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第=page11頁(yè),共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年重慶市西南大學(xué)附中高二(上)月考數(shù)學(xué)試卷(一)一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知z(1+i)=2?i,則|z??i|=A.1 B.22 C.2 2.設(shè)m,n為空間中兩條不同直線,α、β為空間中兩個(gè)不同平面,下列命題中正確的為(
)A.若α//β,m?α,n?β,則m//n
B.若α⊥β,m⊥α,n//β,則m⊥n
C.若m?α,n與α相交,則m與n異面
D.若m⊥α,n⊥β,m⊥n,則α⊥β3.已知平面向量a=(4,2),b=(m,1),且(a+bA.?1 B.1 C.?1或?3 D.34.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知A=π3,B=5π12,c=A.3 B.2 C.235.函數(shù)f(x)=ln(x2?mx?6)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,則A.m<?2 B.m≤?5 C.m≤2 D.m>26.如圖所示,四棱錐P?ABCD中,PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD為矩形,PA=AD=2AB=2,M為PD的中點(diǎn),則CD與平面ACM所成角的余弦值為(
)
A.33 B.63 C.7.已知函數(shù)f(x)=23sinωxcosωx+2cos2ωx(ω>0,x∈R)在[0,π]上恰有2A.[1112,1712] B.[8.已知正四棱錐P?ABCD,其中AB=4,PA=42,平面α過(guò)點(diǎn)A,且面α⊥PC,則面α截正四棱錐P?ABCD的截面面積為(
)A.1633 B.833二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法正確的是(
)A.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)4,7,9,3,3,5,7,9,9,6,則這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為4
B.某人打靶時(shí)連續(xù)射擊三次,則事件“至少兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對(duì)立事件
C.若樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,x10的方差為2,則數(shù)據(jù)3x1+1,3x2+1,…,3x10+1的方差為1810.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若cos2A?cos2A.A=2B B.cosA=c?b2b C.a=2b 11.P為棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1A.當(dāng)P在線段B1D1上運(yùn)動(dòng)時(shí),三棱錐P?A1BD的體積是定值
B.當(dāng)P在線段BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),異面直線A1P與AD1所成角的取值范圍是(0,π3]
C.當(dāng)P在面ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí),R為棱A1B1的中點(diǎn)且PR/?/平面B1C三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.一個(gè)盒子中裝有4張卡片,卡片上分別寫有數(shù)字1、2、3、4,現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取卡片,若第一次抽取一張卡片,放回后再抽取1張卡片,則兩次抽取的卡片數(shù)字之和大于6的概率是______.13.在正方體ABCD?A1B1C1D1中,已知棱AB=1,點(diǎn)14.布羅卡爾點(diǎn)(Brocard’spoint)是三角形幾何中的一個(gè)特殊點(diǎn).羅卡爾點(diǎn)的發(fā)現(xiàn)可以追溯到1816年.由德國(guó)數(shù)學(xué)家克雷爾(A.L.Crelle)首次發(fā)現(xiàn),但當(dāng)時(shí)并未受到廣泛關(guān)注.直到1875年,法國(guó)軍官布羅卡爾重新發(fā)現(xiàn)了這個(gè)點(diǎn),并用自己的名字命名,從而引起了數(shù)學(xué)界的廣泛關(guān)注.它的定義是:若△ABC內(nèi)一點(diǎn)P滿足∠PAB=∠PBC=∠PCA,則稱P為△ABC的布羅卡爾點(diǎn).若設(shè)∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ,則稱θ為布羅卡爾角.已知△ABC中,a=3,A=π6,若P為△ABC的布羅卡爾點(diǎn),并記△PAB、△PBC、△PAC的外接圓面積分別為S1、S2、S3四、解答題:本題共5小題,共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)
在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,已知向量m=(sinA+sinB,c),n=(sinB?sinC,b?a),滿足m//n.
(1)求A;
(2)若角A的平分線交邊BC于點(diǎn)D,AD=316.(本小題12分)
如圖,在四棱錐S?ABCD中,底面ABCD是矩形,平面ABCD⊥平面SBC,SB=SC,M是BC的中點(diǎn),AB=2,BC=4.
(1)求證:AM⊥SD.
(2)若AS=13,求四棱錐S?ABCD的體積.17.(本小題12分)
某學(xué)校為了解本校身體素質(zhì)情況,分別從男生中隨機(jī)抽取60人的體育測(cè)試成績(jī)得到樣本甲,從女生中隨機(jī)抽取n人的體育測(cè)試成績(jī)得到樣本乙,根據(jù)兩個(gè)樣本數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖.
已知乙樣本中數(shù)據(jù)在[80,90)的有40個(gè).
(1)求n和乙樣本直方圖中a的值;
(2)試估計(jì)該校女生本次體育測(cè)試成績(jī)的平均值和男生本次體育測(cè)試成績(jī)的上四分位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值為代表);
(3)采用分層抽樣的方法從甲樣本數(shù)據(jù)中分?jǐn)?shù)在[50,80)的學(xué)生中抽取7人,并從這7人中任取2人,求這兩人分?jǐn)?shù)都在[70,80)中的概率.18.(本小題12分)
如圖,正四棱臺(tái)ABCD?A1B1C1D1有內(nèi)切球O1,且A1B1=2,AB=4.
(1)設(shè)平面O1BC∩平面O1B1C119.(本小題12分)
代數(shù)基本定理:任何一個(gè)n(n∈N?)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程f(x)=0至少有一個(gè)復(fù)根.由此可得如下推論:
推論一:任何一元n(n∈N?)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式f(x)在復(fù)數(shù)集中可以分解為n個(gè)一次因式的乘積;
推論二:一元n次多項(xiàng)式方程有n個(gè)復(fù)數(shù)根,最多有n個(gè)不同的根.即一元一次方程最多有1個(gè)實(shí)根,一元二次方程最多有2個(gè)實(shí)根等.
推論三:若一個(gè)n次方程有不少于n+1個(gè)不同的根,則必有各項(xiàng)的系數(shù)均為0.
已知f(x)=x3+x2.請(qǐng)利用代數(shù)基本定理及其推論解決以下問(wèn)題:
(1)求2f(x)?5x2+2x=0的復(fù)根;
(2)若?a,b∈R,使得關(guān)于x的方程19a?f(2x)=f(2b?2x)至少有四個(gè)不同的實(shí)根,求a,b的值;
(3)若f(x)的圖像上有四個(gè)不同的點(diǎn)A,參考答案1.B
2.D
3.C
4.A
5.B
6.A
7.D
8.A
9.BC
10.ABD
11.ACD
12.31613.1
14.27π15.解:(1)由題意,m=(sinA+sinB,c),n=(sinB?sinC,b?a),
則由m//n,可得(b?a)(sinA+sinB)=c(sinB?sinC),
由正弦定理,可得(b?a)(b+a)=c(b?c),
整理得b2+c2?a2=bc,
則cosA=b2+c2?a22bc=bc2bc=12,
又A∈(0,π),所以A=π3;
(2)由題意,AD為角A的平分線,則∠BAD=∠CAD=π6,16.(1)證明:因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面SBC,平面ABCD∩平面SBC=BC,
在矩形ABCD中,SB=SC,M是BC的中點(diǎn),所以SM⊥BC,
又因?yàn)镾M?平面SBC,所以SM⊥平面ABCD,而AMC平面ABCD,所以SM⊥AM,
在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,M是BC的中點(diǎn),
所以直角三角形ABM和直角三角形CDM中,
AM2=AB2+BM2=22+22=8,DM2=DC2+CM2=22+22=8,
又因?yàn)锳D2=42=16,
所以AM2+MD2=AD2,所以DM⊥AM.
又DM∩SM=M,AM不在平面MDS內(nèi),所以AM⊥平面MDS,17.解:(1)根據(jù)題意可得(0.006+0.016+0.02+0.04+a)×10=1,解得a=0.018;
又乙樣本中數(shù)據(jù)在[80,90)的頻率為0.4,且乙樣本中數(shù)據(jù)在[80,90)的有40個(gè),
∴n=400.4=100;
(2)∵乙樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)估計(jì)為55×0.06+65×0.16+75×0.2+85×0.4+95×0.18=79.8,
∴估計(jì)該校女生本次體育測(cè)試成績(jī)的平均值為79.8分;
∵甲樣本數(shù)據(jù)的前幾組的頻率依次為0.05,0.1,0.2,0.45,
∴甲樣本數(shù)據(jù)的上四分位數(shù)估計(jì)為80+0.75?0.05?0.1?0.20.045=80+809≈89,
∴估計(jì)該校男生本次體育測(cè)試成績(jī)的上四分位數(shù)為89分;
(3)∵甲樣本數(shù)據(jù)中前三組的頻率之比為0.05:0.1:0.2=1:2:4,
∴[50,60)中抽1人,[60,70)中抽2人,[70,80)中抽4人,
再?gòu)倪@7人中任取2人,共有C72=21個(gè)結(jié)果,18.(1)證明:因?yàn)锳BCD?A1B1C1D1是正棱臺(tái),故B?1C1//BC,
B1C1?面O1B1C1,BC?面O1B1C1,
故BC/?/面O1B1C1,又BC?面O1BC,面O1BC∩面O1B1C1=l,
故l/?/BC,
又BC?面ABCD,l?面ABCD,
所以l/?/面ABCD;
(2)解:連接A1C1,D1B1,
設(shè)其交點(diǎn)為H,連接AC,BD,設(shè)其交點(diǎn)為O,連接OH,
因?yàn)锳BCD?A1B1C1D1是正棱臺(tái),故O,O1,H三點(diǎn)共線,且OH,OA,OB兩兩垂直,
故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)OH=2m,m>0,則A(22,0,0),B(0,22,0),O1(0,0,m),
A1(2,0,2m),B1(0,2,2m),D(0,?22,0),
AB=(?22,22,0),AA1=(?2,0,2m),DA=(22,22,0),
AO1=(?22,0,m),
設(shè)平面BB19.解:(1)由題意,2x3+2x2?5x2+2x=0,即2x3?3x2+2x=0,所
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