《彈性力學(xué)》試題參考答案(參考題)

《彈性力學(xué)》試題參考答案（答題時(shí)間：100分鐘）一、填空題（每小題4分）1．最小勢(shì)能原理等價(jià)于彈性力學(xué)基本方程中：平衡微分方程，應(yīng)力邊界條件。2．一組可能的應(yīng)力分量應(yīng)滿足：平衡微分方程，相容方程（變形協(xié)調(diào)條件）。3．等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中，的物理意義是桿端截面上剪應(yīng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩等于桿截面內(nèi)的扭矩M。4．平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法中，Airy應(yīng)力函數(shù)在邊界上值的物理意義為邊界上某一點(diǎn)（基準(zhǔn)點(diǎn)）到任一點(diǎn)外力的矩。5．彈性力學(xué)平衡微分方程、幾何方程的張量表示為：，。二、簡述題（每小題6分）1．試簡述力學(xué)中的圣維南原理，并說明它在彈性力學(xué)分析中的作用。圣維南原理：如果物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢與主矩相同），則近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處的應(yīng)力所受影響可以忽略不計(jì)。作用：（1）將次要邊界上復(fù)雜的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）將次要的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件處理。2．圖示兩楔形體，試分別用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)寫出其應(yīng)力函數(shù)的分離變量形式。題二（2）圖（a）（b）3．圖示矩形彈性薄板，沿對(duì)角線方向作用一對(duì)拉力P，板的幾何尺寸如圖，材料的彈性模量E、泊松比已知。試求薄板面積的改變量。題二（3）圖設(shè)當(dāng)各邊界受均布?jí)毫時(shí)，兩力作用點(diǎn)的相對(duì)位移為。由得，設(shè)板在力P作用下的面積改變?yōu)?，由功的互等定理有：將代入得：顯然，與板的形狀無關(guān)，僅與E、、l有關(guān)。4．圖示曲桿，在邊界上作用有均布拉應(yīng)力q，在自由端作用有水平集中力P。試寫出其邊界條件（除固定端外）。題二（4）圖（1）；（2）（3）5．試簡述拉甫（Love）位移函數(shù)法、伽遼金（Galerkin）位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思想，并指出各自的適用性Love、Galerkin位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思想：（1）變求多個(gè)位移函數(shù)或?yàn)榍笠恍┨厥夂瘮?shù)，如調(diào)和函數(shù)、重調(diào)和函數(shù)。（2）變求多個(gè)函數(shù)為求單個(gè)函數(shù)（特殊函數(shù)）。適用性：Love位移函數(shù)法適用于求解軸對(duì)稱的空間問題；Galerkin位移函數(shù)法適用于求解非軸對(duì)稱的空間問題。三、計(jì)算題1．圖示半無限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為d的集中力作用，單位寬度上集中力的值為P，設(shè)間距d很小。試求其應(yīng)力分量，并討論所求解的適用范圍。（提示：取應(yīng)力函數(shù)為）（13分）題三（1）圖解：很小，，可近似視為半平面體邊界受一集中力偶M的情形。將應(yīng)力函數(shù)代入，可求得應(yīng)力分量：；；邊界條件：（1）；代入應(yīng)力分量式，有或（1）（2）取一半徑為r的半圓為脫離體，邊界上受有：，和M=Pd由該脫離體的平衡，得將代入并積分，有得（2）聯(lián)立式（1）、（2）求得：，代入應(yīng)力分量式，得；；。結(jié)果的適用性：由于在原點(diǎn)附近應(yīng)用了圣維南原理，故此結(jié)果在原點(diǎn)附近誤差較大，離原點(diǎn)較遠(yuǎn)處可適用。2．圖示懸臂梁，受三角形分布載荷作用，若梁的正應(yīng)力由材料力學(xué)公式給出，試由平衡微分方程求出，并檢驗(yàn)該應(yīng)力分量能否滿足應(yīng)力表示的相容方程。（12分）題三（2）圖解：（1）求橫截面上正應(yīng)力任意截面的彎矩為，截面慣性矩為，由材料力學(xué)計(jì)算公式有（1）（2）由平衡微分方程求、平衡微分方程：其中，。將式（1）代入式（2），有積分上式，得利用邊界條件：，有即（4）將式（4）代入式（3），有或積分得利用邊界條件：，得：由第二式，得將其代入第一式，得自然成立。將代入的表達(dá)式，有（5）所求應(yīng)力分量的結(jié)果：（6）校核梁端部的邊界條件：（1）梁左端的邊界（x=0）：，代入后可見：自然滿足。（2）梁右端的邊界（x=l）：可見，所有邊界條件均滿足。檢驗(yàn)應(yīng)力分量是否滿足應(yīng)力相容方程：常體力下的應(yīng)力相容方程為將應(yīng)力分量式（6）代入應(yīng)力相容方程，有，顯然，應(yīng)力分量不滿足應(yīng)力相容方程，因而式（6）并不是該該問題的正確解。3．一端固定，另一端彈性支承的梁，其跨度為l，抗彎剛度EI為常數(shù)，梁端支承彈簧的剛度系數(shù)為k。梁受有均勻分布載荷q作用，如圖所示。試：（1）構(gòu)造兩種形式（多項(xiàng)式、三角函數(shù)）的梁撓度試函數(shù)；（2）用最小勢(shì)能原理或Ritz法求其多項(xiàng)式形式的撓度近似解（取1項(xiàng)待定系數(shù)）。（13分）題二（3）圖解：兩種形式的梁撓度試函數(shù)可取為——多項(xiàng)式函數(shù)形式——三角函數(shù)形式此時(shí)有：即滿足梁的端部邊界條件。梁的總勢(shì)能為?。海?，代入總勢(shì)能計(jì)算式，有由，有代入梁的撓度試函數(shù)表達(dá)式，得一次近似解為4．已知受力物體內(nèi)