2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第一部分第6講專(zhuān)題訓(xùn)練6數(shù)學(xué)文化含解析新人教版

PAGE第一部分第6講專(zhuān)題訓(xùn)練六數(shù)學(xué)文化一、選擇題1．二十四節(jié)氣(The24SolarTerms)是指中國(guó)農(nóng)歷中表示季節(jié)變遷的24個(gè)特定節(jié)令，是依據(jù)地球在黃道(即地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道)上的位置改變而制定的，每一個(gè)節(jié)氣分別相應(yīng)于地球在黃道上每運(yùn)動(dòng)15°所到達(dá)的肯定位置．依據(jù)上述描述，從秋分到小雪相應(yīng)于地球在黃道上運(yùn)動(dòng)的度數(shù)為(A)A．60° B．－75°C．45° D．－60°【解析】從秋分到小雪相應(yīng)于地球在黃道上運(yùn)動(dòng)的度數(shù)為4×15°＝60°.故選A．2．(2024·中衛(wèi)一模)中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不犯難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公細(xì)致算相還．”其大意為：“有一個(gè)人走378里路，第一天健步行走，從其次天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地．”，則該人最終一天走的路程為(C)A．24里 B．12里C．6里 D．3里【解析】記每天走的路程里數(shù)為{an}，可知{an}是公比q＝eq\f(1,2)的等比數(shù)列，由S6＝378，得S6＝eq\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，∴a6＝192×eq\f(1,25)＝6．故選C．3．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開(kāi)立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九面一，所得開(kāi)立方除之，即立圓徑．“開(kāi)立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個(gè)近似公式d≈eq\r(3,\f(16,9)V).人們還用過(guò)一些類(lèi)似的近似公式，依據(jù)π＝3.14159…推斷，下列近似公式中最精確的一個(gè)是(D)A．d≈eq\r(3,\f(16,9)V) B．d≈eq\r(3,2V)C．d≈eq\r(3,\f(300,157)V) D．d≈eq\r(3,\f(21,11)V)【解析】由球體積公式得d＝eq\r(3,\f(6,π)V)≈eq\r(3,1.90986093V).因?yàn)閑q\f(16,9)≈1.77777778，eq\f(300,157)≈1.91082803，eq\f(21,11)≈1.90909091．而eq\f(21,11)最接近于eq\f(6,π).所以選D．4．(2024·渭南二模)費(fèi)馬素?cái)?shù)是法國(guó)大數(shù)學(xué)家費(fèi)馬命名的，形如2n＋1(n∈N)的素?cái)?shù)(如：21＋1＝3)為費(fèi)馬素?cái)?shù)，在不超過(guò)30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù)，則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是(B)A．eq\f(2,15) B．eq\f(1,5)C．eq\f(4,15) D．eq\f(1,3)【解析】在不超過(guò)30的正偶數(shù)中隨機(jī)選取一數(shù)，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝15，能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的只有8＝3＋5,20＝3＋17,22＝5＋17，共有3個(gè)，則它能表示為兩個(gè)不同費(fèi)馬素?cái)?shù)的和的概率是P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).故選B．5．《周髀算經(jīng)》是中國(guó)古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作．其中一個(gè)問(wèn)題大意為：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)損益相同(即太陽(yáng)照耀物體影子的長(zhǎng)度增加和削減大小相同)．若冬至晷長(zhǎng)一丈三尺五寸，夏至晷長(zhǎng)一尺五寸(注：一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則夏至之后的那個(gè)節(jié)氣(小暑)晷長(zhǎng)為(B)A．五寸 B．二尺五寸C．三尺五寸 D．一丈二尺五寸【解析】設(shè)晷長(zhǎng)為等差數(shù)列{an}，公差為d，a1＝15，a13＝135，則15＋12d＝135，解得d＝10．∴a2＝15＋10＝25，∴夏至之后的那個(gè)節(jié)氣(小暑)晷影長(zhǎng)是2尺5寸．故選B．6．(2024·中衛(wèi)二模)加強(qiáng)體育熬煉是青少年生活學(xué)習(xí)中特別重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為60°，每只胳膊的拉力大小均為400N，則該學(xué)生的體重(單位：kg)約為(B)(參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為g＝10m/s2，eq\r(3)≈1.732)A．63 B．69C．75 D．81【解析】由題意知，|eq\o(F1,\s\up6(→))|＝|eq\o(F2,\s\up6(→))|＝400，夾角θ＝60°，所以eq\o(G,\s\up6(→))＋eq\o(F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2,\s\up6(→))＝0，即eq\o(G,\s\up6(→))＝－(eq\o(F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2,\s\up6(→)))；所以eq\o(G,\s\up6(→))2＝(eq\o(F1,\s\up6(→))＋eq\o(F2,\s\up6(→)))2＝4002＋2×400×400×cos60°＋4002＝3×4002；|eq\o(G,\s\up6(→))|＝400eq\r(3)(N)，則該學(xué)生的體重(單位：kg)約為40eq\r(3)＝40×1.732≈69(kg)，故選B．7．(2024·內(nèi)江三模)劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家，在其撰寫(xiě)的《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)“割圓術(shù)”，所謂“割圓術(shù)”，就是用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無(wú)限靠近圓的面積并以此求取圓周率的方法．如圖所示，正十二邊形的中心為圓心O，圓O的半徑為2．現(xiàn)隨機(jī)向圓O內(nèi)投放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二邊形內(nèi)(a，b∈N*，b<a)，則圓周率的近似值是(B)A．eq\f(3b,a) B．eq\f(3a,b)C．eq\f(a,b) D．eq\f(b,a)【解析】由幾何概型中的面積型可得eq\f(S正十二邊形,S圓)＝eq\f(b,a)，所以eq\f(12×\f(1,2)×2×2×sin30°,4π)＝eq\f(b,a)，即π＝eq\f(3a,b).故選B．8．(2024·湛江二模)我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計(jì)算幾何體體積的祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．意思是兩個(gè)同高的幾何體，假如在等高處的截面積都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．現(xiàn)有某幾何體和一個(gè)圓錐滿意祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖是半徑為3的圓的三分之一，則該幾何體的體積為(A)A．eq\f(2\r(2),3)π B．eq\f(4\r(2),3)πC．4eq\r(2)π D．eq\f(8,3)π【解析】由題意可知，幾何體的體積等于圓錐的體積，∵圓錐的側(cè)面綻開(kāi)圖恰為一個(gè)半徑為3的圓的三分之一，∴圓錐的底面周長(zhǎng)為eq\f(2π×3,3)＝2π，故圓錐的底面半徑為1，圓錐的高為2eq\r(2).∴圓錐的體積V＝eq\f(1,3)×π×12×2eq\r(2)＝eq\f(2\r(2),3)π.從而所求幾何體的體積為V＝eq\f(2\r(2),3)π.9．(2024·南寧一模)元朝聞名數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩(shī)：“我有一壺酒，攜著游春走，遇店添一倍，逢友飲一斗，店友經(jīng)三處，沒(méi)了壺中酒，借問(wèn)此壺中，當(dāng)原多少酒？”用程序框圖表達(dá)如圖所示．若將“沒(méi)了壺中酒”改為“剩余原壺中eq\f(1,3)的酒量”，即輸出值是輸入值的eq\f(1,3)，則輸入的x＝(C)A．eq\f(3,5) B．eq\f(9,11)C．eq\f(21,23) D．eq\f(45,47)【解析】i＝1時(shí)，x＝2x－1；i＝2時(shí)，x＝2(2x－1)－1＝4x－3；i＝3時(shí)，x＝2(4x－3)－1＝8x－7；i＝4時(shí)，退出循環(huán)．此時(shí)，8x－7＝eq\f(1,3)x，解得x＝eq\f(21,23).故選C．10．(2024·咸陽(yáng)模擬)我國(guó)古代《九章算術(shù)》將上下兩個(gè)平行平面為矩形的六面體稱(chēng)為芻童．如圖是一個(gè)芻童的三視圖，其中正視圖及側(cè)視圖均為等腰梯形，兩底的長(zhǎng)分別為2和6，高為2，則該芻童的表面積為(B)A．32eq\r(2) B．40＋32eq\r(2)C．eq\f(104,3) D．72【解析】依據(jù)幾何體的三視圖畫(huà)出直觀圖，如圖所示；所以該幾何體的表面積為：S＝6×6＋2×2＋4×eq\f(1,2)×(2＋6)×2eq\r(2)＝40＋32eq\r(2)故選B．11．(2024·濱州二模)趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周碑算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱(chēng)“趙爽弦圖”(以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的)．類(lèi)比“趙爽弦圖”，可類(lèi)似地構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，設(shè)AD＝2BD，若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小等邊三角形的概率是(A)A．eq\f(1,7) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(4,13)【解析】設(shè)BD＝x，因?yàn)椤鰽BC是由3個(gè)全等的三角形與中間的等邊三角形構(gòu)成，所以AD＝2x，∠ADB＝120°，由余弦定理可知AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos120°，代入可得AB2＝(2x)2＋x2－2×2x·xcos120°，化簡(jiǎn)得AB2＝7x2，由三角形面積公式可得S△ABC＝eq\f(\r(3),4)AB2＝eq\f(7\r(3)x2,4)，同理S△DEF＝eq\f(\r(3),4)FD2＝eq\f(\r(3)x2,4)，所以由幾何概型面積類(lèi)型的概率可得eq\f(S△DEF,S△ABC)＝eq\f(\f(\r(3)x2,4),\f(7\r(3)x2,4))＝eq\f(1,7).故選A．12．(2024·廈門(mén)一模)1618年德國(guó)物理學(xué)家開(kāi)普勒在《宇宙諧和論》上提出：繞以太陽(yáng)為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的全部行星，其各自橢圓軌道半長(zhǎng)軸長(zhǎng)(單位：米)的立方(a3)與它的公轉(zhuǎn)周期(單位：秒)的平方(T2)之比是一個(gè)常量，即eq\f(a3,T2)＝k，k＝eq\f(GM,4π2)(其中k為開(kāi)普勒常數(shù)，M為中心天體質(zhì)量，G為引力常量)．已知地球軌道的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)約為1.5億千米，地球的運(yùn)行周期約為1年，距離太陽(yáng)最遠(yuǎn)的冥王星軌道的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)約為60億千米，則冥王星的運(yùn)行周期約為(C)A．150年 B．200年C．250年 D．300年【解析】設(shè)地球的運(yùn)行周期為T(mén)1，半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a1，冥王星的運(yùn)行周期為T(mén)2，冥王星軌道的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a2，由題意可得eq\f(a3,T2)＝k，所以eq\f(a\o\al(3,1),T\o\al(2,1))＝eq\f(a\o\al(3,2),T\o\al(2,2))，由題意可得Teq\o\al(2,2)＝eq\f(603,1.53)×12，所以T2＝80eq\r(10)≈250年，故選C．二、填空題13．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列．上面4節(jié)的容積共為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為_(kāi)_eq\f(67,66)__升．【解析】設(shè)該數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，依題意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66)))，則a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).14．第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的．如圖，會(huì)標(biāo)是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．假如小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較大的銳角為θ，那么tan(θ＋eq\f(π,4))＝__－7__.【解析】依題意得大、小正方形的邊長(zhǎng)分別是5,1，于是有5sinθ－5cosθ＝1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2)))，即有sinθ－cosθ＝eq\f(1,5).從而(sinθ＋cosθ)2＝2－(sinθ－cosθ)2＝eq\f(49,25)，則sinθ＋cosθ＝eq\f(7,5)，因此sinθ＝eq\f(4,5)，cosθ＝eq\f(3,5)，tanθ＝eq\f(4,3)，故taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(tanθ＋1,1－tanθ)＝－7．15．設(shè)a＞0，b＞0，則eq\f(2ab,a＋b)為a，b的調(diào)和平均數(shù)．如圖，C為線段AB上的點(diǎn)，AC＝a，CB＝b，O為AB的中點(diǎn)，以AB為直徑作半圓．過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交半圓于D，連接OD，AD，BD．過(guò)點(diǎn)C作OD的垂線，垂足為E.則圖中線段OD的長(zhǎng)度是a，b的算術(shù)平均數(shù)，線段CD的長(zhǎng)度是a，b的幾何平均數(shù)，線段__DE__的長(zhǎng)度是a，b的調(diào)和平均數(shù)．【解析】因?yàn)镽t△DEC∽R(shí)t△DCO，所以eq\f(DE,CD)＝eq\f(CD,OD)，從而DE＝eq\f(CD2,OD).依題意可得OD＝eq\f(a＋b,2)，C