上海市閔行區(qū)2024-2025學年高一上學期期中考試數(shù)學試卷

2024-2025學年上海市閔行區(qū)高一（上）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.“”是“”的條件.A.充要條件 B.既不充分也不必要條件

C.必要不充分條件 D.充分不必要條件2.不等式，的解集不可能是(

)A. B.R C. D.3.已知集合，，則滿足的集合S共有個.A.3 B.4 C.7 D.84.設集合，，，，其中a，，下列說法正確的是(

)A.對任意a，是的子集，對任意b，不是的子集

B.對任意a，是的子集，存在b，使得是的子集

C.對任意a，使得不是的子集，對任意b，不是的子集

D.對任意a，使得不是的子集，存在b，使得不是的子集二、填空題：本題共12小題，共54分。5.已知全集為R，集合，則______.6.集合，則集合______.7.若，則的最小值為______.8.若“”是“”的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是______.9.已知，，則的取值范圍是______.10.若集合有且僅有一個元素，則實數(shù)______.11.用反證法證明命題：“若，則或”的第一步應該先假設______.12.一元二次不等式的解集是，則______.13.關于x的不等式的解集M有下列結論，其中正確的是______.

①M可以是；②M可以是R；③M可以是；④M可以是14.已知關于x的一元二次方程的兩個實根分別為和，且，則實數(shù)______.15.若不等式的解集為，則實數(shù)a的取值范圍是______.16.不等式有多種解法，其中之一是在同一直角坐標系中作出，的圖像，然后求解，請類比求解以下問題：設a，，，若對任意，都有，則的取值范圍是______.三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.本小題14分

求下列不等式解集.

18.本小題14分

已知集合，，全集

當時，求，；

若，求實數(shù)a的取值范圍．19.本小題14分

一家新興的醫(yī)療器械公司為了進一步增加市場競爭力，計劃應用新技術生產(chǎn)一種新型的醫(yī)療器械；已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的每年固定成本為300萬元，最大產(chǎn)能為100臺，每生產(chǎn)x臺需另投入成本萬元，且

由市場調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺的售價為200萬元時，本年度內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當年能全部銷售完.

求年利潤萬元關于年產(chǎn)量x臺的函數(shù)解析式利潤=銷售收入-成本；

當該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？20.本小題18分

已知二次函數(shù)

若關于x的方程的兩個實數(shù)根，滿足，求實數(shù)t的值；

若對任意都有成立，求實數(shù)t的取值范圍；

若關于x的方程在區(qū)間上有且僅有一個實數(shù)根，求實數(shù)t的取值范圍.21.本小題18分

在平面直角坐標系中，兩點、的“曼哈頓距離”定義為，記為如，點、的“曼哈頓距離”為9，記為

動點P在直線上，點，若，求點P的橫坐標x的取值范圍；

動點P在直線上，動點Q在函數(shù)圖像上，求的最小值；

動點Q在函數(shù)的圖像上，點，的最大值記為如，當點P的坐標為時，求的最小值，并求此時點P的坐標.

答案和解析1.【答案】D

【解析】本題考查必要條件，充分條件及充要條件的判定，屬基礎題.

結合充分條件和必要條件的定義進行判斷．

解：因為，

，

所以“”是“”的充分不必要條件.2.【答案】D

【解析】解：當，時，不等式，的解集是；

當，時，不等式，的解集是R；

當時，不等式，的解集是；

當時，不等式，的解集是

不等式，的解集不可能是

故選

當，時，不等式，的解集是；當，時，不等式，的解集是R；當時，不等式，的解集是；當時，不等式，的解集是

本題考查一元一次不等式的解法，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．3.【答案】D

【解析】解：因為集合，，

所以，

所以，，

因為，

所以S可以為，，，，，，，，共8個．

故選：

根據(jù)題意可得集合B，再結合子集的概念可列舉出集合S的所有可能情況．

本題考查子集的應用，考查學生的邏輯思維能力，屬中檔題．4.【答案】B

【解析】解：對于集合，，

可得當，即，可得，

即有，可得對任意a，是的子集；

當時，，，

可得是的子集，故A錯誤，B正確；

當時，，且，

可得不是的子集．

綜上可得，對任意a，是的子集，存在b，使得是的子集，故C錯誤，D錯誤．

故選：

運用集合的子集的概念，令，推得，可得對任意a，是的子集；再由，，求得，，即可判斷B正確，A，C，D錯誤．

本題考查集合的關系的判斷，注意運用二次不等式的解法，以及任意和存在性問題的解法，考查判斷和推理能力，屬于基礎題．5.【答案】

【解析】解：全集為R，集合，

故答案為：

利用補集的定義直接求解．

本題考查集合的運算和補集的定義，考查運算求解能力，是基礎題．6.【答案】

【解析】解：集合，

又Z是整數(shù)集，

故答案為：

利用交集的概念計算即可．

本題主要考查集合的基本運算，屬于基礎題．7.【答案】4

【解析】解：因為，所以，

當且僅當，即時，等號成立，

所以的最小值為

故答案為：4

直接利用基本不等式，即可得解．

本題考查基本不等式的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題．8.【答案】

【解析】解：是的充分條件，

，

實數(shù)m的取值范圍是，

故答案為：

利用充要條件的定義求解即可．

本題考查了充要條件的應用，屬于基礎題．9.【答案】

【解析】解：，

，

又，

，

故的取值范圍為

故答案為：

根據(jù)已知條件，結合不等式的可加性，即可求解．

本題主要考查不等式的性質(zhì)，屬于基礎題．10.【答案】0或

【解析】解：因為集合A中有且僅有一個元素，即方程有一個根或者兩個相等的實數(shù)根，

當時，方程僅有一個實數(shù)根，滿足題意；

當時．，

解得

，

綜上，或

故答案為：0或

由題意得方程有一個根或者兩個相等的實數(shù)根，然后結合方程根的存在條件可求．

本題主要考查了元素與集合關系的應用，屬于基礎題．11.【答案】且

【解析】解：用反證法證明“若，則或”時，

第一步應先假設“且”．

故答案為：且

直接利用反證法的步驟，即可得到答案．

本題考查反證法的應用，考查命題的否定，是基礎題．12.【答案】0

【解析】解：由題意可知的兩個根分別是，且，

所以，解得，，

所以

故答案為：

利用三個二次關系計算即可．

本題考查了不等式的解集與對應方程關系的應用問題，是基礎題．13.【答案】②④

【解析】解：對于①：假設結論成立，則，

解得，則不等式為，

解得，與解集是矛盾，故①錯誤；

對于②：當，時，不等式恒成立，則解集是R，故②正確；

對于③：當時，不等式，則解集不可能為，故③錯誤；

對于④：假設結論成立，則，

解得，此時不等式為，

解得，符合題意，故④正確．

故答案為：②④．

在假設結論成立時求出a，b值進行判斷①④，舉特例判斷②③．

本題主要考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎題．14.【答案】

【解析】解：關于x的一元二次方程的兩個實根分別為和，

，，

，

解得或，

當時，一元二次方程無解，

舍去．

故

故答案為：

利用韋達定理得到二次方程兩個根之間的關系，再由已知，可得p的值．

本題主要考查了韋達定理的應用，屬于基礎題．15.【答案】

【解析】解：由題意可知，不等式對任意的恒成立，

由三角不等式可得，

則，即，解得，

因此，實數(shù)a的取值范圍是

故答案為：

利用三角不等式得到，再解絕對值不等式即可．

本題主要考查絕對值不等式的性質(zhì)，考查計算能力，屬于基礎題．16.【答案】

【解析】解：類比圖像法解不等式，畫出和，

若對任意都有，

則應為增函數(shù)，所以兩個函數(shù)圖像應如下圖所示：

由圖像得，解得，其中，，

所以，當且僅當時等號成立，

故的范圍為

故答案為：

類比圖像法，畫出和的圖像，根據(jù)圖像列出方程即可．

本題主要考查不等式的求解，考查計算能力，屬于中檔題．17.【答案】解：由，

所以不等式解集為；

由，則或，

所以或，

故不等式解集為

【解析】將分式不等式化為求解集即可；

由公式法求絕對值不等式的解集．

本題主要考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎題．18.【答案】解：當時，，

所以，

由，知，

當時，，解得；

當時，，解得，

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為

【解析】把代入，可得集合A，再由并集和交集的運算法則，得解；

易知，再分和兩種情況，列出關于a的不等式組，解之即可．

本題考查集合的運算，熟練掌握集合的關系與運算是解題的關鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎題．19.【答案】解：由題意可得：當時，，

當時，

，

故；

①若，，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以當時，萬元，

②若

，

當且僅當時，即時，萬元．

所以該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為60臺時，公司所獲利潤最大，最大利潤是1680萬元．

【解析】分和兩種情況，兩種情況，結合題意分析求解；

分和兩種情況，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)結合雙勾函數(shù)單調(diào)性計算最值，比較得到答案．

本題考查了函數(shù)在生活中的實際運用，也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、利用基本不等式求函數(shù)的最值，屬于中檔題．20.【答案】解：因為方程，即，

且方程的兩根為和，所以，

解得或，

又因為，所以，

化簡得，解得或舍去，所以

由題意得對恒成立，

則對恒成立，

即對恒成立，

設，則

當且僅當，即時等號成立，

所以，即，

所以t的取值范圍是

當，即時，經(jīng)檢驗滿足題意；

當，即或時，

由，得，解得，

經(jīng)檢驗不合題意；

綜上知，t的取值范圍是或

【解析】利用一元二次方程的韋達定理及判別式計算即可；

分離參數(shù)利用換元法結合基本不等式計算即可；

分類討論方程根的情況結合二次函數(shù)根的分布計算即可．

本題考查了不等式的解法與應用問題，也考查了運算求解能力，是中檔題．21.【答案】解：由已知，則概率“曼哈頓”定義得，

，，

當時，成立，解得；

當時，，解得，

當時，，解得，

綜上所述點P的橫坐標x的取值范圍為

設出動點，，則，

，

，

當時，，

此時，

當時，，

此時，

當時，，

此時，

，

，

綜合得，當，時取等號，

的最小值為

設，則，

若存在實數(shù)a，b，使得，則對任意成立，