了三個(gè)居民小區(qū)，它們分別為A、B、C，且三個(gè)小區(qū)不在同一直線上，要想規(guī)劃一所中學(xué)，使這所中學(xué)到三個(gè)小區(qū)的距離相等．這所中學(xué)應(yīng)建在（）A．△ABC的三條中線的交點(diǎn) B．△ABC三邊的垂直平分線的交點(diǎn) C．△ABC三條角平分線的交點(diǎn) D．△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)“線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”判斷即可．【解答】解：根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，則學(xué)校應(yīng)建在△ABC三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)處，故選：B．7．（3分）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BC上，且AD＝BD，AD、CE相交于點(diǎn)F，若∠B＝20°，則∠DFE等于（）A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】B【分析】求出AE＝BE＝CE，推出B＝∠ECB＝20°，∠EAC＝∠ACE＝70°，求出∠CAD，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AFC，根據(jù)對(duì)頂角相等求出即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，E是AB中點(diǎn)，∴AE＝CE＝BE，∴∠B＝∠ECB＝20°，∠EAC＝70°＝∠ACE，∵BD＝AD，∴∠BAD＝∠B＝20°，∴∠CAD＝70°﹣20°＝50°，∴∠AFC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∴∠DFE＝∠AFC＝60°，故選：B．8．（3分）如圖所示，點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BO平分∠ABC，OD⊥BC于點(diǎn)D，連接OA，若OD＝5，AB＝20，則△AOB的面積是（）A．20 B．30 C．50 D．100【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出OE，最后用三角形的面積公式即可解答．【解答】解：過O作OE⊥AB于點(diǎn)E，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于點(diǎn)D，∴OE＝OD＝5，∴△AOB的面積＝，故選：C．9．（3分）如圖，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝8，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，將△ABD沿AD折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接CE，則CE的長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接BE交AD于O．首先證明AD垂直平分線段BE，△BCE是直角三角形，由勾股定理求出AD＝5，求出OB、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解決問題．【解答】解：如圖所示：連接BE交AD于O，∵將△ABD沿AD折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，∴AD⊥BE，OB＝OE，BD＝DE，在Rt△ABC中，BC＝8，AB＝3，D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝CB＝4，∴AD＝＝＝5，∵S△ABD＝?BO?AD＝?AB?BD，∴OB＝＝，∴BE＝2OB＝，∵DE＝DB＝DC，∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，在Rt△BCE中，CE＝＝＝；故選：D．10．（3分）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)E，BE＝ED，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ACB．若CD＝10，AD＝14，則DE的長為（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】過D作DF⊥AC于點(diǎn)F，延長AC至G，使得CG＝CD，連接DG，證明△ABE≌△FDE（AAS），△ABC≌△FDG（AAS），利用勾股定理即可解答．【解答】解：如圖，過D作DF⊥AC于點(diǎn)F，延長AC至G，使得CG＝CD，連接DG，∴∠DFE＝90°，∵∠BAE＝∠DFE＝90°，∠AEB＝∠DEF，BE＝DE，∴△ABE≌△FDE（AAS），∴AB＝DF，∵CG＝CD，∴∠G＝∠DCG，∵∠ACD＝2∠ACB＝∠G+∠ACG，∴∠G＝∠ACB，又∵DF＝AB，∠BAC＝∠DFG＝90°，∴△ABC≌△FDG（AAS），∴AC＝FG，∴AF＝CG＝CD＝10，∴EF＝5，∴DF2＝AD2﹣AF2＝142﹣102＝96，∴DE2＝EF2+DF2＝52+96＝121，解得DE＝11（舍負(fù)），故選：C．二.填空題（共8小題）11．（3分）的平方根是±3．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的定義即可解決問題．【解答】解：∵＝9，9的平方根是±3，∴的平方根是±3．故答案為±3．12．（3分）我市某企業(yè)去年生產(chǎn)總值達(dá)到1583.45萬元，用科學(xué)記數(shù)法表示（保留到百萬位）是1.6×107元．【答案】1.6×107．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：1583.45萬≈1.6×107元．故答案為：1.6×107．13．（3分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：a3﹣9a＝a（a+3）（a﹣3）．．【答案】a（a+3）（a﹣3）．【分析】按照因式分解的定義，提取公因式即可求解．【解答】解：a3﹣9a＝a（a2﹣9）＝a（a+3）（a﹣3）．故答案為：a（a+3）（a﹣3）．14．（3分）已知等腰三角形的一個(gè)角是100°，則底角的度數(shù)是40°．【答案】40°．【分析】分100°角是頂角和底角兩種情況討論即可．【解答】解：∵等腰三角形的一個(gè)角是100°，∴這個(gè)100°角是頂角時(shí)，∴底角的度數(shù)是，當(dāng)這個(gè)100°角是底角時(shí)，則100°+100°＞180°，不能構(gòu)成三角形．故底角的度數(shù)為40°．故答案為：40°．15．（3分）如圖，設(shè)△ABC和△CDE都是等邊三角形，且∠EBD＝62°，則∠AEB的度數(shù)是122°．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由已知條件推導(dǎo)出△ACE≌△BCD，從而∠DBC＝∠CAE，再通過角之間的轉(zhuǎn)化，利用三角形內(nèi)角和定理能求出∠AEB的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，且∠EBD＝62°，∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，又∵∠ACB＝∠ACE+∠BCE，∠ECD＝∠BCE+∠BCD，∴∠BCD＝∠ACE，△ACE≌△BCD，∴∠DBC＝∠CAE，∴62°﹣∠EBC＝60°﹣∠BAE，∴62°﹣（60°﹣∠ABE）＝60°﹣∠BAE，∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠BAE）＝180°﹣58°＝122°．故答案為：122°．16．（3分）在三角形ABC中，∠BAC＝45°，高AD，BE交于點(diǎn)H，M，N分別為AH，BC的中點(diǎn)，連接MN．若，則BC＝2．【答案】2．【分析】連接ME、NE，可證△AHE≌△BCE，進(jìn)一步可推出△MEN為等腰直角三角形，即可求解．【解答】解：連接ME、NE，如圖所示：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB＝∠ADC＝∠BEC＝∠BEA＝90°，∵∠EBC+∠BCE＝∠EAH+∠BCE＝90°，∴∠EBC＝∠EAH，∵∠BAC＝45°，∴∠ABE＝45°，∴AE＝BE，∴△AHE≌△BCE（ASA），∴AH＝BC，∵M(jìn)，N分別為AH，BC的中點(diǎn)，∴，∴ME＝NE，∠MEA＝∠MAE，∠NEC＝∠NCE，∴∠MEA+∠NEC＝∠MAE+∠NCE＝90°，∴∠MEN＝90°，∴△MEN為等腰直角三角形，∵，ME＝NE，∴，∴BC＝2NE＝2．故答案為：2．17．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22°，PQ垂直平分AB，垂足為Q，交BC于點(diǎn)P．按以下步驟作圖：以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，分別交邊AC，AB于點(diǎn)D，E；分別以點(diǎn)D，E為圓心，以大于DE的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F；作射線AF．射線AF與直線PQ相交于點(diǎn)G，則∠AGQ的度數(shù)為56度．【答案】56．【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余得∠BAC＝68°，由角平分線的定義得∠BAG＝34°，由線段垂直平分線可得△AQG是直角三角形，根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求出∠AGQ．【解答】解：如圖，∵△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵∠B＝22°，∴∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣22°＝68°，由作法可知，AG是∠BAC的平分線，∴∠BAG＝BAC＝34°，∵PQ是AB的垂直平分線，∴△AGQ是直角三角形，∴∠AGQ+∠BAG＝90°，∴∠AGQ＝90°﹣∠BAG＝90°﹣34°＝56°，故答案為：56．18．（3分）如圖，已知△ABC與△ADC是直角三角形，∠B＝∠D＝90°，BC＝6，CD＝5．若∠BAC+2∠CAD＝180°，則AB的長是．【答案】．【分析】延長CD，BA交于點(diǎn)E，根據(jù)平角定義和∠BAC+2∠CAD＝180°，推∠CAD＝∠DAE，用（ASA）證明△CAD≌△EAD，推DE＝DC＝5，AE＝AC，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理得EB＝8，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求AB長．【解答】解：延長CD，BA交于點(diǎn)E，∵∠BAC+2∠CAD＝180°，∠BAC+∠CAD+∠DAE＝180°，∴∠CAD＝∠DAE，在△CAD與△EAD中，∴△CAD≌△EAD（ASA），∴DE＝DC＝5，AE＝AC，∴CE＝10，∵∠B＝90°，在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理得EB＝8，設(shè)AB＝x，則AE＝8﹣x，∴AC＝8﹣x，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得，（8﹣x）2＝x2+62，解得，x＝；故答案為：．三.解答題（共9小題）19．計(jì)算：（1）﹣（3﹣π）0+（）﹣2；（2）﹣+﹣（）2．【答案】（1）7；（2）6．【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡，進(jìn)而得出答案；（2）直接利用二次根式的性質(zhì)以及立方根的性質(zhì)分別化簡，進(jìn)而得出答案．【解答】解：（1）原式＝4﹣1+4＝7；（2）原式＝3+2+3﹣2＝6．20．求下列各式中的實(shí)數(shù)x．（1）4x2﹣25＝0；（2）27（x﹣1）3＝﹣64．【答案】（1）；（2）x＝﹣．【分析】（1）先移項(xiàng)，再兩邊都除以4，繼而利用平方根的定義求解即可；（2）先兩邊都除以27，再利用立方根的定義求解，然后解一元一次方程可得答案．【解答】解：（1）∵4x2﹣25＝0，∴4x2＝25，∴x2＝，則x＝±＝±；（2）∵27（x﹣1）3＝﹣64，∴（x﹣1）3＝﹣，則x﹣1＝，即x﹣1＝﹣，解得x＝﹣．21．（1）已知2a﹣1的平方根是±3，3a+b﹣1的平方根是±4，求a+2b的平方根；（2）若x，y都是實(shí)數(shù)，且y＝+8，求x+3y的立方根．【答案】（1）±3．（2）3．【分析】（1）根據(jù)平方根的定義求出a、b的值，然后代入a+2b即可求出答案．（2）根據(jù)二次根式有意義的條件可求出x與y的值，然后代入原式即可求出答案．【解答】解：（1）由題意可知：2a﹣1＝9，3a+b﹣1＝16，∴a＝5，b＝2，∴a+2b＝5+4＝9，∴9的平方根是±3，即a+2b的平方根為±3．（2）由題意可知：，∴x＝3，∴y＝8，∴x+3y＝3+24＝27，∴27的立方根是3，即x+3y的立方根是322．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段AM上，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求證：CE＝CM．（2）若AB＝4，求線段FC的長．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得MC＝MA＝MB，根據(jù)外角的性質(zhì)可得∠MEC＝∠A+∠ACE，∠EMC＝∠B+∠MCB，根據(jù)等角對(duì)等邊即可得證；（2）根據(jù)CE＝CM先求出CE的長，再解直角三角形即可求出FC的長．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，∴MC＝MA＝MB，∴∠MCA＝∠A，∠MCB＝∠B，∵∠A＝50°，∴∠MCA＝50°，∠MCB＝∠B＝40°，∴∠EMC＝∠MCB+∠B＝80°，∵∠ACE＝30°，∴∠MEC＝∠A+∠ACE＝80°，∴∠MEC＝∠EMC，∴CE＝CM；（2）解：∵AB＝4，∴CE＝CM＝AB＝2，∵EF⊥AC，∠ACE＝30°，∴FC＝CE?cos30°＝．23．（1）如圖1，已知△ABC，請(qǐng)用圓規(guī)和直尺在BC上找一點(diǎn)D，使△ABC沿直線AD折疊，點(diǎn)C落在邊AB上（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）如圖2，已知△ABC，請(qǐng)用圓規(guī)和直尺在BC上找一點(diǎn)D，使△ABC沿過點(diǎn)D的某一條直線折疊，點(diǎn)C落在邊AB上的E處，且DE⊥AB．（不寫作法，保留作圖痕跡）（3）如圖3，方格紙中每個(gè)小正方形的邊長均為1，線段AB和PQ的端點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上．①在線段PQ上確定一點(diǎn)C（點(diǎn)C在小正方形的頂點(diǎn)上），使△ABC是軸對(duì)稱圖形，并在網(wǎng)格中畫出△ABC；②請(qǐng)直接寫出△ABC的周長和面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①見解析；②10+5；．【分析】（1）根據(jù)作一個(gè)角的平分線的作法即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)過一點(diǎn)作直線的垂線和一個(gè)角的平分線以及作一個(gè)角等于已知角的作法作出圖形即可；（3）①根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)作出圖形即可；②根據(jù)三角形的面積和周長公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1，點(diǎn)D即為所求．（2）如圖2，點(diǎn)D即為所求．（3）①如圖所示，△ABC即為所求；②△ABC的周長為2×+＝10+5；△ABC的面積為7×4﹣2××3×4﹣×1×7＝．24．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，P為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)D、E分別在AC、BC上（點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合），若P運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)，且PD⊥PE．①求證：AD＝CE；②若AD＝7，BE＝1，求PD的長；（2）如圖2，點(diǎn)F在BC上，且PC＝PF，過點(diǎn)F作FH⊥AB，垂足為H，若AB＝10，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，線段PH的長度是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出PH的長度；若變化，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）①見解析過程；②PD＝5；（2）PH的值不變，理由見解析過程，PH＝5．【分析】（1）①由“ASA”可證△APD≌△CPE，可得AD＝CE；②由全等三角形的性質(zhì)可得PD＝PE，由勾股定理可求解；（2）由“AAS”可證△CPQ≌△PFH，可得PH＝CQ，即可求解．【解答】（1）①證明：如圖1中，連接CP，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CP⊥AB，∴AP＝PB，∠PCE＝∠OCA＝∠A＝45°，∴CP＝PA＝PB，∵∠APC＝∠DPE＝90°，∴∠APD＝∠CPE，在△APD和△CPE中，，∴△APD≌△CPE（ASA），∴AD＝CE；②解：如圖1中，連接DE，∵△APD≌△CPE，∴PD＝PE，∵AC＝CB＝8，CE＝AD＝7，∴DE2＝CD2+CE2＝12+72＝50，∴PE2+PD2＝50，∴PD＝5；（2）解：PH的值不變，PH＝5．理由：如圖2中，作CQ⊥AB，垂足為Q，∵PC＝PF，∴∠PCF＝∠PFC，∴∠PCQ+∠QCB＝∠FPH+∠B，∵∠QCB＝∠B＝45°，∴∠PCQ＝∠FPH，在△CPQ和∠PFH中，，∴△CPQ≌△PFH（AAS），∴PH＝CQ，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CQ⊥AB，∴AQ＝BQ，∴CQ＝AB＝5，∴PH＝5是定值．25．定義：一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角兩倍的三角形，叫做“倍角三角形”．（1）下列三角形一定是“倍角三角形”的有②③（只填寫序號(hào)）．①頂角是30°的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一個(gè)角是30°的直角三角形．（2）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，將△ABC沿邊AB所在的直線翻折180°得到△ABD，延長DA到點(diǎn)E，連接BE．①若BC＝BE，求證：△ABE是“倍角三角形”；②點(diǎn)P在線段AE上，連接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的兩三角形中，一個(gè)是等腰三角形，一個(gè)是“倍角三角形”，請(qǐng)直接寫出∠E的度數(shù)．【答案】（1）②③；（2）①見解析過程；②45°或15°或20°或40°．【分析】（1）利用“倍角三角形”的定義依次判斷可求解；（2）①由折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求∠BAE＝2∠ADB，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠BDE＝∠E，可得結(jié)論；②分兩種情況討論，由三角形內(nèi)角和定理和“倍角三角形”的定義可求解．【解答】（1）解：若頂角是30°的等腰三角形，∴兩個(gè)底角分別為75°，75°，∴頂角是30°的等腰三角形不是“倍角三角形”，若等腰直角三角形，∴三個(gè)角分別為45°，45°，90°，∵90°＝2×45°，∴等腰直角三角形是“倍角三角形”，若有一個(gè)是30°的直角三角形，∴另兩個(gè)角分別為60°，90°，∵60°＝2×30°，∴有一個(gè)30°的直角三角形是“倍角三角形”，故答案為：②③；（2）①證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵將△ABC沿邊AB所在的直線翻折180°得到△ABD，∴∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，BC＝BD，∴∠BAE＝2∠ADB，∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴∠E＝∠ADB，∴∠BAE＝2∠E，∴△ABE是“倍角三角形”；②解：由①可得∠BAE＝2∠BDA＝2∠C＝60°，如圖，若△ABP是等腰三角形，則△BPE是“倍角三角形”，∴△ABP是等邊三角形，∴∠APB＝60°，∴∠BPE＝120°，∵△BPE是“倍角三角形”，∴∠BEP＝2∠EBP或∠PBE＝2∠BEP，∴∠BEP＝20°或40°；若△BPE是等腰三角形，則△ABP是“倍角三角形”，∴∠ABP＝∠BAP＝30°或∠APB＝∠BAE＝30°或∠ABP＝2∠APB或∠APB＝2∠ABP，∴∠APB＝90°或30°或40°或80°，∴∠BPE＝90°或150°或140°或100°，∵△BPE是等腰三角形，∴∠BEP＝45°或15°或20°或40°，綜上所述：∠BPE的度數(shù)為45°或15°或20°或40°．26．如圖，在四邊形ABDE中，△ABC、△DCE是等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BCD為銳角；（1）在圖1中，△ACE與△BCD面積相等嗎？請(qǐng)說明理由．（2）如圖2，若AC＝4，CD＝5．則四邊形ABDC面積最大值為18．（3）如圖3，已知BD＝6，△ACE的面積為10，G在BD邊上，GC的延長線經(jīng)過AE中點(diǎn)F，求CG的長．【答案】（1）△ACE與△BCD面積相等，理由見解析；（2）18；（3）．【分析】（1）過點(diǎn)E作EG⊥AC交AC的延長線于G，過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，證明△EGC≌△DFC（AAS），則EG＝DF，由此得到△ACE與△BCD面積相等．（2）由題意分析知：△ABC的面積為定值，當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，四邊形ABDC面積最大，過點(diǎn)D作DM⊥BC于M，DM≤CD，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)C重合時(shí)，DM最大，由此求出最大面積．（3）過點(diǎn)E作EN∥AC交CF的延長線于點(diǎn)N，根據(jù)已知條件證明△EFN≌△AFC（AAS），得到EN＝AC，再證明△CEN≌△DCB（SAS），得到CG⊥BD，由已知條件求得CG的長．【解答】解：（1）△ACE與△BCD面積相等，理由如下：如圖，過點(diǎn)E作EG⊥AC交AC的延長線于G，過點(diǎn)D作DF⊥BC于F，∴∠EGC＝∠DFC＝90°，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE+∠BCD＝180°，∵∠ACE+∠ECG＝180°，∴∠ECG＝∠BCD，在△EGC和△DFC中，，∴△EGC≌△DFC（AAS），∴EG