七年級數(shù)學(xué) 第02講 有理數(shù)與數(shù)軸（原卷版）

第02講有理數(shù)與數(shù)軸1.了解具有相反意義的量，正負數(shù)的概念；2.理解有理數(shù)的概念，能正確將數(shù)進行分類；3.理解數(shù)軸的概念，并能正確畫出數(shù)軸,，在數(shù)軸上表示數(shù)；4.通過數(shù)軸與有理數(shù)是相互對應(yīng)的，初步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)結(jié)合思想。知識點1正數(shù)和負數(shù)概念正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。負數(shù)：在正數(shù)前面加上負號“—”的數(shù)叫做負數(shù)。注：0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，是正數(shù)和負數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù)。（不是帶“—”號的數(shù)都是負數(shù)，而是在正數(shù)前加“—”的數(shù)。）2.意義：在同一個問題上，用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量。知識點2：有理數(shù)概念整數(shù)：正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。分數(shù)：正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù)。（有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。）注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)，負數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負整數(shù)，負整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù)。2.分類：兩種⑴按正、負性質(zhì)分類：⑵按整數(shù)、分數(shù)分類：正有理數(shù)正整數(shù)正整數(shù)有理數(shù)正分數(shù)整數(shù)0零有理數(shù)負整數(shù)負有理數(shù)負整數(shù)分數(shù)正分數(shù)負分數(shù)負分數(shù)知識點3：數(shù)軸1.概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。三要素：原點、正方向、單位長度2.對應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的點和有理數(shù)是一一對應(yīng)的。比較大?。涸跀?shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。3.應(yīng)用求兩點之間的距離：兩點在原點的同側(cè)作減法，在原點的兩側(cè)作加法。（注意不帶“+”“—”號）考點1：正數(shù)與負數(shù)例1．（2023?黔東南州一模）在﹣3，﹣2，0，5四個數(shù)中，負數(shù)有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【變式1-1】（2023?安徽模擬）數(shù)1，，0，﹣2，﹣3中正數(shù)有（）個．A．2 B．3 C．4 D．5【變式1-2】（2023?柯橋區(qū)校級模擬）下列各數(shù)中，屬于負數(shù)的是（）A．8 B．5.6 C． D．【變式1-3】（2022秋?安陸市期末）寫出一個﹣1與0之間的負數(shù)．考點二：相反意義量的表示例2.（2023?遵義三模）某水庫4月份的最高水位超過標準水位3cm，記為+3cm，最低水位低于標準水位3cm，記為（）A．+3cm B．﹣3cm C．6cm D．0cm【變式2-1】（2023?神木市一模）手機移動支付給生活帶來便捷，若張阿姨微信收入5元表示為+5元，則張阿姨微信出支3元應(yīng)表示為（）A．﹣3元 B．+3元 C．﹣8元 D．+2元【變式2-2】（2023?呈貢區(qū)校級三模）2022年8月28日，微博話題#河南由夏入冬只用了一周#登上熱搜，并短時間內(nèi)熱搜榜排名上升10名．若“熱搜榜排名上升10名”記作“+10”，則“熱搜榜排名下降5名”記作（）A．+5 B．﹣5 C．+10 D．﹣10例3.（2023?興慶區(qū)校級一模）某種速凍水餃適宜的儲藏溫度是﹣18±2℃，以下四個冷藏柜的溫度中，不適合儲藏這種水餃的是（）A．﹣15℃ B．﹣17℃ C．﹣18℃ D．﹣20℃【變式3-1】（2023?衡水二模）某品牌米線的包裝袋上寫著“300克±4%”，則下列不可能是米線的重量的是（）A．285克 B．295克 C．304克 D．310克【變式3-2】（2023?子洲縣校級一模）中考所用排球的重量有嚴格標準，現(xiàn)有四個排球，超過標準質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不足標準質(zhì)量的克數(shù)記為負數(shù)，其中最接近標準質(zhì)量的是（）A． B． C． D．【變式3-3】（2022秋?德州期末）某中學(xué)進行立定跳遠測試，男生成績合格標準定為1.85米，體育老師記錄了甲、乙、丙、丁四位男生成績?nèi)缦卤恚海ǔ鰳藴实牟糠钟洖椤?”，不足標準的部分記為“﹣”），你認為立定跳遠成績最好的是（）學(xué)生甲乙丙丁成績/米+0.25+0.45﹣0.10﹣0.25A．甲 B．乙 C．丙 D．丁考點三：相反意義的應(yīng)用例4.（2023春?南崗區(qū)期中）某自行車廠一周計劃生產(chǎn)700輛自行車，平均每天生產(chǎn)100輛，由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量與計劃量相比有出入．下表是某周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)為正、減產(chǎn)為負）：星期一二三四五六日增減+5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9（1）根據(jù)記錄可知前四天共生產(chǎn)輛；（2）產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)輛；（3）該廠實行計件工資制，每周生產(chǎn)一輛自行車給工人60元，超額完成任務(wù)超額部分每輛再獎15元，少生產(chǎn)一輛扣20元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？【變式4-1】（2023春?松江區(qū)期中）某校六年級（1）班學(xué)生在勞動課上采摘成熟的白蘿卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克為標準，超過的千克數(shù)記作正數(shù)，相等的千克數(shù)記作0，不足的千克數(shù)記作負數(shù)，稱重后記錄如下：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）﹣2.51.5﹣30﹣0.51﹣2﹣2﹣1.52回答下面問題：（1）這10筐白蘿卜，最接近25千克的這筐白蘿卜實際質(zhì)量為千克．（2）以每筐25千克為標準，這10筐白蘿卜總計超過或不足多少千克？（3）若白蘿卜每千克售價2元，則售出這10筐白蘿卜可得多少元？【變式4-2】（2022秋?和平區(qū)期末）近日市場上一種“果凍橙”比較暢銷．現(xiàn)有8箱這種橙子，以每箱10千克為標準，超過的千克數(shù)記作正數(shù)，不足的千克數(shù)記作負數(shù)，稱后的記錄如圖，回答下列問題：（1）求這8箱“果凍橙”的總質(zhì)量是多少千克？（2）若這種橙子每千克售價12元，則出售這8箱“果凍橙”可賣多少元？【變式4-3】（2023春?萊蕪區(qū)月考）學(xué)校為了備戰(zhàn)校園足球聯(lián)賽，一名足球守門員練習(xí)折返跑，從球門線出發(fā)，向前記作正數(shù)，返回記作負數(shù)，他的記錄為：+7，﹣6，+8，﹣10，+13，﹣8，﹣4（單位：米）．（1）守門員最后是否回到了球門線的位置？（2）在練習(xí)過程中，守門員離開球門線最遠的距離是多少米？（3）守門員全部練習(xí)結(jié)束后一共跑了多少米？考點四：有理數(shù)的概念辨析例5.（2022秋?朝陽區(qū)期末）下面的說法中，正確的是（）A．正有理數(shù)和負有理數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù) B．整數(shù)和小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù) C．整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù) D．整數(shù)、零和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)【變式5-1】（2023春?閔行區(qū)期中）有理數(shù)分為（）A．正數(shù)和負數(shù) B．素數(shù)和合數(shù) C．整數(shù)和分數(shù) D．偶數(shù)和奇數(shù)【變式5-2】（2022秋?東港區(qū)校級期末）下列說法中：①0是最小的整數(shù)；②有理數(shù)不是正數(shù)就是負數(shù)；③非負數(shù)就是正數(shù)和0；④整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【變式5-3】下列說法：①整數(shù)包括正整數(shù)和負整數(shù)；②分數(shù)包括正分數(shù)和負分數(shù)；③﹣7既是負數(shù)也是整數(shù)，但不是自然數(shù)；④O既是正整數(shù)也是負整數(shù)；⑤非負分數(shù)就是正分數(shù)．其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4考點五：有理數(shù)的分類例6.（2022秋?新泰市期中）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號內(nèi)：﹣35，0.6，，0，，1，4.01001000…，π．正有理數(shù)：{…}；整數(shù)：{…}；負分數(shù)：{…}；非負整數(shù)：{…}．【變式6-1】（2023春?閔行區(qū)期中）在﹣15，5，﹣0.23，0，7.6，2，﹣，314%．這八個有理數(shù)中非負數(shù)有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【變式6-2】在15，﹣0.23，0，，2，，316%這幾個數(shù)中，是非負數(shù)的有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【變式6-3】（2022秋?簡陽市期中）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合：0，﹣3，2.，﹣0.010010001，﹣8，，15，300%．整數(shù)集合{…}；分數(shù)集合{…}；非負整數(shù)集合{…}；負數(shù)集合{…}．考點六：數(shù)軸的畫法及應(yīng)用例7.（2022秋?梅里斯區(qū)期末）A、B、C、D四位同學(xué)畫的數(shù)軸其中正確的是（）A． B． C． D．【變式7-1】（2021秋?涼州區(qū)校級期末）判斷下列圖中所畫的數(shù)軸正確的個數(shù)是（）個．A．0 B．1 C．2 D．3【變式7-2】（2022?蘇州模擬）以下是四位同學(xué)畫的數(shù)軸，其中正確的是（）A． B． C． D．例8.（2022秋?自貢期末）a，b為有理數(shù)，它們在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示．則下列關(guān)系式正確的是（）A．﹣a＜﹣b＜b＜a B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．﹣b＜b＜﹣a＜a D．a(chǎn)＜﹣b＜b＜﹣a【變式8-1】（2022秋?德州期末）點A，B在數(shù)軸上的位置如圖所示，若點A，B表示的數(shù)分別為a，b，且滿足a+b＞0，則下列一定是正數(shù)的為（）A．a(chǎn) B．﹣a C．b D．﹣b【變式8-2】（2023?大慶一模）已知有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，則下列關(guān)系中，正確的（）A．a(chǎn)＜b B．c＞b C．a(chǎn)＞b+c D．b﹣a＜c﹣a考點七：數(shù)軸上的點所表示的數(shù)例9.（2023春?倉山區(qū)校級期中）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)可能是（）A．﹣2.01 B．﹣2.6 C．﹣3.4 D．3.3【變式9-1】（2023?景縣校級模擬）如圖，被墨跡污染的數(shù)可能是（）A．1.5 B．0.5 C．﹣1.5 D．﹣0.5【變式9-2】（2022秋?鳳山縣期末）點A、B在同一數(shù)軸上，其中點A表示的數(shù)為﹣4，若AB＝3，則點B表示的數(shù)為（）A．﹣7 B．﹣7或﹣1 C．﹣1 D．1或7【變式9-3】（2023?晉安區(qū)校級模擬）如圖，數(shù)軸的單位長度是1，若點A表示的數(shù)是﹣1，則點B表示的數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4考點八：數(shù)軸中點的規(guī)律問題例10.（2022秋?南通期末）如圖，A，B兩點在數(shù)軸上（A在B的右側(cè)），點A表示的數(shù)是2，AB＝6，C是線段AB的中點，則點C表示的數(shù)是．【變式10-1】（2022秋?寧強縣期末）如圖，數(shù)軸上A、B兩點所表示的數(shù)分別為﹣3和5，C是線段AB的中點，D是數(shù)軸上一點，且CD＝3，則點D表示的數(shù)為．【變式10-2】（2022秋?磁縣期末）如圖，數(shù)軸上有A、B、C三點，C為AB的中點，點B表示的數(shù)為2，點C表示的數(shù)為﹣1，則點A表示的數(shù)為．1．（2022?襄陽）若氣溫上升2℃記作+2℃，則氣溫下降3℃記作（）A．﹣2℃ B．+2℃ C．﹣3℃ D．+3℃2．（2022?益陽）四個實數(shù)﹣，1，2，中，比0小的數(shù)是（）A．﹣ B．1 C．2 D．3．（2022?河池）如果將“收入50元”記作“+50元”，那么“支出20元”記作（）A．+20元 B．﹣20元 C．+30元 D．﹣30元4．（2021?南京）北京與莫斯科的時差為5小時，例如，北京時間13：00，同一時刻的莫斯科時間是8：00．小麗和小紅分別在北京和莫斯科，她們相約在各自當?shù)貢r間9：00～17：00之間選擇一個時刻開始通話，這個時刻可以是北京時間（）A．10：00 B．12：00 C．15：00 D．18：005．（2021?濱州）在數(shù)軸上，點A表示﹣2．若從點A出發(fā)，沿數(shù)軸的正方向移動4個單位長度到達點B，則點B表示的數(shù)是（）A．﹣6 B．﹣4 C．2 D．46．（2021?廣州）如圖，在數(shù)軸上，點A、B分別表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，則點A表示的數(shù)為（）A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣67．（2021?涼山州）下列數(shù)軸表示正確的是（）A． B． C． D．8．（2020?樂山）數(shù)軸上點A表示的數(shù)是﹣3，將點A在數(shù)軸上平移7個單位長度得到點B，則點B表示的數(shù)是（）A．4 B．﹣4或10 C．4或﹣10 D．﹣109．（2020?臨沂）如圖，數(shù)軸上點A對應(yīng)的數(shù)是，將點A沿數(shù)軸向左移動2個單位至點B，則點B對應(yīng)的數(shù)是（）A．﹣ B．﹣2 C． D．10．（2020?湘潭）在數(shù)軸上到原點的距離小于4的整數(shù)可以為．（任意寫出一個即可）1．（2023?鄱陽縣一模）下列各數(shù)中，是正數(shù)的是（）A． B．0 C．2 D．﹣52．（2023?安寧市一模）中國是最早采用正負數(shù)表示相反意義的量，并使用負數(shù)進行運算的國家．當前，手機移動支付已經(jīng)成為新型的消費方式，節(jié)日當天媽媽收到微信紅包80元記作+80元，則媽媽微信轉(zhuǎn)賬支付67元可以表示為（）A．+80元 B．﹣80元 C．+67元 D．﹣67元3．（2022秋?婺城區(qū)期末）手機移動支付給生活帶來便捷．如圖是張老師2022年12月26日微信賬單的收支明細（正數(shù)表示收入，負數(shù)表示支出，單位：元），張老師當天微信收支的最終結(jié)果是（）A．收入19.00元 B．支出10元 C．支出3.00元 D．支出22.00元4．（2023春?南崗區(qū)校級月考）下列各數(shù)中，負有理數(shù)有（）個．﹣1，2.5，，0，﹣π，120，﹣1.732，A．1 B．2 C．3 D．45．（2022秋?廣陽區(qū)校級期末）下列各數(shù)：，1.010010001，，0，﹣π，﹣2.626626662…，0.，其中有理數(shù)的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．56．（2022秋?宛城區(qū)校級期末）下列說法錯誤的是（）A．0既不是正數(shù)，也不是負數(shù) B．零上6攝氏度可以寫成+6℃，也可以寫成6℃ C．向東走一定用正數(shù)表示，向西走一定用負數(shù)表示 D．沒有最小的有理數(shù)7．（2023?九臺區(qū)校級模擬）如圖，數(shù)軸上點A和點B分別表示數(shù)a和b，則下列式子正確的是（）?A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)b＜0 C．a(chǎn)﹣b＞0 D．a(chǎn)+b＞08．（2022秋?公安縣期末）在數(shù)軸上，若點A，B表示的數(shù)分別是﹣3和5，點M是線段AB的中點，則M表示的數(shù)為（）A．1 B．2 C．4 D．﹣49．（2022秋?增城區(qū)期末）若數(shù)軸上線段AB＝2，點A表示的數(shù)是﹣1，則點B表示的數(shù)是（）A．1 B．2 C．﹣3 D．﹣3或110．（2022秋?大荔縣期末）如圖，將刻度尺放在數(shù)軸上，刻度尺上“4cm”和“5cm”分別對應(yīng)數(shù)軸上的1和0，那么刻度尺上“2.4cm”對應(yīng)數(shù)軸上的數(shù)為（）A．3.6 B．3.4 C．2.4 D．2.611．（2022秋?寧陜縣校級期中）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號里：﹣3，3.14，﹣0.1，80，﹣25%，0，正數(shù)集合：{