探究與發(fā)現(xiàn)+利用單位圓的性質(zhì)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)　教學(xué)設(shè)計 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

教學(xué)設(shè)計

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級高一學(xué)期秋季課題利用單位圓的性質(zhì)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)教學(xué)目標(biāo)1.利用單位圓的性質(zhì)得到正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)。2.借助幾何畫板讓學(xué)生經(jīng)歷性質(zhì)的探究過程，進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思維能力,讓學(xué)生主動觀察、發(fā)現(xiàn)、類比、探索。3.激發(fā)學(xué)生自主探究的積極性,鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣,從而改進(jìn)學(xué)習(xí)方式，提高思維能力。教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：利用單位圓的性質(zhì)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)。

教學(xué)難點(diǎn)：觀察單位圓與角終邊交點(diǎn)坐標(biāo)變化，探究總結(jié)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。教學(xué)過程一、情景導(dǎo)入同學(xué)們，大家好！我是大同市第一中學(xué)校的王文娟老師。歡迎同學(xué)們來到我的數(shù)學(xué)課堂！今天我們一起來學(xué)習(xí)人教A版必修一第五章第四節(jié)課后探究與發(fā)現(xiàn)：利用單位圓的性質(zhì)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)。大家坐過摩天輪嗎？摩天輪是大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施。游客坐在摩天輪的座艙里慢慢往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色。如果我們把座艙抽象成是在圓上轉(zhuǎn)動的點(diǎn)P，把圓放入平面直角坐標(biāo)系，取它的半徑為1，那就是我們認(rèn)識的單位圓。我們再把該點(diǎn)P定義為角x的終邊與單位圓的交點(diǎn)，那么這個點(diǎn)的坐標(biāo)就是角x的三角函數(shù)。那么利用單位圓還能研究三角函數(shù)哪些性質(zhì)呢？讓我們開始今天的學(xué)習(xí)之旅吧！探究新知在本章，我們不僅借助單位圓定義了三角函數(shù)，還借助它的幾何性質(zhì)得到了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式。因此，我們發(fā)現(xiàn)單位圓的性質(zhì)與三角函數(shù)的性質(zhì)有天然的聯(lián)系，單位圓是研究三角函數(shù)性質(zhì)的好工具。我們在學(xué)習(xí)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)時，先借助單位圓畫出了正弦曲線，再利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，通過圖象的平移變換畫出余弦曲線，最后借助幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)。那么老師現(xiàn)在有這樣一個問題:我們能不能直接從定義出發(fā)，利用單位圓的性質(zhì)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)？如圖，在直角坐標(biāo)系uOv中，角x的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與Ou軸重合，終邊與單位圓交于點(diǎn)P（cosx,sinx）。當(dāng)角x的終邊繞原點(diǎn)從Ou軸的正半軸開始，按照逆時針方向旋轉(zhuǎn)時，點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)會有什么變化規(guī)律？我們發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)cosx按照從1減小到0，從0減小到-1，再從-1增長到0，0增長到1的規(guī)律連續(xù)地、周而復(fù)始地變化；點(diǎn)P的縱坐標(biāo)sinx按照從0增長到1，從1減小到0，再從0減小到-1，-1增長到0的規(guī)律連續(xù)地、周而復(fù)始地變化。（1）周期性“連續(xù)地、周而復(fù)始地變化”這一特點(diǎn)，同學(xué)們?nèi)菀茁?lián)想到三角函數(shù)的哪個性質(zhì)呢？對，周期性。我們發(fā)現(xiàn)角x的終邊逆時針每轉(zhuǎn)一圈，角x增加的值是2π，角x的余弦值和正弦值就會重復(fù)出現(xiàn)，所以余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的周期都是2π。同學(xué)們再想一想，余弦函數(shù)和正弦函數(shù)還有哪些基本性質(zhì)呢？是不是還有奇偶性、單調(diào)性和最大、最小值？那我們繼續(xù)嘗試?yán)脝挝粓A研究一下這些性質(zhì)。（2）奇偶性研究余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的奇偶性，是要研究角x和它的相反角-x三角函數(shù)的關(guān)系。此時我們可以借助另一個點(diǎn)P'。將角x與單位圓交點(diǎn)記作點(diǎn)P，對應(yīng)的角-x與單位圓的交點(diǎn)記作P'，我們一起觀察隨著角x的增大，點(diǎn)P和點(diǎn)P'在運(yùn)動過程中，它們橫、縱坐標(biāo)的變化。我們發(fā)現(xiàn)在運(yùn)動的過程中，點(diǎn)P和點(diǎn)P'一直關(guān)于Ou軸對稱，所以它們橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即cos(-x)=cosx，sin(-x)=-sinx。由此可知，余弦函數(shù)是偶函數(shù)，正弦函數(shù)是奇函數(shù)。（3）單調(diào)性同學(xué)們，我們已經(jīng)研究了余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的周期性、奇偶性，接下來我們繼續(xù)研究單調(diào)性。我們一起來完成下面表格。余弦函數(shù)的單調(diào)性：角x→++→++→++→+P點(diǎn)橫坐標(biāo)的變化1→00→-1-1→00→1cosx的單調(diào)性單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞增正弦函數(shù)的單調(diào)性：角x→++→++→++→+P點(diǎn)縱坐標(biāo)的變化0→11→00→-1-1→0sinx的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增（4）最大值、最小值余弦函數(shù)的最大值、最小值：角xP點(diǎn)的橫坐標(biāo)-11cosx最小值最大值正弦函數(shù)的最大值、最小值：角xP點(diǎn)的縱坐標(biāo)-11sinx最小值最大值同學(xué)們，我們繼續(xù)思考一下，利用單位圓的性質(zhì)我們還能解決正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的哪些問題呢？我們一起來看下面的例題.三、實(shí)踐新知，鞏固練習(xí)利用單位圓直觀比較下列各組數(shù)的大小。（1）sin()與sin()(2)cos()與cos()我們分別畫出和的終邊與單位圓的交點(diǎn)，觀察交點(diǎn)縱坐標(biāo)大小可以得出。

我們分別畫出和的終邊與單位圓的交點(diǎn)，觀察交點(diǎn)模坐標(biāo)大小可以得出。2.利用單位圓的性質(zhì)求出滿足sinx≥cosx的x的集合。例2與例1的區(qū)別是，例1是角不同，三角函數(shù)名相同。例2是角相同，三角函數(shù)名不同。要想滿足，即需要角的終邊與單位圓的交點(diǎn)縱坐標(biāo)大于等于橫坐標(biāo)。我們先找臨界位置，哪些角sinx=cosx呢？顯然當(dāng)角的終邊落在直線v=u時，sinx=cosx.當(dāng)角的終邊落在直線v=u上方時，sinx>cosx。由圖可知，角x構(gòu)成的集合是。3.（1）利用單位圓的性質(zhì)求出滿足的的集合。要想滿足，需要角x終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo).我們在直角坐標(biāo)系中先畫出直線，它與單位圓交于P、Q兩點(diǎn)。射線OP、OQ分別是、的終邊。由圖可知滿足，也就是不等式的角x構(gòu)成的集合為。利用單位圓的性質(zhì)求出滿足的的集合。要想滿足，需要角x終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo).我們在直角坐標(biāo)系中先畫出直線，它與單位圓交于P、Q兩點(diǎn)。射線OP、OQ分別是、的終邊。由圖可知滿足，也就是不等式的角x構(gòu)成的集合為。四、課堂小結(jié)同學(xué)們，通過這節(jié)課，大家有什么收獲？通過探究，我們學(xué)會了利用單位圓的性質(zhì)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性和最值。我們還可以利用單位圓比較同名三角函數(shù)值的大小、比較同角正余弦值的大小、解關(guān)于正余弦的不等式。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們要細(xì)心觀察、樂于研究。從不同角度來探究數(shù)學(xué)問題。例如通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們重點(diǎn)要體會使用數(shù)形結(jié)合這一重要的數(shù)學(xué)思想方法來解決一些數(shù)學(xué)問題。課后作業(yè)請同學(xué)們下課后完成課后練習(xí)。1、等式是否成立？如果這個等式成立，能否說是正弦函數(shù)的一個周期？為什么？2、下列函數(shù)中，哪些是奇函數(shù)?哪些是偶函數(shù)?（1） （2）;（3） （4）.3、利用單位圖的性質(zhì)，寫出滿足下列條件的x所在的區(qū)間.（1）; （2）;（3）； （4）.4、求使下列函數(shù)取得最大值、最小值的自變量的集合，并求出最大值、最小值。（1）； （2）.5、下列關(guān)于函數(shù)，的單調(diào)性的敘述，正確的是（）.（A）