2024-2025學年新教材高中數(shù)學第七章隨機變量及其分布7.4.2超幾何分布教師用書教案新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE7.4.2超幾何分布新版課程標準學業(yè)水平要求1.結合生活中的實例,了解超幾何分布2.了解超幾何分布的均值及其意義1.結合教材實例,了解超幾何分布的概念.(數(shù)學抽象)2.會利用公式求聽從超幾何分布的隨機變量的概率、均值.(數(shù)學運算)3.了解超幾何分布與二項分布的關系,能利用超幾何分布概率模型解決實際問題.(數(shù)學建模)必備學問·素養(yǎng)奠基超幾何分布(1)定義:一般地,假設一批產品共有N件,其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產品的次品數(shù),則X的分布列為PQUOTE=QUOTE,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=maxQUOTE,r=minQUOTE.假如隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X聽從超幾何分布.(2)均值:EQUOTE=np,其中p=QUOTE是N件產品的次品率.不放回抽取和有放回抽取有何不同?提示:抽取次數(shù)不同,不放回抽取只抽取一次,一次抽取n個,有放回抽取要抽取n次,每次抽取一個;概率模型不同,不放回抽取聽從超幾何分布,有放回抽取聽從二項分布.1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)將一枚硬幣連拋3次,正面對上的次數(shù)X聽從超幾何分布.()(2)盒中有4個白球和3個黑球,有放回地摸取3個球,黑球的個數(shù)X聽從超幾何分布.()(3)某射手的命中率為0.8,現(xiàn)對目標射擊3次,命中目標的次數(shù)X聽從超幾何分布.()提示:(1)×.正面對上的次數(shù)X聽從二項分布.(2)√.由超幾何分布的定義,黑球的個數(shù)X聽從超幾何分布.(3)×.命中目標的次數(shù)X聽從二項分布.2.在10個村莊中,有4個村莊交通不便利,若用隨機變量X表示任選6個村莊中交通不便利的村莊的個數(shù),則X聽從超幾何分布,其參數(shù)為()A.N=10,M=4,n=6B.N=10,M=6,n=4C.N=14,M=10,n=4D.N=14,M=4,n=10【解析】選A.依據(jù)超幾何分布概率模型知N=10,M=4,n=6.3.設袋中有80個紅球,20個白球,若從袋中任取10個球,則其中恰有6個紅球的概率為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.若隨機變量X表示任取10個球中紅球的個數(shù),則X聽從參數(shù)為N=100,M=80,n=10的超幾何分布.取到10個球中恰有6個紅球,即X=6,P(X=6)=QUOTE(留意袋中球的個數(shù)為80+20=100).關鍵實力·素養(yǎng)形成類型一超幾何分布模型的概率【典例】1.一批產品共50件,其中5件次品,45件正品,從這批產品中隨意抽2件,則出現(xiàn)2件次品的概率為()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.以上都不對2.某地7個貧困村中有3個村是深度貧困,現(xiàn)從中隨意選3個村,下列事務中概率等于QUOTE的是()A.至少有1個深度貧困村B.有1個或2個深度貧困村C.有2個或3個深度貧困村D.恰有2個深度貧困村【思維·引】1.從這批產品中隨意抽2件,出現(xiàn)的次品數(shù)聽從超幾何分布,干脆利用公式計算;2.分別利用超幾何分布的概率公式計算驗證.【解析】1.選A.出現(xiàn)2件次品的概率為QUOTE=QUOTE.2.選B.用X表示這3個村莊中深度貧困村數(shù),則X聽從超幾何分布,所以P(X=k)=QUOTE,P(X=0)=QUOTE=QUOTE,P(X=1)=QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE=QUOTE,P(X=3)=QUOTE=QUOTE,所以P(X=1)+P(X=2)=QUOTE,即有1個或2個深度貧困村的概率為QUOTE.【內化·悟】本例2中對于含有“至少”、“或”的事務,求概率時要留意什么?提示:含有“至少”的事務可以考慮求其對立事務的概率;含有“或”的事務應當考慮其中的兩個事務是否互斥,利用互斥事務和的概率求值.【類題·通】關于超幾何分布的概率求法首先明確隨機變量是否聽從超幾何分布,把握等可能、不放回兩個特點;其次是明確公式中的參數(shù),即N,M,n的值各是什么;最終代入公式計算概率.【習練·破】在20件產品中,有15件一級品,5件二級品,從中任取3件,其中至少有一件為二級品的概率是________.

【解析】設隨機變量X表示取出二級品的件數(shù),則P(X=1)=QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE=QUOTE,P(X=3)=QUOTE=QUOTE.所以P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE類型二超幾何分布模型的分布列【典例】為了解學生的身體素養(yǎng)狀況,現(xiàn)從我校學生中隨機抽取10人進行體能測試,測試的分數(shù)(百分制)依次為:52,65,72,78,86,86,86,87,87,88.依據(jù)有關國家標準,成果不低于79分的為優(yōu)秀,從這10人中隨機選取3人,記X表示測試成果為“優(yōu)秀”的學生人數(shù),求X的分布列.【思維·引】先確定X的取值,再依據(jù)超幾何分布概率公式分別計算概率,列出分布列.【解析】由題意可得,X的取值可能為0,1,2,3,P(X=0)=QUOTE=QUOTE,P(X=1)=QUOTE=QUOTE,P(X=2)=QUOTE=QUOTE,P(X=3)=QUOTE=QUOTE,所以X的分布列為:X0123P【內化·悟】利用超幾何分布公式計算概率時有什么規(guī)律?提示:因為公式中都是組合數(shù),用組合數(shù)公式綻開后,要先約分再進行運算,這樣可以簡化運算的過程.【類題·通】關于超幾何分布的分布列(1)先確定隨機變量的取值,再分別利用公式計算相應的概率,最終列出分布列;(2)當超幾何分布用表格表示較繁雜時,可用解析式法表示.【習練·破】袋中有4個紅球、3個黑球,從袋中隨機取球,設取到一個紅球得2分,取到一個黑球得1分,從袋中任取4個球.求得分X的分布列.【解析】從袋中隨機摸4個球的狀況為:1紅3黑,2紅2黑,3紅1黑,4紅四種狀況,分別得分為5分、6分、7分、8分,故X的可能取值為5,6,7,8.P(X=5)=QUOTE=QUOTE,P(X=6)=QUOTE=QUOTE,P(X=7)=QUOTE=QUOTE,P(X=8)=QUOTE=QUOTE.故所求概率分布列為X5678P【加練·固】10件產品中有3件次品,7件正品,現(xiàn)從中抽取5件,求抽取次品件數(shù)ξ的分布列.【解析】ξ可能取值為0,1,2,3.ξ=0表示取出5件全是正品.P(ξ=0)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.ξ=1表示取出5件產品中有1件次品,4件正品.P(ξ=1)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.ξ=2表示取出5件產品中有2件次品,3件正品.P(ξ=2)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.ξ=3表示取出5件產品中有3件次品,2件正品.P(ξ=3)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.所以ξ的分布列為ξ0123P類型三超幾何分布的實際應用角度1求隨機變量的均值【典例】若有一大宗商品,二等品率為4%,從中任取100件,預料二等品數(shù)是________件.

【思維·引】預料的二等品數(shù)即為均值.【解析】預料二等品數(shù)為100×4%=4(件).答案:4【素養(yǎng)·探】★本例考查利用超幾何分布的均值解決問題,考查了數(shù)學運算和數(shù)學建模的核心素養(yǎng).本例的條件變?yōu)橐慌a品有50件,其中一等品30件,二等品15件,三等品5件,若從中任取20件,預料二等品有________件.

【解析】這批產品中,二等品率為QUOTE,因此預料二等品為6件.答案:6角度2超幾何分布的實際應用【典例】某商場慶“五一”實行促銷活動,活動期間凡在商場購物滿88元的顧客,憑發(fā)票都有一次摸獎機會,摸獎規(guī)則如下:打算了10個相同的球,其中有5個球上印有“獎”字,另外5個球上無任何標記,摸獎前在盒子里搖勻,然后由摸獎者隨機地從中摸出5個球,獎品按摸出的球中含有帶“獎”字球個數(shù)規(guī)定如表:摸出的5個球中帶“獎”字球的個數(shù)獎品0無1無2肥皂一塊3洗衣粉一袋4雨傘一把5自行車一輛(1)若某人憑發(fā)票摸獎一次,求中獎的概率;(2)若某人憑發(fā)票摸獎一次,求獎品為自行車的概率.【思維·引】(1)可利用對立事務求獲獎的概率;(2)首先明確獎品為自行車時帶“獎”字球的個數(shù),再用公式計算概率.【解析】(1)設X為摸取5個球中印有“獎”字的球的個數(shù),則X聽從參數(shù)為N=10,M=5,n=5的超幾何分布.X的可能取值為0,1,2,3,4,5,則X的分布列為:P(X=k)=QUOTE(k=0,1,2,3,4,5).若要獲得獎品,只需X≥2,則P(X≥2)=1-P(X<2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-QUOTE-QUOTE=QUOTE.(2)若要獲得自行車,必需X=5,則P(X=5)=QUOTE=QUOTE.【類題·通】1.關于超幾何分布的均值(1)超幾何分布的均值與二項分布的均值都是np,但是n,p的意義不同,超幾何分布中n是不放回地隨機抽取的產品數(shù),p是次品率.(2)對于不放回抽取,當n遠遠小于N時,每抽取一次后,對N的影響很小,此時,超幾何分布可以用二項分布近似.2.關于超幾何分布的應用對于聽從超幾何分布的隨機變量,通過公式可以計算概率,列分布列,求期望,利用這些數(shù)字特征,可以解決實際生活中與之相關的問題.【習練·破】某班組織學問競賽,已知題目共有10道,隨機抽取3道回答,規(guī)定至少要答對其中2道才能通過初試,某人只能答對10道題目中的6道,試求:(1)他能答對抽到題目數(shù)的分布列;(2)他能通過初試的概率.【解析】(1)設隨機抽出的3道題目某人能答對的道數(shù)為X,則X=0,1,2,3,X聽從超幾何分布,X的分布列如表:X0123P即X0123P(2)要至少答對其中2道才能通過初試,則可以通過初試包括兩種狀況,即答對其中2道和答對3道,這兩種狀況是互斥的,依據(jù)(1)的計算可得P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=QUOTE+QUOTE=QUOTE.課堂檢測·素養(yǎng)達標1.從一副不含大、小王的52張撲克牌中隨意抽出5張,則至少有3張A的概率為()A.QUOTE B.QUOTEC.1-QUOTE D.QUOTE【解析】選D.設X為抽出的5張撲克牌中含A的張數(shù).則P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)=QUOTE+QUOTE.2.盒子里共有7個除了顏色外完全相同的球,其中有4個紅球3個白球,從盒子中任取3個球,則恰好取到2個紅球1個白球的概率為()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由題意得所求概率為P=QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.在15個村莊中有7個村莊交通不便利,現(xiàn)從中隨意選10個村莊,用X表示這10個村莊中交通不便利的村莊數(shù),則P(X=4)=________.(用數(shù)字表示)

【解析】由題意P(X=4)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.