2024-2025學(xué)年青海省西寧市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年青海省西寧市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷一、單選題（每小題5分，共40分）1．已知直線，則直線l的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．已知，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．已知直線：，直線：，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件4．已知空間向量，，若與垂直，則等于（

）A． B． C． D．5．已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程為（

）A．B．C． D．6．已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則（

）A．36 B． C．6 D．7．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，且，則（

）A．4 B． C．2 D．8．如圖，在三棱錐P-ABC中，，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)滿足，，，則直線CE與DF所成的角為（

）A．30° B． C．60° D．90°二、多選題（每小題6分，共18分.全選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9．向量，若，則（

）A．B．C．D．10．已知圓，圓，則下列說法正確的是（

）A．若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則B．若，則圓的公共弦所在的直線方程是C．若圓外切，則D．過點(diǎn)作圓的切線，則的方程是或11．設(shè)，分別是直線，的方向向量，，分別是平面，的一個法向量，則（

）A．若，則B．若，，且，則與的夾角為C．若，則直線與平面所成的角為D．若，且，則三、填空題（每小題5分，共15分）12．已知，則與夾角的余弦值為.13．已知圓：，過圓外一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，若，則．14．已知平面的一個法向量為，點(diǎn)是平面上的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為.四、解答題(共5小題共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.（13分）（1）已知空間向量，求（2）已知，若，求實(shí)數(shù)的值.16.（15分）已知以點(diǎn)A?1,2為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的動直線與圓A相交于(1)求圓的方程.(2)當(dāng)時，求直線的方程．17.（15分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為棱的中點(diǎn)

(1)證明：平面.(2)求平面和平面夾角的余弦值.18.（17分）已知一組動直線方程為.(1)求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).(2)若直線與軸正半軸，軸正半分別交于點(diǎn)兩點(diǎn)，求面積的最小值.19.（17分）在四棱錐中，是等邊三角形，四邊形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中點(diǎn)．求證.(2)求二面角的正切高二數(shù)學(xué)期中答案一、單選題1．已知直線，則直線l的傾斜角為（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.【詳解】直線l的斜率，由于，所以，的傾斜角為.故選：A.2．已知，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】利用投影向量公式進(jìn)行求解【詳解】，故在上的投影向量為．故選：D．3．已知直線：，直線：，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】利用兩直線平行求解的值，結(jié)合充要關(guān)系的定義判斷即可.【詳解】由可得，解得或.當(dāng)時，：，：，顯然，重合，舍去，故時，.因此“”是“”的充要條件.故選：C4．已知空間向量，，若與垂直，則等于（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)運(yùn)算及向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，解方程可得向量與.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)榕c垂直，所以，解得，所以，所以，故選：B.5．已知圓與圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程為（

）A．B．C．D．【正確答案】C【分析】根據(jù)對稱可知是圓和圓圓心連線的垂直平分線，利用垂直關(guān)系求解斜率，由點(diǎn)斜式方程即可．【詳解】圓，圓心，半徑，，圓心，半徑，由題意知，是圓和圓圓心連線的垂直平分線，，，的中點(diǎn)，圓心連線的斜率為，則直線的斜率為，故的方程：，即,故C正確．故選：C．6．已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則（

）A．36 B． C．6 D．【正確答案】C【分析】根據(jù)，求出的值，再利用模長公式求解即可.【詳解】因?yàn)椋裕?，解得，所以，則，所以．故選.7．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，且，則（

）A．4 B． C．2 D．【正確答案】D【分析】運(yùn)用垂徑定理結(jié)合勾股定理構(gòu)造方程計(jì)算即可.【詳解】由題意可得圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離．因?yàn)?，所以，即，解?故選：D.8．如圖，在三棱錐P-ABC中，，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)滿足，，，則直線CE與DF所成的角為（

）A．30° B． C．60° D．90°【正確答案】D【分析】設(shè)，，，利用空間向量運(yùn)算得，，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求解數(shù)量積，即可解答.【詳解】設(shè)，，，則，，，，所以，故直線CE與DF所成的角為90°.故選：D二、多選題9．向量，若，則（

）A．B．C．D．【正確答案】BC【分析】利用空間向量平行列出關(guān)于的方程組，解之即可求得的值和的關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋?，由題意可得，所以，則．故選：BC10．已知圓，圓，則下列說法正確的是（

）A．若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則B．若，則圓的公共弦所在的直線方程是C．若圓外切，則D．過點(diǎn)作圓的切線，則的方程是或【正確答案】BCD【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓的內(nèi)部解不等式即可判斷A錯誤；將兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程可知B正確；利用圓與圓外切，由圓心距和兩半徑之和相等即可知C正確；對直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，由點(diǎn)到直線距離公式即可得D正確.【詳解】對于A，由點(diǎn)在圓的內(nèi)部，得，解得，故錯誤；對于B，若，則圓，將兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程是，故B正確；對于C，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，若圓外切，則，即，解得，故C正確；對于D，當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，的方程是，圓心到的距離，滿足要求，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)的方程為，圓心到的距離，解得，所以的方程是，故D正確.故選：BCD.11．設(shè)，分別是直線，的方向向量，，分別是平面，的一個法向量，則（

）A．若，則B．若，，且，則與的夾角為C．若，則直線與平面所成的角為D．若，且，則【正確答案】AC【分析】利用直線方向向量與平面法向量的位置關(guān)系，逐一分析各選項(xiàng)即可得解.【詳解】，分別是直線，的方向向量，，分別是平面，的一個法向量，對于A，易知若，則，故A正確；對于B，由，可知，直線，，顯然當(dāng)與平行時，直線可以滿足，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，直線與平面所成的角為，故C正確；對于D，若，則直線與平面所成的角為，直線與平面所成的角為，又，則直線所成角可以為，即直線與不平行，故D錯誤.故選：AC.三、填空題12．已知，則與夾角的余弦值為.【正確答案】/【分析】由空間向量的數(shù)量積公式求解即可．【詳解】，.故13．已知圓：，過圓外一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，若，則．【正確答案】1【分析】結(jié)合切線長定理可得為等邊三角形，即可得AB.【詳解】由圓：可得圓心坐標(biāo)為O0,0，半徑，由、為圓切線，故，又故，又，故為等邊三角形，故.故1.14．已知平面的一個法向量為，點(diǎn)是平面上的一點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為.【正確答案】【分析】利用空間向量法可得出點(diǎn)到平面的距離為，即為所求.【詳解】由已知可得，所以點(diǎn)到平面的距離為.故答案為.四、解答題15．（1）已知空間向量，求；（2）已知，若，求實(shí)數(shù)的值【正確答案】（1）

（2）.【分析】（1）求出向量的坐標(biāo)，由坐標(biāo)計(jì)算模長.（2）分別用坐標(biāo)表示出兩個向量，由向量垂直則數(shù)量積為0建立等量關(guān)系，從而求出參數(shù)的值.【詳解】（1），所以（2）∵，∴，∵，∴，即，解得.16．已知以點(diǎn)A?1,2為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的動直線與圓A相交于(1)求圓的方程；(2)當(dāng)時，求直線的方程．【正確答案】(1)(2)或【分析】(1)由題意知點(diǎn)到直線距離公式可確定圓A半徑，帶入到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得圓的方程；(2)過A做，由垂徑定理可知圓心到直線，設(shè)出直線，可分為斜率存在和斜率不存在兩種情況，解之可得直線方程【詳解】（1）易知A?1,2到直線的距離為圓A半徑r，所以，則圓A方程為（2）過A做,由垂徑定理可知，且，在中由勾股定理易知當(dāng)動直線斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)圓心到直線的距離為，且根據(jù)勾股定理可知，顯然合題意，當(dāng)動直線斜率存在時，過點(diǎn)，設(shè)方程為：，由A?1,2到距離為知得，代入解之可得，所以或?yàn)樗蠓匠蹋?7．如圖，在四棱錐中，平面，，，，，為棱的中點(diǎn)

(1)證明：平面；(2)求平面和平面夾角的余弦值；【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，證明，根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面夾角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，．

在中，，分別為，的中點(diǎn)，則，，因?yàn)椋?，則，，可知四邊形為平行四邊形，則，且平面，平面，所以平面．（2）因?yàn)槠矫?，平面，則，，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，則，.又因?yàn)?，所以四邊形為矩形，且，可知四邊形是以邊長為2的正方形，則，A2,0,0，，，，，可得DA=2,0,0，，，

設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，所以，令，則，．所以平面的一個法向量為，易知為平面的一個法向量，所以，所以平面和平面夾角的余弦值為．18．已知一組動直線方程為.(1)求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo);(2)若直線與軸正半軸，軸正半分別交于點(diǎn)兩點(diǎn)，求面積的最小值.【正確答案】定點(diǎn)為（4,1）,最小值為8.【分析】（1）直線方程按k分解變形，方程恒成立，得到方程組，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可證：直線恒過定點(diǎn)．（2）根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程，求出面積的表達(dá)式，根據(jù)均值定理得出面積的最小值．【詳解】（1）直線方程，整理可得：恒成立，由此，解得，由此直線恒過定點(diǎn)（4,1）．（2）直線分別交x軸的正半軸，軸正半分別交于點(diǎn)兩點(diǎn)，設(shè)直線方程為其中．令，;令，，所以，當(dāng)時取等號，．本題較難，考查直線恒過定點(diǎn)的知識，三角形的面積的最小值的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．19．在四棱錐中，是等邊三角形，四邊形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中點(diǎn)．(1)求證：；(2)求二面角的正切值．【正確答案】(1)證明見解析(2)2【分析】（1）取PA的中點(diǎn)F，證得和，得到平面，則，進(jìn)而證得平面，即可證得；（2）根據(jù)題意，證得平面，得到，過作的垂線，證得平面，得到，得出二面角的大小為，在直角中，即可求解.【詳解】（1）證明：如圖所示，取PA的中點(diǎn)F，連接BF，EF，因?yàn)槭堑冗吶切危現(xiàn)是P