《一、平面和平面平行的性質(zhì)》知識(shí)清單

《一、平面和平面平行的性質(zhì)》知識(shí)清單#高中北師大版（2019）必修（第二冊(cè)）第六章立體幾何初步§4平行關(guān)系4.2平面與平面平行之平面和平面平行的性質(zhì)知識(shí)清單##一、引入同學(xué)們，咱們先想象一個(gè)場(chǎng)景哈。你看咱們教室里的天花板和地面，它們就像是兩個(gè)平行的平面。那這兩個(gè)平行平面之間有沒(méi)有什么特殊的關(guān)系或者性質(zhì)呢？這就好比兩個(gè)平行的世界，它們之間肯定有一些有趣的規(guī)律等著咱們?nèi)グl(fā)現(xiàn)呢。今天咱們就來(lái)好好研究一下平面和平面平行的性質(zhì)。##二、平面和平面平行的性質(zhì)基礎(chǔ)概念###（一）性質(zhì)1：兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行。1、**概念解釋**-比如說(shuō)咱們有兩個(gè)平行的平面，就像剛才說(shuō)的天花板和地面，這時(shí)候有一堵墻（另一個(gè)平面），這堵墻和天花板、地面都相交，那在天花板上的交線和在地面上的交線肯定是平行的。這就像是兩條鐵軌，雖然在不同的“平面世界”里，但是因?yàn)樗鼈儗?duì)應(yīng)的平面是平行的，所以它們自己也是平行的。-用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表示（這里可一定要認(rèn)真看哦）：如果平面\(\alpha\parallel\beta\)，平面\(\gamma\cap\alpha=a\)，\(\gamma\cap\beta=b\)，那么\(a\parallelb\)。（這里的\(\alpha\)、\(\beta\)、\(\gamma\)就是不同的平面，\(a\)和\(b\)就是交線啦）。2、**證明思路**-咱們可以用反證法來(lái)證明這個(gè)性質(zhì)。假設(shè)\(a\)和\(b\)不平行，那它們肯定會(huì)相交，假設(shè)交點(diǎn)是\(P\)。因?yàn)閈(P\ina\)，\(a\subset\alpha\)，所以\(P\in\alpha\)；又因?yàn)閈(P\inb\)，\(b\subset\beta\)，所以\(P\in\beta\)。這就意味著\(\alpha\)和\(\beta\)有公共點(diǎn)\(P\)了，這和咱們一開(kāi)始說(shuō)的\(\alpha\parallel\beta\)矛盾啊。所以假設(shè)不成立，\(a\parallelb\)。3、**實(shí)際例子**-想象一下建筑工地上，有兩座平行的大樓（兩個(gè)平行平面），然后有一個(gè)大的塔吊（可以看作是相交的平面），塔吊的鋼索分別和兩座大樓相交，那這些交線肯定是平行的。如果不平行的話，那塔吊可能就歪了，大樓也蓋不整齊啦。###（二）性質(zhì)2：夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。1、**概念解釋**-還是拿咱們教室舉例，天花板和地面平行，有兩根一樣長(zhǎng)的鉛筆（把它們看成平行線段），一頭放在天花板上，一頭放在地面上，不管這兩根鉛筆在天花板和地面之間怎么放，只要它們是平行的，那它們的長(zhǎng)度就是一樣的。-數(shù)學(xué)表達(dá)式（仔細(xì)看哦）：如果\(\alpha\parallel\beta\)，\(AB\parallelCD\)，\(A\in\alpha\)，\(B\in\beta\)，\(C\in\alpha\)，\(D\in\beta\)，那么\(AB=CD\)。這里\(\alpha\)和\(\beta\)是平行平面，\(AB\)和\(CD\)就是夾在它們中間的平行線段啦。2、**證明思路**-咱們可以連接\(AD\)和\(BC\)。因?yàn)閈(AB\parallelCD\)，\(AB\)和\(CD\)確定一個(gè)平面\(\gamma\)。\(\alpha\cap\gamma=AD\)，\(\beta\cap\gamma=BC\)。又因?yàn)閈(\alpha\parallel\beta\)，根據(jù)前面說(shuō)的性質(zhì)1，\(AD\parallelBC\)。這樣四邊形\(ABCD\)就是平行四邊形啦，平行四邊形對(duì)邊相等，所以\(AB=CD\)。3、**實(shí)際例子**-你看那種雙層的書(shū)架，上下兩層書(shū)架面是平行的（就像兩個(gè)平行平面），有兩根平行的小木條（可以想象成平行線段），用來(lái)固定書(shū)架的結(jié)構(gòu)，這兩根木條從上層書(shū)架到下層書(shū)架的長(zhǎng)度肯定是一樣的。如果不一樣長(zhǎng)，書(shū)架可能就不穩(wěn)啦。###（三）性質(zhì)3：當(dāng)一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面時(shí)，它也垂直于另一個(gè)平面。1、**概念解釋**-就好像有一個(gè)大板子（一個(gè)平面）和它下面平行的小臺(tái)子（另一個(gè)平行平面），有一根直直的棍子（直線）垂直插在大板子上，那這根棍子肯定也垂直于下面的小臺(tái)子。-數(shù)學(xué)表示：如果\(\alpha\parallel\beta\)，\(l\perp\alpha\)，那么\(l\perp\beta\)。這里\(\alpha\)和\(\beta\)是平行平面，\(l\)就是那條垂直的直線。2、**證明思路**-設(shè)\(m\)是\(\beta\)內(nèi)的任意一條直線。在\(\alpha\)內(nèi)作直線\(n\parallelm\)。因?yàn)閈(\alpha\parallel\beta\)，根據(jù)性質(zhì)1，\(n\parallelm\)。又因?yàn)閈(l\perp\alpha\)，所以\(l\perpn\)。由于\(m\paralleln\)，所以\(l\perpm\)。因?yàn)閈(m\)是\(\beta\)內(nèi)任意一條直線，所以\(l\perp\beta\)。3、**實(shí)際例子**-想象一下那種有上下兩層的舞臺(tái)（兩個(gè)平行平面），有一根直直的柱子（直線）從上層舞臺(tái)垂直插下來(lái)，那這根柱子肯定也垂直于下層舞臺(tái)。如果不垂直的話，這個(gè)舞臺(tái)結(jié)構(gòu)可能就有問(wèn)題啦。##三、平面和平面平行性質(zhì)的應(yīng)用###（一）證明線線平行1、**解題思路**-如果要證明兩條線平行，咱們就先找兩個(gè)平行的平面，然后看這兩條線是不是分別在這兩個(gè)平行平面與第三個(gè)平面的交線上。如果是，那就可以根據(jù)平面和平面平行的性質(zhì)1來(lái)證明這兩條線平行啦。2、**例題**-已知正方體\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)，平面\(A_{1}BD\parallel\)平面\(B_{1}D_{1}C\)，平面\(A_{1}BD\cap\)平面\(ABCD=BD\)，平面\(B_{1}D_{1}C\cap\)平面\(ABCD=AC\)，求證\(BD\parallelAC\)。-解題步驟：因?yàn)槠矫鎈(A_{1}BD\parallel\)平面\(B_{1}D_{1}C\)，平面\(A_{1}BD\cap\)平面\(ABCD=BD\)，平面\(B_{1}D_{1}C\cap\)平面\(ABCD=AC\)，根據(jù)平面和平面平行的性質(zhì)1，所以\(BD\parallelAC\)。###（二）證明線段相等1、**解題思路**-當(dāng)要證明兩條夾在兩個(gè)平行平面間的線段相等時(shí)，先證明這兩條線段平行，再根據(jù)平面和平面平行的性質(zhì)2就可以得出它們相等啦。2、**例題**-在三棱柱\(ABC-A_{1}B_{1}C_{1}\)中，平面\(ABC\parallel\)平面\(A_{1}B_{1}C_{1}\)，\(D\)，\(D_{1}\)分別是\(BC\)，\(B_{1}C_{1}\)的中點(diǎn)，求證\(AD=A_{1}D_{1}\)。-解題步驟：因?yàn)槠矫鎈(ABC\parallel\)平面\(A_{1}B_{1}C_{1}\)，\(D\)，\(D_{1}\)分別是\(BC\)，\(B_{1}C_{1}\)的中點(diǎn)，所以\(DD_{1}\parallelAA_{1}\)，\(AD\parallelA_{1}D_{1}\)。又因?yàn)閈(AD\)和\(A_{1}D_{1}\)夾在平行平面\(ABC\)和\(A_{1}B_{1}C_{1}\)之間，根據(jù)平面和平面平行的性質(zhì)2，所以\(AD=A_{1}D_{1}\)。###（三）證明線面垂直1、**解題思路**-如果要證明一條直線垂直于一個(gè)平面，先找到一個(gè)與這個(gè)平面平行的平面，然后證明這條直線垂直于那個(gè)平行平面，再根據(jù)平面和平面平行的性質(zhì)3就可以得出這條直線垂直于要證明的平面啦。2、**例題**-已知平面\(\alpha\parallel\beta\)，直線\(l\perp\alpha\)，求證\(l\perp\beta\)。-解題步驟：因?yàn)槠矫鎈(\alpha\parallel\beta\)，直線\(l\perp\alpha\)，根據(jù)平面和平面平行的性質(zhì)3，所以\(l\perp\beta\)。##四、練習(xí)題###（一）基礎(chǔ)題1、已知平面\(\alpha\parallel\beta\)，平面\(\gamma\)與\(\alpha\)、\(\beta\)分別相交于直線\(a\)、\(b\)，若\(a=3x+1\)，\(b=5-x\)，求\(x\)的值。-解題思路：根據(jù)平面和平面平行的性質(zhì)1，\(a\parallelb\)，所以\(a\)和\(b\)的斜率相等（在這種情況下，就是系數(shù)相等啦），即\(3=-1\)（這里是錯(cuò)誤的，我們只是按照思路分析，實(shí)際應(yīng)該是\(a\)和\(b\)是平行關(guān)系，不是相等關(guān)系，這里是為了引出正確思路）。正確的是因?yàn)閈(a\parallelb\)，所以\(a\)和\(b\)的關(guān)系是\(3x+1=5-x\)。-解題步驟：\(3x+1=5-x\)，移項(xiàng)得到\(3x+x=5-1\)，即\(4x=4\)，解得\(x=1\)。2、在長(zhǎng)方體\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，平面\(ABCD\parallel\)平面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)，\(AB=5\)，\(A_{1}B_{1}=5\)，\(AD=3\)，\(A_{1}D_{1}=3\)，\(E\)，\(E_{1}\)分別是\(AD\)，\(A_{1}D_{1}\)的中點(diǎn)，求證\(EE_{1}\)與平面\(ABCD\)和平面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)的關(guān)系。-解題思路：首先\(EE_{1}\parallelAA_{1}\)，因?yàn)槠矫鎈(ABCD\parallel\)平面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)，\(AA_{1}\perp\)平面\(ABCD\)，根據(jù)平面和平面平行的性質(zhì)3，\(AA_{1}\perp\)平面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)，又因?yàn)閈(EE_{1}\parallelAA_{1}\)，所以\(EE_{1}\perp\)平面\(ABCD\)且\(EE_{1}\perp\)平面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)。-解題步驟：因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中\(zhòng)(E\)，\(E_{1}\)分別是\(AD\)，\(A_{1}D_{1}\)的中點(diǎn)，所以\(EE_{1}\parallelAA_{1}\)。又因?yàn)槠矫鎈(ABCD\parallel\)平面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)，\(AA_{1}\perp\)平面\(ABCD\)，根據(jù)性質(zhì)3，\(AA_{1}\perp\)平面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)，由于\(EE_{1}\parallelAA_{1}\)，所以\(EE_{1}\perp\)平面\(ABCD\)且\(EE_{1}\perp\)平面\(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)。###（二）提高題1、已知三棱錐\(P-ABC\)，\(D\)，\(E\)，\(F\)分別是\(PA\)，\(PB\)，\(PC\)的中點(diǎn)，平面\(DEF\parallel\)平面\(ABC\)，\(AB=6\)，\(AC=8\)，\(BC=10\)，求\(DE\)的長(zhǎng)度。-解題思路：因?yàn)閈(D\)，\(E\)分別是\(PA\)，\(PB\)的中點(diǎn)，所以\(DE\parallelAB\)。又因?yàn)槠矫鎈(DEF\parallel\)平面\(ABC\)，\(DE\)和\(AB\)夾在這兩個(gè)平行平面之間，根據(jù)平面和平面平行的性質(zhì)2，\(DE=\frac{1}{2}AB\)。-解題步驟：因?yàn)閈(D\)，\(E\)分別是\(PA\)，\(PB\)的中點(diǎn)，所以\(DE\parallelAB\)。已知\(AB=6\)，根據(jù)平面和平面平行的性質(zhì)2，\(DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\times6=3\)。2、如圖，在四棱錐\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是平行四邊形，平面\(PAB\parallel\)平面\(PCD\)，\(M\)，\(N\)分別是\(PA\)，\(PB\)的中點(diǎn)，求證：\(MN\parallel\)平面\(PCD\)。-解題思路：因?yàn)閈(M\)，\(N\)分別是\(PA\)，\(PB\)的中點(diǎn)，所以\(MN\parallelAB\)。又因?yàn)榈酌鎈(ABCD\)是平行四邊形，所以\(AB\parallelCD\)，從而\(MN\parallelCD\)。因?yàn)槠矫鎈(PAB\parallel\)平面\(PCD\)，\(MN\subset\)平面\(PAB\)，\(CD\subset\)平面\(PCD\)，根據(jù)平面和平面平行的性質(zhì)1，\(MN\parallel\)平面\(PCD\)。-解題步驟：因?yàn)閈(M\)，\(N\)分別是\(PA\)，\(PB\)的中點(diǎn)，所以\(MN\parallelAB\)。由于底面\(ABCD\)是平行四邊形，所以\(AB\parallelC