2024屆高考物理復習講義：專題強化二 動態(tài)平衡 平衡中的臨界與極值問題

專題強化二動態(tài)平衡平衡中的臨界與極值問題

學習目標1.學會運用解析法、圖解法等處理動態(tài)平衡問題。2.會分析平衡中的

臨界與極值，并會進行相關的計算。

考點一動態(tài)平衡問題

1.動態(tài)平衡是指物體的受力狀態(tài)緩慢發(fā)生變化，但在變化過程中，每一個狀態(tài)均

可視為平衡狀態(tài)。

2.做題流程

化“動”為“靜”畫不同狀態(tài)平衡網(wǎng)“靜”中求“動”

［構造矢:三角形"

S［定性分析根據(jù)矢；上三角形邊K關系確定矢吊：

"的大小變化

</三角函數(shù)關系

理絲?正弦定理->找關系求極值

［相似三角形

方法n解析法

1.對研究對象進行受力分析，畫出受力示意圖。

2.根據(jù)物體的平衡條件列式，得到因變量與自變量的關系表達式（通常要用到三

角函數(shù)）。

3.根據(jù)自變量的變化確定因變量的變化。

例1（2021?湖南卷，5）質量為M的凹槽靜止在水平地面上，內壁為半圓柱面，截

面如圖1所示，A為半圓的最低點，B為半圓水平直徑的端點。凹槽恰好與豎直

墻面接觸，內有一質量為小的小滑塊。用推力/推動小滑塊由A點向B點緩慢

移動，力F的方向始終沿圓弧的切線方向，在此過程中所有摩擦均可忽略，下

列說法正確的是（）

圖1

A.推力產(chǎn)先增大后減小

B.凹槽對滑塊的支持力先減小后增大

C.墻面對凹槽的壓力先增大后減小

D.水平地面對凹槽的支持力先減小后增大

答案C

解析對小滑塊受力分析，如圖中所示，由題意可知，推力少與凹槽對滑塊的

支持力旅始終垂直，即。十夕始終為90。，在小滑塊由A點向B點緩慢移動的過

程中，a減小，夕增大，由平衡條件得bn^gcosa、F^=mgs\na,可知推力

產(chǎn)一直增大，凹槽對滑塊的支持力人一直減小，A、B錯誤；對小滑塊和凹槽整

體受力分析，如圖乙麻示，根據(jù)平衡條件可得，清面對凹槽的壓力大小尺i=

Fsina=%?gsin2a,水平地面對凹槽的支持力戶NZ=Mg+mg—Feosa,在小滑塊

由A點向8點緩慢移動的過程中，〃由3逐漸減小到零，根據(jù)數(shù)學知識可知墻面

對凹槽的壓力先增大后減小，水平地面對凹槽的支持力一直減小，C正確，D錯

誤。

甲乙

跟蹤訓練

1.如圖2所示，半徑相同、質量分布均勻的圓柱體E和半圓柱體M靠在一起，E

表面光滑，重力為G；M下表面粗糙，E、M均靜止在水平地面上。現(xiàn)過E的軸

心施以水平作用力F,可使圓柱體E被緩慢拉離水平地面，并緩慢地滑到M的

頂端，在上述全過程中，”始終處于靜止狀態(tài).對該過程的分析，下列說法正確

的是（）

圖2

A.地面所受M的壓力一直增大

B.地面對M的摩擦力一直增大

C.水平作用力F的大小一直增大

D.E、M間的壓力最大值為2G

答案D

解析圓柱體E和半圓柱體M視為一整體，以整體為研究對象，因為整體處于

平衡狀態(tài)，在豎直方向有尸N，=G+GM,可知地面支持力大小保持不變，根據(jù)牛

頓第三定律知地面所受M的壓力大小不變，故A錯誤；以圓柱體E為研究對象，

受力分析如圖所示，設兩圓心連線與地面的夾角為仇則有FNsin0=GyFNCOS0

=尸，解得/N=磊，尸=竟6=磊，依題意知。從30。增大到90。，則可知

產(chǎn)逐漸變??；將圓柱體E和半圓柱體M視為一整體，因為整體處于平衡狀態(tài)，

則水平方向有R=F,因過程中水平拉力尸一直在變小，所以地面對M的摩擦

力也一直變小，故B、C錯誤；據(jù)分析，因開始時0最小，則￡與加之間的壓

力FN最大,則有2N=;，*=2G,故D正確。

F

G

方法見圖解法

用圖解法分析物體動態(tài)平衡問題時，一般是物體只受三個力作用，且其中一個力

大小、方向均不變，為一個力的方向不變，第三個力大小、方向均變化。

例2（2023?遼寧丹東模擬）如圖3所示，將質量為力的球放在AB和CD兩個與紙

面垂直的光滑板之間，兩板與水平面夾角〃=。=30°并保持靜止。板固定，

CO板與板活動連凄，CQ板可繞通過。點且垂直紙面的軸轉動。在。角緩

慢地由3（）。增大到75。的過程中，球對A8板壓力的最大值為（）

A.0.5〃zgB.〃吆D.1

答案B

解析對小球進行受力分析，如圖甲所示，小球受重力板的支持力FNAB、

C。的支持力八s三個力作用保持平衡，當。角緩慢地由3（）。增大到75。的過程

中，如圖乙所示，在。=75。時FNAB達到最大值，由幾何知識可知，此時AB板

對球的支持力等于〃火，根據(jù)牛頓第三定律可知，球對AB板壓力的最大值為〃吆,

故B正確。

甲乙

跟蹤訓練

2.（多選）如圖4,一粗糙斜面固定在地面上，斜面頂端裝有一光滑定滑輪。一細

繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊M另一端與斜而上的物塊M相連，系統(tǒng)處于靜

止狀態(tài)?，F(xiàn)用水平向左的拉力緩慢拉動N,直至懸掛N的細繩與藍直方向成45。。

已知M始終保持靜止，則在此過程中（）

A.水平拉力的大小可能保持不變

B.M所受細繩的拉力大小一定一直增加

C.M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加

D.M所受斜面的摩擦力大小可能先減小后增加

答案BD

解析詵N為研究對象,受力情況如圖甲所示，用水平拉力”緩慢折動N的過

程中，水平拉力尸逐漸增大，細繩的拉力rr逐漸增大，選項A錯誤，B正確；

對M受力分析，如圖乙所示，受重力Gw、支持力外、繩的拉力PT以及斜面對

它的摩擦力6。若開始時斜面對M的摩擦力R沿斜面向上，則FT+Ff=GA/sin仇

R逐漸增大，6逐漸減小，當R減小到零后，再反向增大。若開始時斜面對M

的摩擦力衣沿斜面向二,此時，F(xiàn)T=Gwsin6+Ff,當FT逐漸增大時，F(xiàn)f逐漸增

大，選項C錯誤，D正確。

方法陰相似三角形法

物體受三個力平衡：一個力恒定，另外兩個力的方向同時變化，當所作“力的矢

量三角形”與空間的某個“幾何三角形”總相似時，常利用相似三角形法。

例3（2023?河北衡水模擬）如圖5所示為一種可折疊壁掛書架，一個書架用兩個三

角形支架固定在墻壁上，書與書架的重心始終恰好在兩個支架橫梁和斜梁的連接

點。、0,連線中點的正上方，書架含書的總重力為60N,橫梁AO、40,水平，

斜梁B。、90,跟橫梁夾角為37。，橫梁對。、0,點拉力始終沿OA、。卬方向，

斜梁對。、。，點的壓力始終沿8。、90,方向，已知41137。=0.6,8537。=0.8,

B.斜梁B。所受的力為50N

C.。、。，點同時向A、，移動少許，橫梁OA所受的力變大

D.。、。，點同時向A、*移動少許，斜梁BO所受的力變大

答案B

解析兩個三角架承擔的力為60N,每個三角架為30N,對。點受力分析，如

GG

22

圖甲所不，F(xiàn)OA=270=40N,FBO=；27O=50N,故A錯誤，B正確；。、

IcillD?5111D/

O,同時向A、A，移動少許，對O點受力分析，如到乙虛線所示，三角形AOB與

G

力三角形相似，所以有京=鐫=整，48與8。長度未變，A。長度減小，故

FBO不變,Bto減小，故C、D錯誤。

跟蹤訓練

3.（多選）如圖6所示，質量均為根的小球A、B用勁度系數(shù)為%的輕彈簧相連，

B球用長為L的細繩懸掛于。點，4球固定在。點正下方，當小球B平衡時，

細繩所受的拉力為Fn,彈簧的彈力為“；現(xiàn)把A、B間的彈簧換成原長相同但

勁度系數(shù)為七（依〉匕）的另一輕彈簧，在其他條件不變的情況下仍使系統(tǒng)平衡，此

時細繩所受的拉力為FT2,彈簧的彈力為F?。則入列關于FTI與巴2、尸1與尸2大

小的比較，正確的是（）

圖6

A./,TI>FT2B.FTI—FT?

C.FI<F2D.FI=F2

答案BC

解析以3為研究對象，分析受力情況，如圖所示。由平衡條件可知，彈簧的

彈力廠和細繩的拉力rr的合力/合與其重力"遭大小相等、方向相反，即〃合=

mg,由力的三角形和幾何三角形相似得鬻=親=今。當彈簧勁度系數(shù)變大時,

彈簧的壓縮量減小，故的長度增加，而0B、。4的長度不變，故尸n=Fr2,

F2>FI,故A、D錯誤，B、C正確。

正

A*B

mg

考點二平衡中的臨界與極值問題

1.臨界、極值問題特征

⑴臨界問題：當某物理量變化時，會引起其他幾個物理量的變化，從而使物體

所處的平衡狀態(tài)“恰好出現(xiàn)”或“恰好不出現(xiàn)”，在問題的描述中常用“剛

好，，“剛能”“恰好，，等語言敘述。

①由靜止到運動，摩擦力達到最大靜摩擦力。

②繩子恰好繃緊，拉力尸=（）。

③剛好離開接觸面，支持力FN=（）O

（2）極值問題：平衡物體的極值，一般指在力的變化過程中的最大值和最小值。

2.解決極值和臨界問題的三種方法

正確進行受力分析和變化過程分析，找到平衡的臨界點和極值點；

極限

臨界條件必須在變化中尋找，不能在一個狀態(tài)上研究臨界問題，要

法

把某個物理量推向極大或極小

通過對問題的分析，根據(jù)平衡條件列出物理量之間的函數(shù)關系（畫出

數(shù)學

函數(shù)圖像），用數(shù)學方法求極值（如求二次函數(shù)極值、公式極值、三角

分析法

函數(shù)極值）

物理根據(jù)平衡條件，作出力的矢量圖，通過對物理過程的分析，利用平

分析法行四邊形定則進行動態(tài)分析，確定最大值和最小值

例4（2023?湖南長沙模擬）如圖7所示，一個傾角為30。、底面粗糙、斜面光滑的

斜面體放在粗糙的水平面上，斜面體的質量為2〃?。輕繩的一端固定在天花板上,

另一端系住質量為m的小球，整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，輕繩與豎直方向的夾角

也為3（）。。若滑動摩擦力等于最大靜摩擦力，則斜面體與水平面間的動摩擦因數(shù)

至少為（）

30°

圖7

A1.6+也"近八近

6033lb-18

答案C

解析由題意對小球受力分析，沿斜面方向由平衡條件得mgsin30o=FYcos30。,

解得rr=〃zgtan30。=坐mg,對小球和斜面構成的整體受力分析，由平衡條件得,

水平方向滿足FTsin30°=Ff,豎直方向滿足FN+FTCOS30°=3^,當時,

斜面體與水平面間的動摩擦因數(shù)最小，解得最小為4=*,故c正確。

跟蹤訓練

4.（2023?山東聊城一模）殲一20戰(zhàn)斗機安裝了我國自主研制的矢量發(fā)動機，能夠在

不改變飛機飛行方向的情況下，通過轉動尾噴口方向改變推力的方向，使戰(zhàn)斗機

獲得很多優(yōu)異的飛行性能。己知在殲-20戰(zhàn)斗機沿水平方向超音速勻速巡航時

升阻比（垂直機身向上內升力和平行機身向后的阻力之比）為k,飛機的重力為G,

能使飛機實現(xiàn)水平勻速巡航模式的最小推力是（）

ArfeB?DG

答案C

解析飛機受到重力G、發(fā)動機推力Q、升力后和空氣阻力f,重力的方向豎直

向下，升力6的方向豎直向上，空氣阻力/的方向與人垂直，如圖，殲-20戰(zhàn)

斗機沿水平方向超音速勻速巡航，則有水平方向吊=/,豎直方向22+E=G,

Fz=kf,解得6=G一伉則尸|2=尺+仔=（S+i/-2kGf+G2,月與/的函數(shù)圖

當尸懸■時，后取最小值，所以解得最小推力是Kmin

像為開口向上的拋物線,

G

3+*故C正確。

提升素養(yǎng)能力

（限時：40分鐘）

A級基礎對點練

對點練1動態(tài)平衡問題

1.（多選）如圖1所示，在水平地面上放著一個左側截面為半圓的光滑柱狀物體A,

在物體A與豎直墻面之間放著一個光滑斜面體8,斜面體B未接觸地面，整個裝

置在水平力尸作用下處于靜止狀態(tài)，現(xiàn)推動物體A緩慢向左移動一小段距離，

在此過程中，下列說法正確的是（）

A.水平力廠大小不變

B.地面對物體A的支持力不變

C.斜面體B對物體A的壓力逐漸增大

D.墻面對斜面體B的支持力逐漸減小

答案AB

解析以8為研究對象，由平衡條件可知，墻對8的作用力陪，物體A

idn（/

對斜面體的支持力乃=翳，現(xiàn)推動物體A緩慢向左移動一小段距離，角度0

o111C/

保持不變，所以a、4保持不變，以整體為研究對象，水平力廠大小等于墻對

8的作用力R保持不變，故A正確；以整體為訐究對象，地面對物體A的支持

力等于A、〃重力之和保持不變，故B正確；根據(jù)牛頓第三定律，可知斜面體9

對物體A的壓力等于物體A對斜面體的支持力B不變，故C錯誤；墻面對斜面

體3的支持力人保持不變，故D錯誤。

2.如圖2所示，一根粗糙的水平橫桿上套有A、8兩個輕環(huán)，系在兩環(huán)上的等長

細繩將書本靜止懸掛，現(xiàn)將兩環(huán)距離變大后書本為處于靜止狀態(tài)，若桿對八環(huán)

的支持力為FN,桿對A環(huán)的摩擦力為R,則（）

圖2

A.FN減小，F(xiàn)t不變B.AN減小，a增大

CFN不變，R不變D.A不變，a增大

答案D

解析對A、8和書本整體分析，根據(jù)平衡條件以及對稱性可知2"N=G,設兩

細繩的夾角為2仇對力單獨受力分析，如圖所示，根據(jù)平衡條件可得tan。=管,

將兩環(huán)距離變大后，入不變，。增大，R增大。故D正確。

3.（多選）如圖3所示，帶有光滑豎直桿的三角形斜劈固定在水平地面上，放置于

斜劈上的光滑小球與套在豎直桿上的小滑塊用輕繩連接，開始時輕繩與斜面平

行?，F(xiàn)給小滑塊施加一豎直向上的拉力，使小滑塊沿桿緩慢上升，整個過程中小

球始終未脫離斜面，貝1（）

圖3

A.輕繩對小球的拉力逐漸增大

B.小球對斜面的壓力先減小后增大

C.豎直桿對小滑塊的彈力先增大后減小

D.對小滑塊施加的豎直向上的拉力逐漸增大

答案AD

解析設斜面傾角為斜面對小球的支持力為FNI,繩對小球的拉力為FT,小

球的重力大小為Gi,小滑塊的重力大小為G2,豎直桿對小滑塊的彈力大小為FN2o

由于小滑塊沿桿緩慢上升，所以小球沿斜面緩慢向上運動，小球處于動態(tài)平衡狀

態(tài)，受到的合力為零，作小球受力矢量三角形如圖甲所示，則繩對小球的拉力

a逐漸增大，選項A正確；斜面對小球的支持力/NI逐漸減小，故小球對斜面

的壓力逐漸減小，選項B錯誤；將小球和小滑塊看成一個整體，對其進行受力

分析如圖乙所示，由平衡條件可得人N2=FNisin仇+G2—FNICOS0,EFNI

逐漸減小，所以外2逐漸減小，戶逐漸增大，選項C錯誤，D正確。

4.如圖4所示為一簡易起重裝置，（不計一切阻力）A。是上端帶有滑輪的豎直司定

支架，3C為質量不計的輕桿，桿的一端C用錢鏈固定在支架上，另一端〃懸掛

一個質量為〃，的重物，并用鋼絲繩跨過滑輪A連接在卷揚機上。開始時，桿8C

與AC的夾角N8C4>90。，現(xiàn)使N8C4緩慢變小，直到N8CA=30。。在此過程中，

桿8C所產(chǎn)生的彈力（）

圖4

A.大小不變B.逐漸增大

C.先增大后減小D.先減小后增大

答案A

解析以結點B為研究對象，分析受力情況，作出力的合成圖如圖，根據(jù)平衡

條件知，尺尸N的合力產(chǎn)合與G大小相等、方向相反。根據(jù)三角形相似得

=金，又/合=G得尸=^G,八啜G，N8C4緩慢變小的過程中，AB變小,

而AC、8C不變，則尸變小，F(xiàn)N不變，故桿BC所產(chǎn)生的彈力大小不變，故A

正確。

對點練2平衡中的臨界與極值問題

5.北方農村秋冬季節(jié)常用金屬絲網(wǎng)圍成圓柱形糧倉儲存玉米棒，某糧倉由于玉米

棒裝的不勻稱而發(fā)生傾斜現(xiàn)象，為避免傾倒，在左側用木棍支撐，如圖5所示。

若支撐點距水平地面的高度為小m,木棍與水平地面間的動摩擦因數(shù)為坐木

棍重力不計，糧倉對木棍的作用力沿木棍方向，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力,

為使木棍下端一定不發(fā)生側滑，則木棍的長度最多為（）

圖5

A.1.5mB.小mC.2mD.2sm

答案C

解析設木棍與豎直方向夾角為仇木棍長度為L,糧倉對木棍的作用力為F。

為使木棍下端一定不發(fā)生側滑，則有尸sin。W/bcos仇即"2lan仇由幾何知識

有tanO=r-,聯(lián)立解得￡W2m,即木棍的長度最多為2m,故C項正確。

6.如圖6所示，質量分別為3m和〃7的兩個可視為質點的小球〃、b,中間用一細

線連接，并通過另一細線將小球〃與天花板上的。點相連，為使小球〃和小球〃

均處于靜止狀態(tài)，且。。細線向右偏離豎直方向的夾角恒為37。，需要對小球匕

朝某一方向施加一拉力F。若己知向37。=0.6,2537。=0.8。重力加速度為g,

則當F的大小達到最小時，細線對小球a的拉力大小為（）

A.2.4〃zgC.3.2mg

答案C

解析以兩個小球組成的整體為研究對象，作出尸在三個方向時整體的受力圖。

根據(jù)平衡條件知產(chǎn)與后的合力與總重力總是大小相等、方向相反的，由力的合

成圖可知當廠與繩子?！ù怪睍r尸有最小值，即圖中2位置，此時細線對小

球Q的拉力大小為R=4〃zgcos37o=3.2mg,故C正確,A、B、D錯誤。

7.（2020?山東卷，8）如圖7所示，一輕質光滑定滑輪固定在傾斜木板上，質量分

別為機和2m的物塊A、B,通過不可伸長的輕繩跨過滑輪連接，A、3間的接觸

面和輕繩均與木板平行。A與8間、。與木板間的動摩擦因數(shù)均為小設最大靜

摩擦力等于滑動摩擦力。當木板與水平面的夾角為45。時，物塊人、。剛好要滑

動，則〃的值為（）

A3

答案C

解析根據(jù)題述，物塊A、8剛要滑動，可知A、8之間的摩擦力FfAB=/nmgcos45°,

B與木板之間的摩擦力F[="-3mgcos45。。隔離4分析受力，由平衡條件可得輕

繩中拉力/7二尺鉆+加期由45。。對A、3整體，由平衡條件可得2尸=3〃zgsin45。

-FG聯(lián)立解得〃=/選項C正確。

8.（多選）如圖8所示，A、B兩個物體中間用一根不可伸長的輕繩相連，在物體B

上施加一斜向上的力居使A、8兩物體保持相對靜止一起沿水平地面向右勻速

運動，當力尸與水平面的夾角為。M,力尸最小。已知A、5兩物體的質量分別

為"力=2.5kg、機2=0.5kg,物體A與地面間的動摩擦因數(shù)g取10m/s2,

不計空氣阻力，則下列說法正確的是（）

圖8

A.0=30。

B.0=6（）。

C.力產(chǎn)的最小值為12N

D.力”的最小值為15N

答案AD

解析對A、8兩物體，采用整體法進行受力分析，由共點力平衡和正交分解法

知，在豎直方向上，

FN=（w1+m2）g—Fsin0

滑動摩擦力為

Ff="Fz

在水平方向上

Ft=Fcos6

人”/口"（〃21+加2）2

解得X~g.日

cos8+〃sm0

由三角函數(shù)知識，得F的最小值為

LI（W1+/H2）2

Fmin=匕~~/一—=15N

弋1+〃-

A

此時有tan0=〃=與，。=30°

J

故A、D正確。

B級綜合提升練

9.（2023?江蘇南京市中華中學高三開學考）如圖9所示，在水平板的左端有一固定

擋板，擋板上連接一輕質彈簧，緊貼彈簧放一質量為m的滑塊，此時彈簧處于

自然長度。已知滑塊與板間的動摩擦因數(shù)為坐，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦

力?，F(xiàn)將板的右端緩慢令起（板與水平面的夾角為J）,直到板豎直。此過程中（）

圖9

A.當。=30。時,彈簧的彈力

5

B.當夕=45。時，摩擦力吆

C.當。=60。時，摩擦力達到最大

D.當。二60。時，彈簧的彈力/=當/型

答案D

解析由題意可知mgsin0=〃〃7gcos仇即〃=tan0=弋,。=30。，即當6=30。

時，滑塊處于即將滑動狀態(tài)，此時彈簧的彈力為0,故A錯誤；當。=45。＞30。

時，滑塊處于緩慢滑動狀態(tài)，則滑動摩擦力為R=〃〃?gcos45o=坐X孚mg=

書mg,故B錯誤；當，=3。。時，摩擦力達到最大，隨板與水平面的夾角增大，

滑動摩擦力減小，故C錯誤；當。=60。時，由平衡條件可知產(chǎn)+卬陽8560。=

mgsin60°,即F=mgsin60°—///wgcos60。=坐mg一坐X=^mg,故D正確。

10.（多選）（2023?華大新高考聯(lián)盟聯(lián)考）如圖10所示，一個裝滿水的空心球總質量

為〃z,左側緊靠在豎直墻面上，右側由方形物塊頂在其右下方的4點，使球處于

R

靜止狀態(tài)?？招那虻膱A心為0,半徑為R,A點距離圓心。的豎直距離為了重

力加速度為g。則（）

A.方形物塊對空心球的彈力大小為2mg

B.僅將方形物塊向右移動少許，墻面對空心球的彈力將不變

C.僅當空心球里的水放掉一小部分，方形物塊對球的彈力將變小

D.僅當空心球里的水放掉一小部分，方形物塊對球的彈力與水平方向的夾角將變

小

答案AC

R1

解析以空心球整體的研究對象，受力分析如圖，由幾何關系可知sin9=^=攝

ZAZ

故方形物塊對空心球的彈力大小為尸?二土笠=2加g,A正確；僅將方形物塊向

O111

右移動少許，。變小，墻面對空心球的彈力入=毋5將變大，B錯誤；僅當空心

球里的水放掉一小部分，重力變小，重心下降，但方形物塊對空心球的彈力方向

仍然指向圓心，方向不變，即方形物塊對球的彈刀與水平方向的夾角?不變，重

力變小，則方形物塊定球的彈力將變小，C正確，D錯誤。

11.如圖11所示，在水平推力作用下，物體A靜止在傾角為。=45。的粗糙斜面上，

當水平推力為凡時、A剛好不下滑，然后增大水平推力的值，當水平推力為F

時A剛好不上滑。設滑動摩擦力等于最大靜摩擦力，物體A與斜面之間的動摩

擦因數(shù)為〃@V1）,則下列關系式成立的是（）

圖11

屋F=/—FqB.尸=（丁憶）2尸0

1—/.iIr

C.F=—^Fo口.尸=（丁上）2尸（）

1—/Z1—（.I

答案D

解析當物體恰好不下滑時，沿斜面方向剛好平衡，則有

mgsin450=尸ocos45°+/ZF