14空間向量的應(yīng)用（原卷版）

1.4空間向量的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：直線的方向向量和平面的法向量1.直線的方向向量：點(diǎn)A是直線l上的一個(gè)點(diǎn)，是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點(diǎn)O，則點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使或，這就是空間直線的向量表達(dá)式.知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．（2）在解具體立體幾何題時(shí)，直線的方向向量一般不再敘述而直接應(yīng)用，可以參與向量運(yùn)算或向量的坐標(biāo)運(yùn)算．2.平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱(chēng)向量為平面α的法向量．給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量，那么過(guò)點(diǎn)A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)阂粋€(gè)平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時(shí)，可適當(dāng)取平面的一個(gè)法向量．已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個(gè)法向量．3.平面的法向量確定通常有兩種方法：（1）幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；（2）幾何體中沒(méi)有具體的直線，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：（i）設(shè)出平面的法向量為；（ii）找出（求出）平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量的坐標(biāo)，；（iii）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x、y、z的方程；（iv）解方程組，取其中的一個(gè)解，即得法向量．由于一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè)，故可在代入方程組的解中取一個(gè)最簡(jiǎn)單的作為平面的法向量．知識(shí)點(diǎn)二：用向量方法判定空間中的平行關(guān)系空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．（1）線線平行設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個(gè)平面平行，可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個(gè)平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．知識(shí)點(diǎn)三、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．（1）線線垂直設(shè)直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．（2）線面垂直①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．知識(shí)點(diǎn)四、用向量方法求空間角（1）求異面直線所成的角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，則．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)簝僧惷嬷本€所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過(guò)這兩直線的方向向量的夾角來(lái)求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角．（2）求直線和平面所成的角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．（3）求二面角如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個(gè)面的法向量的夾角或夾角的補(bǔ)角．①當(dāng)法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于的夾角的大?。诋?dāng)法向量的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于的夾角的補(bǔ)角的大?。R(shí)點(diǎn)五、用向量方法求空間距離1.求點(diǎn)面距的一般步驟：①求出該平面的一個(gè)法向量；②找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離．即：點(diǎn)A到平面的距離，其中，是平面的法向量．2.線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解．直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．3.點(diǎn)線距設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點(diǎn)P到直線l的距離.【題型歸納目錄】題型一：求平面的法向量題型二：利用向量研究平行問(wèn)題題型三：利用向量研究垂直問(wèn)題題型四：異面直線所成的角題型五：線面角題型六：二面角題型七：距離問(wèn)題【典型例題】題型一：求平面的法向量例1．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)，，平面的一個(gè)法向量為，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1例2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體，分別寫(xiě)出對(duì)角面和平面的一個(gè)法向量．例3．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求下列平面的一個(gè)法向量：(1)平面ABCD；(2)平面；(3)平面．例4．（2022·湖南·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知平面內(nèi)有，，三點(diǎn)，求平面的法向量．【方法技巧與總結(jié)】求平面向量的法向量的基本方法是待定系數(shù)法，即先設(shè)出一個(gè)法向量的坐標(biāo)（x，y，z），再在平面上取兩個(gè)向量（可取特殊向量，如在某個(gè)坐標(biāo)平面上的向量，或與某坐標(biāo)軸平行的向量），則它們與法向量均垂直，因此它們的數(shù)量積均為0，從而得到x、y、。所滿足的兩個(gè)方程，再令x為某個(gè)特殊值，便可得出y、z的值，從而確定一個(gè)法向量．要注意一個(gè)平面的法向量有無(wú)數(shù)個(gè)，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊條件下便可求出．題型二：利用向量研究平行問(wèn)題例5．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，P、Q是正方體表面上相異兩點(diǎn)．若P、Q均在平面上，滿足，．(1)判斷PQ與BD的位置關(guān)系；(2)求的最小值．例6．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體中，棱長(zhǎng)為2a，M是棱的中點(diǎn).求證：平面.例7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，正方體中，、分別為、的中點(diǎn)．(1)用向量法證明平面平面；(2)用向量法證明平面．例8．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)S、P在棱、上，且，，點(diǎn)R、Q分別為AB、的中點(diǎn)．求證：直線直線．例9．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是正方形和正方形的中心．求證：(1)平面；(2)平面；(3)平面平面．【方法技巧與總結(jié)】（1）線線平行設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個(gè)平面平行，可以在平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個(gè)平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．題型三：利用向量研究垂直問(wèn)題例10．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體，中，E、F分別是棱AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，其中，以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．(1)求證：；(2)若、E、F、四點(diǎn)共面，求證：．例11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知長(zhǎng)方體中，，判斷滿足下列條件的點(diǎn)M，N是否存在：.例12．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，O是AC與BD的交點(diǎn)，M是的中點(diǎn)．求證：平面MBD．例13．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，、分別、的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.例14．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，試確定E點(diǎn)的位置．【方法技巧與總結(jié)】（1）線線垂直設(shè)直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．（2）線面垂直①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．題型四：異面直線所成的角例15．（2022·上海市光明中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，設(shè)有底面半徑為的圓錐．已知圓錐的側(cè)面積為，為中點(diǎn)，．(1)求圓錐的體積；(2)求異面直線與所成角．例16．（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖所示，在四棱維中，面，且PA=AB=BC==2.(1)求與所成的角；(2)求直線與面所成的角的余弦值.例17．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，O為中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求異面直線與OD所成角的大?。?8．（2022·江蘇常州·高二期中）如圖，已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，是線段的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)試在線段上確定一點(diǎn)，使與所成角是60°.【方法技巧與總結(jié)】已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，則．題型五：線面角例19．（2022·天津和平·一模）平行四邊形所在的平面與直角梯形所在的平面垂直，∥，，且為的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求點(diǎn)到平面的距離；(3)若直線上存在點(diǎn)，使得直線所成角的余弦值為，求直線與平面成角的大小.例20．（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱臺(tái)中，，，．(1)證明：；(2)求直線與平面所成的角．例21．（2022·北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí)）圖1是直角梯形，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，并且，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)的位置，且，如圖2.(1)求證：平面平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得到平面的距離為？若存在，求出直線與平面所成角的正弦值.例22．（2022·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，是斜邊為的等腰直角三角形．(1)若時(shí)，求證：平面平面；(2)若時(shí)，求直線與平面所成的角的正弦值．例23．（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，且，平面ABCD，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱PC上一點(diǎn)．(1)求證：平面平面PAD；(2)若G為PD的中點(diǎn)，，是否存在點(diǎn)F，使得直線EG與平面AEF所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．例24．（2022·吉林·三模（理））如圖，四棱柱中，平面平面，底面為菱形，與交于點(diǎn)O，．(1)求證：平面；(2)線段上是否存在點(diǎn)F，使得與平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由．【方法技巧與總結(jié)】設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．題型六：二面角例25．（2022·四川成都·二模（理））如圖，在三棱柱中，已知底面，，，，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在棱上，且，E為線段上的動(dòng)點(diǎn).(1)證明：；(2)若直線與所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.例26．（2022·福建·三明一中模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形為菱形，，將沿折起，得到三棱錐，點(diǎn)M，N分別為和的重心．(1)證明：∥平面；(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的余弦值．例27．（2022·青海玉樹(shù)·高三階段練習(xí)（理））如圖，在多面體ABCDFE中，平面平面ABEF，四邊形ABCD是矩形，四邊形ABEF為等腰梯形，且，，．(1)求證：；(2)求二面角的余弦值．例28．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面.(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值.例29．（2022·山東聊城·三模）已知四邊形ABCD為平行四邊形，E為CD的中點(diǎn)，AB=4，為等邊三角形，將三角形ADE沿AE折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且平面平面ABCE.(1)求證：；(2)試判斷在線段PB上是否存在點(diǎn)F，使得平面AEF與平面AEP的夾角為45°.若存在，試確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.例30．（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）在四棱錐PABCD中，底面為直角梯形，CDAB，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD=4，側(cè)面PAD平面ABCD，PA=PD=2，E為PA中點(diǎn).(1)求證：ED平面PBC；(2)已知平面PAD與平面PBC的交線為，在上是否存在點(diǎn)N，使二面角PDCN的余弦值為？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)N位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【方法技巧與總結(jié)】如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，題型七：距離問(wèn)題例31．（2022·上海交大附中模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱柱，其中．(1)若點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，求三棱錐的體積．(2)求點(diǎn)到平面的距離例32．（2022·北京·北大附中三模）如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，為中點(diǎn)，且.(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.例33．（2022·全國(guó)·高二）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面EFG；(2)求平面與平面EFG間的距離．例34．（2022·天津河西·二模）如圖所示，在幾何體中，四邊形為直角梯形，，，底面，，，，．(1)求證：平面；(2)求直線與直線所成角的余弦值；(3)求點(diǎn)到直線的距離．例35．（2022·山東淄博·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知三棱柱的棱長(zhǎng)均為2，，．(1)證明：平面平面ABC；(2)設(shè)M為側(cè)棱上的點(diǎn)，若平面與平面ABC夾角的余弦值為，求點(diǎn)M到直線距離．例36．（2022·全國(guó)·高二）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn).（1）求異面直線與間的距離；（2）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使平面，并求出N到AB和AP的距離.例37．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，已知點(diǎn)滿足.（1）求二面角的大??；（2）求異面直線與的距離；（3）直線上是否存在點(diǎn)，使平面？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【方法技巧與總結(jié)】1.求點(diǎn)面距的一般步驟：①求出該平面的一個(gè)法向量；②找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離．即：點(diǎn)A到平面的距離，其中，是平面的法向量．2.設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點(diǎn)P到直線l的距離.【同步練習(xí)】一、單選題1．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱AD，的中點(diǎn)，則異面直線EF與所成角的余弦值為（

）．A． B． C． D．2．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）在正方體中，E，F(xiàn)，G分別是，的中點(diǎn)，則（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面3．（2022·黑龍江·綏化市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知直三棱柱各棱長(zhǎng)均相等，點(diǎn)D，E分別是棱，的中點(diǎn)，則異面直線AD與BE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．（2022·福建省龍巖第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在內(nèi)，則到的距離為（

）A． B． C．4 D．105．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）有以下命題：①一個(gè)平面的單位法向量是唯一的②一條直線的方向向量和一個(gè)平面的法向量平行，則這條直線和這個(gè)平面平行③若兩個(gè)平面的法向量不平行，則這兩個(gè)平面相交④若一條直線的方向向量垂直于一個(gè)平面內(nèi)兩條直線的方向向量，則直線和平面垂直其中真命題的個(gè)數(shù)有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（2022·江蘇南京·高二階段練習(xí)）已知正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2，N為棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，λ∈[0，1]，當(dāng)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)最小B．當(dāng)λ=0時(shí)，三棱錐的體積最大C．不存在λ使得AM⊥MND．設(shè)平面與平面所成的角為θ，存在兩個(gè)不同的λ值，使得7．（2022·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模）如圖，在正方體中，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．直線與直線相交B．當(dāng)為棱上的中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)在平面的射影是點(diǎn)C．存在點(diǎn)，使得直線與直線所成角為D．三棱錐的體積為定值8．（2022·湖北·鄂南高中模擬預(yù)測(cè)）已知正方體的棱長(zhǎng)為.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正半軸，為軸正半軸，為軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，動(dòng)點(diǎn)滿足直線與所成夾角為的最大值為（

）A． B． C．1 D．2二、多選題9．（2022·江蘇宿遷·高二期中）給定下列命題，其中正確的命題是（

）A．若是平面的法向量，且向量是平面內(nèi)的直線的方向向量，則B．若，分別是不重合的兩平面的法向量，則C．若，分別是不重合的兩平面的法向量，則D．若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直10．（2022·江蘇·海安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．直線BC1與直線所成的角為90°B．B1D⊥平面ACD1C．點(diǎn)B1到平面ACD1的距離為D．直線B1C與平面所成角的余弦值為11．（2022·江蘇省南京市第十二中學(xué)高二階段練習(xí)）在空間四邊形中，已知平面的一個(gè)法向量為，且二面角的大小的余弦值為，則平面的法向量可能為（

）A． B． C． D．12．（2022·廣東深圳·高三階段練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為，為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面過(guò)點(diǎn)且與平面平行，則（

）A．B．三棱錐的體積為定值C．與平面所成的角可以是D．平面與底面和側(cè)面的交線長(zhǎng)之和為三、填空題13．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））若直線l的一個(gè)方向向量為，平面a的一個(gè)法向量為，則直線l與平面的位置關(guān)系是______．14．（2022·江蘇·南京師大附中高二期末）