2.3.1-平面向量數(shù)量積

2.3.1平面向量數(shù)量積的

物理背景及定義

問題：觀察討論做功的公式中左右兩端的量分別是什么量？什么影響了功的大??？如何精確的給出數(shù)學(xué)中的定義？力做的功：W=|F|

|s|cos

，

是F與s的夾角1、向量數(shù)量積的物理背景與定義其中|F|cosθ就是F在物體位移方向上的分量的數(shù)量，也就是力F在物體位移方向上正射影的數(shù)量。力做的功：W=|F|

|s|cos

，以計(jì)算力做功為背景，我們引入向量的數(shù)量積的運(yùn)算.（1）兩個(gè)向量的夾角；（2）向量在軸上的射影.2、兩個(gè)向量的夾角則∠AOB稱作向量a和向量b的夾角,則∠AOB稱作向量a和向量b的夾角,已知兩個(gè)非零向量a、b，=a，=b.記作<a，b>.并規(guī)定0≤<a，b>≤π

（1）求兩向量的夾角，應(yīng)保證兩個(gè)向量有公共起點(diǎn)，若沒有，須平移使它們有公共起點(diǎn)；（2）范圍0≤〈a，b〉≤π；（3）〈a，b〉=〈b，a〉；（4）〈a，b〉=0時(shí),a、b同向；〈a，b〉=π時(shí)，a、b反向；〈a，b〉=90°時(shí)，a⊥b.（5）規(guī)定：在討論垂直問題時(shí)，零向量與任意向量垂直.說明:3、向量在軸上的正射影（1）概念：已知向量a和軸l，作=a，過點(diǎn)O，A分別作軸l的垂線，垂足分別為O1，A1，則向量叫做向量a在軸l上的正射影.（2）正射影的數(shù)量：向量a的正射影在軸l上的坐標(biāo)，稱作a在軸l上的數(shù)量或在軸l方向上的數(shù)量.記作：al向量a的方向與軸l的正方向所成的角為θ，則有1.a在軸l上的射影是向量,在軸l方向上的坐標(biāo)是數(shù)量.2.當(dāng)

為銳角時(shí)，數(shù)量為正值；3.當(dāng)

為鈍角時(shí)，數(shù)量為負(fù)值；4.當(dāng)

為直角時(shí)，數(shù)量為0；5.當(dāng)

=0

時(shí)，數(shù)量為|a|；6.當(dāng)

=180

時(shí)，數(shù)量為

|a|.說明:4、向量的數(shù)量積（內(nèi)積）定義：叫做向量a和b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作：a·b. 即a·b=1．?dāng)?shù)量積a

b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上正投影的數(shù)量|b|cos

的乘積.2．兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，符號(hào)由cos〈a，b〉的符號(hào)所決定；而數(shù)乘向量是一個(gè)向量。說明:3．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量.(1).e

a=a

e=|a|cos;(2).a

b

a

b=0;(3).a

a=|a|2或(4).cos

=；(5).|a

b|≤|a|.|b|.練習(xí):判斷正誤，并簡(jiǎn)要說明理由:①a·0＝0；②0·a＝０；③0－＝；④|a·b|＝|a||b|；⑤若a≠0，則對(duì)任一非零b有a·b≠０；⑥a·b＝０，則a與b中至少有一個(gè)為0；⑦

a與b是兩個(gè)單位向量，則a2=b2.例2.已知|a|=5，|b|=4，<a,b>=120°，求a·b.練習(xí):已知|a|＝３，|b|＝６，當(dāng)①a∥b，②a⊥b，③a與b的夾角是60°時(shí)，分別求a·b例3.如圖，△ABC為等腰直角三角形，且直角邊AB=1，求練習(xí)：1.已知|a|=1,|b|=2,且(a+b)·a=0,求a與b的夾角;2.若|a|=3,|b|=,且a,b的夾角為,求|a+b|;3.在△ABC中,AB=a,BC=