2024-2025學年廣東省廣州市三校高二（上）期中數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省廣州市三校高二（上）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知z1=(a+1)?2i為純虛數(shù)，則z2=a+iA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.在2?內將某種藥物注射進患者的血液中．在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減．能反映血液中藥物含量Q隨時間t變化的圖象是(

)A. B.

C. D.3.設全集U=R，集合A={x|2x>1}，B={x|y=ln(2?x)}，則圖中陰A.(0,+∞)

B.(0,2)

C.[2,+∞)

D.(?∞,0)∪[2，+∞)4.設α∈(0,π2)，β∈(0,π2)A.3α?β=π2 B.3α+β=π2 C.5.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點，若A1BA.?12a+12b+c6.已知點M(3,0)關于直線x?y?1=0的對稱點為P，經過點P作直線l，若直線l與連接A(?7,1)，B(5,8)兩點的線段總有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍為(

)A.[18,32] B.(?∞,7.在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,1)，B(0,4).若直線2x?y+c=0上存在點P，使得PB=2PA，則實數(shù)c的取值范圍是(

)A.(?5,5) B.[?8.已知f(x)，g(x)都是定義在R上的函數(shù)，對任意x、y滿足f(x?y)=f(x)g(y)?g(x)f(y)，且f(?2)=f(1)≠0，則下列說法正確的是(

)A.f(0)=1 B.函數(shù)g(2x+1)的圖象關于點(1,0)對稱

C.g(1)+g(?1)=0 D.若f(1)=1，則n=1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.對任意實數(shù)a，b，c，下列命題中正確的是(

)A.“a>b”是“1a<1b”的充要條件

B.“ab是無理數(shù)”是“a，b都是無理數(shù)”的既不充分也不必要條件

C.“a>b”是“a2>b210.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的圖象關于點(4π3A.φ=π3 B.直線x=5π6是曲線y=f(x)的對稱軸

C.f(x)在區(qū)間(π12,11.兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直，動點M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記CM=BN=a(0<a<2).A.MN/?/平面BCE

B.三棱錐F?ACE的外接球的表面積為12π

C.當MN的長最小時，平面MNA與平面MNB夾角的余弦值13

D.當MN的長最小時，直線CE到平面MNB的距離三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.2023年6月4日神舟十五號載人飛行任務取得圓滿成功，費俊龍、鄧清明、張陸這三位航天員在空間站上工作了186天，此次神舟十五號載人飛船返回，是我國空間站轉入應用與發(fā)展階段后的首次返回任務，掀開了中國航天空間站的歷史新篇章.為科普航天知識，某校組織學生參與航天知識競答活動，某班8位同學成績如下：7，6，8，9，8，7，10，m，若去掉m，該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)保持不變，則整數(shù)m(1≤m≤10)的值可以是

(寫出一個滿足條件的m值即可)．13.圓x2+y2=8內有一點P0(?1,2)，過點P0的直線與圓交于AB兩點，且弦14.已知函數(shù)f(x)=log12(1?x),?1≤x≤n22?|x?1|?3,n<x≤m的值域是四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在一個盒子中有2個白球，3個紅球，甲、乙兩人輪流從盒子中隨機地取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次取1個，取后不放回，直到2個白球都被取出來后就停止取球．

(1)求2個白球都被甲取出的概率；

(2)求將球全部取出才停止取球的概率．16.(本小題15分)

已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，且acosC+3asinC?b?c=0．

(1)求A；

(2)若AD為BC邊上的中線，cosB=17，AD=17.(本小題15分)

已知△ABC的三個頂點分別為A(2,0)，B(2,4)，C(4,2)，直線l經過點D(1,4)．

(1)求△ABC外接圓M的標準方程；

(2)若直線l與圓M相交于P，Q兩點，且PQ=23，求直線l的方程；

(3)若E，F(xiàn)是圓M上的兩個動點，當∠EDF最大時，求直線EF18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，

AB=1，AD=2，AC=CD=5．

(1)求證：PD⊥平面PAB；(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在點M，使得BM/?/平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，說明理由．19.(本小題17分)

常用測量距離的方式有3種.設A(x1,y1)，B(x2,y2)，定義歐幾里得距離d(A,B)=(x1?x2)2+(y1?y2)2，定義曼哈頓距離m(A,B)=|x1?x2|+|y1?y2|，定義余弦距離e(A,B)=1?cos(A,B)，其中cos參考答案1.B

2.B

3.C

4.C

5.A

6.B

7.D

8.D

9.BD

10.AD

11.ACD

12.7(8,9,10均可)

13.x?2y+5=0

14.[1,2]

15.解：(1)若2個白球都被甲取出記為事件A，三種情況：

①第一次甲取出白球，第二次乙取出紅球，第三次甲取出白球，結束取球，其概率為25×34×13=110；

②第一次甲取出白球，第二次乙取出紅球，第三次甲取出紅球，第四次乙取出紅球，第五次甲取白球，

其概率為25×34×23×12×1=110；

③第一次甲取出紅球，第二次乙取出紅球，第三次甲取出白球，第四次乙取出紅球，第五次甲取白球，

其概率為35×24×23×12×1=110；

故P(A)=110+110+110=310．

所以2個白球都被甲取出的概率為310，

(2)若將球全部取出才停止取球記為事件B，則最后一次即第5次取出的一定是白球，

四種情況：①第1次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是紅球，

16.解：(1)由題意知，acosC+3asinC?b?c=0，

由正弦定理得：sinAcosC+3sinAsinC?sinB?sinC=0，

由sinB=sin[π?(A+C)]=sin(A+C)得，

sinAcosC+3sinAsinC?sin(A+C)?sinC=0，

則3sinAsinC?cosAsinC?sinC=0，

又sinC≠0，則3sinA?cosA=1，

化簡得，2sin(A?π6)=1，即sin(A?π6)=12，

又0<A<π，所以A=π3；

(2)在△ABC中，cosB=17得，sinB=1?cos2B=417.解：(1)設圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，D2+E2?4F>0，

則4+2D+F=04+16+2D+4E+F=016+4+4D+2E+F=0，解得D=?4E=?4F=4，

則圓M的方程為x2+y2?4x?4y+4=0，

整理可得圓M的標準方程為(x?2)2+(y?2)2=4；

(2)由(1)得圓心M(2,2)，半徑r=2，

又|PQ|=23，可知圓心M到直線l的距離d=r2?(|PQ|2)2=4?3=1，

當直線l斜率不存在時，直線方程為x=1，

此時圓心M(2,2)到直線l的距離為1，|PQ|=23成立；

當直線l斜率存在時，設直線l方程為y?4=k(x?1)，即kx?y?k+4=0，

圓心M(2,2)到直線l的距離d=|2k?2?k+4|k2+1=1，

解得k=?34，則直線方程為y?4=?34(x?1)，即3x+4y?19=0；

綜上，直線方程為x=1或3x+4y?19=0；

(3)由D(1,4)在圓M外，當DE，DF與圓相切時(E,F不重合18.(1)證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

且AB⊥AD，AB?平面ABCD，

∴AB⊥平面PAD，

∵PD?平面PAD，

∴AB⊥PD，

又PD⊥PA，且PA∩AB=A，PA、AB?平面PAB，

∴PD⊥平面PAB；

(2)解：取AD中點為O，連接CO，PO，

∵CD=AC=5，

∴CO⊥AD，

又∵PA=PD，

∴PO⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

且PO?平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD，

以O為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖：

則P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,?1,0)，C(2,0,0)，

則PB=(1,1,?1),PD=(0,?1,?1)，PC=(2,0,?1)，

設n=(x0,y0,z0)為平面PCD的法向量，

則由n?PD=0n?PC=0，得?y0?z0=02x0?z0=0，令z0=1，則n=(12,?1,1)．

設PB與平面PCD的夾角為θ，則

sinθ=|cos<n,PB>|=|n?PB|n||PB||=|12?1?11419.解：(1)根據(jù)定義，可得d(A,B)=(1?2)2+(2?1)2=2，

因cos(A,B)=cos?OA,OB?=OA?OB|OA||OB|=45，

則e(A,B)=1?cos(A,B)=1?45=15；

(2)點P(x,y)在函數(shù)y=3x的圖象上且x∈Z，點Q的坐標為(1,27)，

故m(P,Q)=|x?1|+|3x?27|=?3x?x+28,x≤1x?3x+26,1<x<33x+x?28,x≥3，

當x≤1時，m(P,Q)=?3x?x+28，

函數(shù)y=?3x?x+