安徽省黃山市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 含解析

黃山市2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用傾斜角和斜率的關(guān)系處理即可.【詳解】化簡(jiǎn)得，顯然斜率為，故傾斜角為.故選：B2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影是點(diǎn)N，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是坐標(biāo)不變，坐標(biāo)為的點(diǎn).【詳解】點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影是點(diǎn)，故點(diǎn)的坐標(biāo)是故選：C3.圓與圓N關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱性求得圓的圓心和半徑，進(jìn)而求得圓的方程.【詳解】圓的圓心為，半徑為，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是，所以圓的圓心是，半徑是，所以圓的方程為.故選：D4.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)”，其大意是：有一個(gè)人要去某關(guān)口，路程為里，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到達(dá)該關(guān)口，則此人第三天走的路程為（）A.48里 B.45里 C.43里 D.40里【答案】A【解析】【分析】設(shè)第六天走的路程為里，則第五天走的路程為里，依此往前推，第一天走的路程為里，根據(jù)前六天的路程之和為里，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】設(shè)第六天走的路程為里，則第五天走的路程為里，依此往前推，第一天走的路程為里，結(jié)合題意可得：，解得，則第三天走的路程為里.故選：A.5.對(duì)于常數(shù)，“”是“方程的曲線是橢圓”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用橢圓方程的一般形式求得m、n的范圍，結(jié)合兩集合的包含關(guān)系判斷即可.【詳解】因?yàn)椤胺匠痰那€是橢圓”，則，又因?yàn)椋浴啊笔恰胺匠痰那€是橢圓”的必要不充分條件.故選：B.6.如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱的中點(diǎn)，則異面直線與CF所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)換為求即可.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則，所以，所以，即異面直線與CF所成角的余弦值為.故選：A.7.已知向量，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用投影向量的定義結(jié)合已知條件直接求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，所以向量在向量上的投影向量?故選：D8.如圖，已知雙曲線的左頂點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以A為圓心，R為半徑的圓與雙曲線E的一條漸近線交于P，Q兩點(diǎn)，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求得，則可求得，的值，進(jìn)而求得即為漸近線的斜率，從而求得離心率．【詳解】∵，∴，又，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，,,∴，，又，∴，，∴,∴，∵漸近線方程為，∴，.故選：C．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且公差不為0，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.當(dāng)時(shí)，最大【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于A，由等差數(shù)列性質(zhì)即可判斷；對(duì)于B，對(duì)公差分類討論即可判斷；對(duì)于C，由等差等比數(shù)列定義即可判斷；對(duì)于D，取公差，即可舉出反例判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，若公差，則有，若公差，則有，無(wú)論如何都有，故B正確；對(duì)于C，，其中是等差數(shù)列的公差，即數(shù)列是等比數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，取公差，則有，此時(shí)當(dāng)，最小，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.點(diǎn)是直線l上不同的兩點(diǎn)，則直線l可以表示為B.若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)C.過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為D.直線的斜率分別是方程的兩根，則【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)是否相等進(jìn)行討論，可得答案；對(duì)于B，利用直線與直線平行的性質(zhì)直接求解，可得答案；對(duì)于C，分截距為和截距不為兩種情況，進(jìn)行求解，可得答案；對(duì)于D，利用根與系數(shù)的關(guān)系可進(jìn)行判斷得到答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng),時(shí)，由斜率公式，可得，可整理為，當(dāng)時(shí)，直線的方程為；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線與直線平行，則，解得：或，當(dāng)時(shí)，兩直線重合，舍去，故時(shí)，兩直線平行，B正確；對(duì)于C，當(dāng)直線在坐標(biāo)軸上截距為時(shí)，設(shè)，將代入得，此時(shí)直線方程為，當(dāng)直線在坐標(biāo)軸上截距不為時(shí)，設(shè)直線方程為，把代入得，解得.此時(shí)直線方程為，即，故過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為和，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)兩直線的斜率分別為，因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，所以利用根與系數(shù)的關(guān)系得，所以兩直線的位置關(guān)系是垂直，故D正確.故選：BD.11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G，H分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M滿足，其中，則下列結(jié)論正確的是（）A.過(guò)M，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形有可能為正六邊形B.三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，平面MEFD.當(dāng)時(shí)，三棱錐外接球的表面積為【答案】ABD【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，過(guò)M，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形為正六邊形，A正確；根據(jù)平面，得到點(diǎn)M到平面的距離為定值，可判定B正確；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，而平面MEF，C錯(cuò)誤；由題意點(diǎn)與點(diǎn)重合，為等腰直角三角形，的外接圓半徑為，由于平面，由勾股關(guān)系可求外接球半徑，從而求解，D正確.【詳解】當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，過(guò)M，E，F(xiàn)三點(diǎn)的平面截正方體所得截面圖形為正六邊形，如圖：故A正確；對(duì)于B，因?yàn)榭傻命c(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，又因?yàn)檎襟w中,平面平面平面，故平面，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，而,所以三棱錐是定值,又因?yàn)?，故三棱錐的體積為定值，B正確；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)為中點(diǎn)，因?yàn)?，而平面MEF，所以與平面MEF不平行，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，為等腰直角三角形，則的外接圓半徑為，又因?yàn)槠矫?，所以三棱錐外接球的半徑，則，所以外接球表面積為，D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由條件點(diǎn)M滿足，其中，先可判斷點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，再根據(jù)的不同取值確定點(diǎn)M的位置，從而進(jìn)行研究問(wèn)題.12.過(guò)拋物線焦點(diǎn)作直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.直線的斜率之積為定值B.直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，若下，則直線l的斜率為C.若，則拋物線的準(zhǔn)線方程為D.直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則直線軸【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)A:設(shè)直線：并與拋物線聯(lián)立，借助韋達(dá)定理即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B:利用，求出，結(jié)合斜率公式即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C:結(jié)合題意可得，利用拋物線的定義即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D:計(jì)算點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即可判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:結(jié)合題意：連接，易知直線的斜率不為，故可設(shè)直線：，且設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為聯(lián)立可得，所以，所以，所以.故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B:過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于,設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，易得,因?yàn)?，所?由，由拋物線的定義可知：,所以，直線l的斜率為,同理結(jié)合拋物線的對(duì)稱性可知：直線l斜率，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C:過(guò)點(diǎn)作垂直軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn),因?yàn)?，所?所以點(diǎn)，結(jié)合拋物線的定義可知解得，故拋物線的準(zhǔn)線方程為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D:設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，所以點(diǎn)，所以，故直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以點(diǎn)，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，結(jié)合選項(xiàng)A可知，所以，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，所以直線軸.故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.根據(jù)拋物線定義，可以得出一個(gè)結(jié)論：拋物線上的任意一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離都等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離，這個(gè)結(jié)論是拋物線最重要的一條性質(zhì)，很多有關(guān)拋物線的填空題和選擇題都是圍繞這條性質(zhì)設(shè)計(jì)；2.何時(shí)使用定義：一般情況下，當(dāng)題意中出現(xiàn)了"拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線”或者出現(xiàn)了“拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線（或垂直于拋物線對(duì)稱軸的直線）的距離”的時(shí)候，都要優(yōu)先考慮使用拋物線的定義來(lái)解題；3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的表達(dá)式中含有一次項(xiàng)，根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，設(shè)拋物線上的點(diǎn)P的坐標(biāo)就可以用一個(gè)變量進(jìn)行表示，再結(jié)合相關(guān)的已知信息進(jìn)行運(yùn)算.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則_________.【答案】【解析】【分析】先求出拋物線焦點(diǎn)位置，進(jìn)而確定橢圓焦點(diǎn)位置，后用橢圓基本量的關(guān)系求解即可.【詳解】易知在中，，焦點(diǎn)為，故橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故，解得.故答案為：14.如圖，在三棱錐中，平面BDC，，則點(diǎn)B到平面ACD的距離等于_________.【答案】【解析】【分析】設(shè)到平面的距離為，利用，即可求得點(diǎn)到平面的距離.【詳解】因?yàn)槠矫鍮DC，所以，，又，則，,平面,平面,所以平面，平面，所以，因，所以，所以，所以，設(shè)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，解得，故答案為?5.已知直線，當(dāng)直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，實(shí)數(shù)m的值為_________.【答案】2【解析】【分析】分析題意找到直線必過(guò)的定點(diǎn)，并判斷直線與圓的半徑垂直，利用點(diǎn)線距離相等建立方程，求解即可.【詳解】易知圓心為，，而l可化為，故l必過(guò)，易得在圓內(nèi)，即直線l與圓相交，若直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短，則與圓的半徑必定垂直，設(shè)圓心到l的距離為，則，故，解得.故答案為：2.16.人教A版選擇性必修一習(xí)題1.4拓廣探索第17題中提到“在空間直角坐標(biāo)系中，己知向量，點(diǎn)，若平面經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以為法向量，點(diǎn)是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則平面的方程為”．現(xiàn)己知平面的方程為，直線l是平面與平面的交線，且直線l的方向向量為，則平面的一個(gè)法向量可以為_________，直線l與平面所成角的正弦值為_________.【答案】①.②.##【解析】【分析】結(jié)合題意求出平面的法向量和直線的方向向量，用線面角的向量求法處理即可.【詳解】顯然平面的一個(gè)法向量可以為,易知平面的法向量為，平面的法向量為，且直線l的方向向量為，故，，令，解得，，故，設(shè)直線l與平面所成角為，則.故答案為：；四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且其漸近線方程為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與雙曲線至少有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先判斷出焦點(diǎn)在軸上，并設(shè)雙曲線方程為，利用待定系數(shù)法求解即可；（2）聯(lián)立消元，借助判別式分類討論即可.【小問(wèn)1詳解】結(jié)合題意可得：點(diǎn)在漸近線的上方，雙曲線要經(jīng)過(guò)此點(diǎn)，則焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線方程為，則漸近線方程為，所以，因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】結(jié)合（1）問(wèn)：聯(lián)立，可得，當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)與漸近線平行，故只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，即，要使直線與雙曲線至少有一個(gè)交點(diǎn)，則，解得或,且.綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.己知數(shù)列滿足：.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）若，求滿足條件的最大整數(shù)n.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）24【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義結(jié)合已知的遞推式可證得結(jié)論；（2）由（1）可求得，則可得，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得，進(jìn)而解不等式可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?shù)列是以2為公差，1為首項(xiàng)的為等差數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】解：由（1）得，所以所以，所以由，得，因?yàn)?，所以滿足條件的最大整數(shù)為24.19.如圖，已知點(diǎn)和圓．（1）求以為直徑的圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)圓M與圓N相交于A，B兩點(diǎn)，試判斷直線是否為圓M的切線．若是，請(qǐng)求出直線和的方程；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）直線是圓M的切線，【解析】【分析】（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式兩點(diǎn)間距離公式確定圓N的圓心、半徑，由此即可得解.（2）由得為圓的直徑，由此即可判斷，進(jìn)一步分圓N的切線斜率是否存在討論即可求解.【小問(wèn)1詳解】圓即，所以圓心，半徑又，所以中點(diǎn)為，以為直徑的圓N的半徑，所以以為直徑的圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由，，，得，所以，所以為圓的直徑，所以，即直線是否為圓M的切線，過(guò)點(diǎn)且斜率不存在的直線為，而點(diǎn)到直線的距離滿足，滿足題意，故直線的方程為；設(shè)的方程為，點(diǎn)到直線的距離滿足，解得，所以的方程為，即.20.北宋數(shù)學(xué)家沈括博學(xué)多才、善于觀察．據(jù)說(shuō)有一天，他走進(jìn)一家酒館，看見(jiàn)一層層壘起的酒壇，不禁想到：“怎么求這些酒壇的總數(shù)呢？”，沈括“用芻童（長(zhǎng)方臺(tái)）法求之，常失于數(shù)少”，他想堆積的酒壇、棋子等雖然看起來(lái)像實(shí)體，但中間是有空隙的，應(yīng)該把他們看成離散的量．經(jīng)過(guò)反復(fù)嘗試，沈括提出對(duì)上底有ab個(gè)，下底有cd個(gè)，共n層的堆積物（如圖），可以用公式求出物體的總數(shù)．這就是所謂的“隙積術(shù)”，相當(dāng)于求數(shù)列ab，的和，“隙積術(shù)”給出了二階等差數(shù)列的一個(gè)求和公式．現(xiàn)已知數(shù)列為二階等差數(shù)列，其通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n和為，且滿足．（1）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)公式，求出數(shù)列中的,,,代入公式求解.（2）根據(jù)的關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，由（1）求得的通項(xiàng)公式，通過(guò)錯(cuò)位相減法求得前n項(xiàng)和.【小問(wèn)1詳解】數(shù)列的通項(xiàng)，因?yàn)樵跀?shù)列，，，…，中，，，項(xiàng)數(shù)為，，，所以．即【小問(wèn)2詳解】因?yàn)閿?shù)列的前n和為，且滿足．所以當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，即，令，則，解得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.所以①，②①—②得：，所以21.如圖，在矩形ABCD中，已知，M，E分別為AB，CD的中點(diǎn)，AC，BE交于點(diǎn)F，DM與AE交于點(diǎn)N，將沿著AE向上翻折使D到（點(diǎn)不在平面ABCD內(nèi)）.（1）證明：平面平面ABCD；（2）若點(diǎn)在平面ABCD上的投影H落在梯形ABCE的內(nèi)部及邊界上，當(dāng)FH最大時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）連接，可知四邊形與四邊形是全等的正方形，可得，進(jìn)而可證得平面，由線面垂直的判斷定理即可證得結(jié)果;（2）首先明確在平面上的投影的軌跡，進(jìn)而判斷FH最大值時(shí)的位置，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面，平面的法向量，計(jì)算得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】連接，因?yàn)榫匦蜛BCD中，已知，M，E分別為AB，CD的中點(diǎn)，所以四邊形與四邊形是全等的正方形，所以,所以,,,平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫鍭BCD，所以平面平面ABCD；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，平面，所以點(diǎn)在平面上的投影落在線段上.因?yàn)椋?，點(diǎn)在平面上的投影落在點(diǎn)處，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則有，直線的方程為：，直線的方程為：，聯(lián)立解得：，,,所以,,所以當(dāng)FH最大時(shí)