控制理論作業(yè)二答案

...wd......wd......wd...第三章3-1二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為。試求單位階躍響應(yīng)的tr,tm,δ%,ts的數(shù)值解：[題意分析]這是一道典型二階系統(tǒng)求性能指標(biāo)的例題。解法是把給定的閉環(huán)傳遞函數(shù)與二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)展比照，求出參數(shù)，而后把代入性能指標(biāo)公式中求出，，，和的數(shù)值。上升時(shí)間tr峰值時(shí)間tm過(guò)度過(guò)程時(shí)間ts超調(diào)量δ％3-2設(shè)單位反響系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)的性能指標(biāo)，峰值時(shí)間，超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間。解：[題意分析]這是一道給定了開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),求二階系統(tǒng)性能指標(biāo)的練習(xí)題。在這里要抓住二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式與參數(shù)(,)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后確定用哪一組公式去求性能指標(biāo)。根據(jù)題目給出條件可知閉環(huán)傳遞函數(shù)為與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式相對(duì)比可得，即=1,=0.5。由此可知，系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)。故，單位階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)為3-3如圖1所示系統(tǒng)，假設(shè)該系統(tǒng)在單位階躍響應(yīng)中的超調(diào)量=25%，峰值時(shí)間=0.5秒，試確定K和τ的值。X(s)Y(s)圖1解：[題意分析]這是一道由性能指標(biāo)反求參數(shù)的題目，關(guān)鍵是找出：K,τ與,的關(guān)系；,與,的關(guān)系；通過(guò),把,與K,τ聯(lián)系起來(lái)。由系統(tǒng)構(gòu)造圖可得閉環(huán)傳遞函數(shù)為與二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式相對(duì)比，可得由題目給定：即兩邊取自然對(duì)數(shù)可得依據(jù)給定的峰值時(shí)間：〔秒〕所以〔弧度/秒〕故可得τ≈0.13-4系統(tǒng)的構(gòu)造圖如圖2所示，假設(shè)時(shí)，試求：(1)當(dāng)τ=0時(shí)，系統(tǒng)的tr,tm,ts的值。(2)當(dāng)τ≠0時(shí)，假設(shè)使δ％=20%，τ應(yīng)為多大。100100X(s)Y(s)圖2解：[題意分析]這是一道二階系統(tǒng)綜合練習(xí)題。(1)練習(xí)輸入信號(hào)不是單位階躍信號(hào)時(shí)，求性能指標(biāo)。關(guān)鍵是求出,,。(2)的求法與例4－3－3相似。(1)由構(gòu)造圖可知閉環(huán)傳遞函數(shù)為可得由于輸出的拉氏變換為則拉氏反變換為(2)當(dāng)τ≠0時(shí)，閉環(huán)傳遞函數(shù)由兩邊取自然對(duì)數(shù)，可得故3-5(1)什么叫時(shí)間響應(yīng)答：系統(tǒng)在外加作用的鼓勵(lì)下，其輸出隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系叫時(shí)間響應(yīng)。(2)時(shí)間響應(yīng)由哪幾部份組成各部份的定義是什么答：時(shí)間響應(yīng)由瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)兩局部組成。瞬態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)受到外加作用后，系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程稱瞬態(tài)響應(yīng)或者動(dòng)態(tài)響應(yīng)或稱過(guò)渡過(guò)程。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是系統(tǒng)受到外加作用后，時(shí)間趨于無(wú)窮大時(shí)，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)或稱穩(wěn)態(tài)。(3)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線各局部反映系統(tǒng)哪些方面的性能答：時(shí)間響應(yīng)由瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)兩局部組成。瞬態(tài)響應(yīng)反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性，相對(duì)穩(wěn)定性及響應(yīng)的快速性；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)反映系統(tǒng)的準(zhǔn)確性或穩(wěn)態(tài)誤差。(4)時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)有哪些它們反映系統(tǒng)哪些方面的性能答：延遲時(shí)間；上升時(shí)間；峰值時(shí)間；調(diào)節(jié)時(shí)間；最大超調(diào)量.,,,反映系統(tǒng)的快速性，即靈敏度，反映系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。3-6設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：特征方程符號(hào)一樣，又不缺項(xiàng)，故滿足穩(wěn)定的必要條件。列勞斯表判別。由于第一列各數(shù)均為正數(shù)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。也可將特征方程式因式分解為根均有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)穩(wěn)定。3-7設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為解：列勞斯表將特征方程式因式分解為根為系統(tǒng)等幅振蕩，所以系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。3-8單位反響系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試求k的穩(wěn)定范圍。解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程：列勞斯表系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件K>00.35-0.025K>0得K<14所以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，K的取值范圍為0<K<14。3-9(1)系統(tǒng)的穩(wěn)定性定義是什么答：系統(tǒng)受到外界擾動(dòng)作用后，其輸出偏離平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間，假設(shè)系統(tǒng)又恢復(fù)到原平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之系統(tǒng)不穩(wěn)定。(2)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是什么答：系統(tǒng)的全部特征根都具有負(fù)實(shí)部，或系統(tǒng)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)均位于[S]平面的左半部。(3)誤差及穩(wěn)態(tài)誤差的定義是什么答：輸出端定義誤差e(t)：希望輸出與實(shí)際輸出之差。輸入端定義誤差e(t)；輸入與主反響信號(hào)之差。穩(wěn)態(tài)誤差，誤差函數(shù)e(t)，當(dāng)t→∞時(shí)的誤差值稱為穩(wěn)態(tài)誤差,即3-10單位反響隨動(dòng)系統(tǒng)如圖3所示。假設(shè)，。試求：〔1〕典型二階系統(tǒng)的特征參數(shù)和；〔2〕暫態(tài)特性指標(biāo)和；〔3〕欲使，當(dāng)不變時(shí)，應(yīng)取何值。圖3隨動(dòng)系統(tǒng)構(gòu)造圖解：由系統(tǒng)構(gòu)造圖可求出閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為與典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)對(duì)比得、值，由上式可得于是，可為使，由公式可求得，即應(yīng)使由0.25增大到0.5，此時(shí)即值應(yīng)減小4倍。3-11控制系統(tǒng)框圖如圖4所示。要求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量，且峰值時(shí)間。試確定與的值，并計(jì)算在此情況下系統(tǒng)上升時(shí)間和調(diào)整時(shí)間。圖4控制系統(tǒng)框圖解：由圖可得控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的特征方程為。所以由題設(shè)條件：，可解得，進(jìn)而求得在此情況下系統(tǒng)上升時(shí)間調(diào)整時(shí)間3-12設(shè)系統(tǒng)的特征方程式分別為1．2．3．試用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解題的關(guān)鍵是若何正確列出勞斯表，然后利用勞斯表第一列系數(shù)判斷穩(wěn)定性。1．列勞斯表如下s4135s324s215s1-6s05勞斯表中第一列系數(shù)中出現(xiàn)負(fù)數(shù)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定；又由于第一列系數(shù)的符號(hào)改變兩次，1→-6→5，所以系統(tǒng)有兩個(gè)根在s平面的右半平面。2．列勞斯表如下s4111s322s20(ε)1s12-2/εs01由于ε是很小的正數(shù)，ε行第一列元素就是一個(gè)絕對(duì)值很大的負(fù)數(shù)。整個(gè)勞斯表中第一列元素符號(hào)共改變兩次，所以系統(tǒng)有兩個(gè)位于右半s平面的根。3．列勞斯表如下s5132s4132s300由上表可以看出，s3行的各項(xiàng)全部為零。為了求出s3各行的元素，將s4行的各行組成輔助方程式為A(s)=s4+3s2+2s0將輔助方程式A(s)對(duì)s求導(dǎo)數(shù)得用上式中的各項(xiàng)系數(shù)作為s3行的系數(shù)，并計(jì)算以下各行的系數(shù)，得勞斯表為s5132s4132s346s23/22s12/3s02從上表的第一列系數(shù)可以看出，各行符號(hào)沒(méi)有改變，說(shuō)明系統(tǒng)沒(méi)有特征根在s右半平面。但由于輔助方程式A(s)=s4+3s2+2=〔s2+1〕〔s2+2〕=0可解得系統(tǒng)有兩對(duì)共軛虛根s1,2=±j，s3,4=±j2，因而系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。3-13系統(tǒng)構(gòu)造圖如圖5所示，試確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。解：解題的關(guān)鍵是由系統(tǒng)構(gòu)造圖正確求出系統(tǒng)的特征方程式，然后再用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的值范圍。圖5控制系統(tǒng)構(gòu)造圖閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為其閉環(huán)特征方程式為s3+3s2+2s+=0列勞斯表為：s312s23s1(6-)/3s0為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使勞斯表中第一列系數(shù)全大于零，即和，因此，的取值范圍為，并且系統(tǒng)臨界穩(wěn)定放大系數(shù)為=6。3-14單位反響控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)如下?！?〕〔2〕試求：1．靜態(tài)位置誤差系數(shù)、靜態(tài)速度誤差系數(shù)和靜態(tài)加速度誤差系數(shù)；2．求當(dāng)輸入信號(hào)為時(shí)的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解：〔1〕首先判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為其閉環(huán)特征方程為。由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)為Ⅰ型，可以求得靜態(tài)誤差為：所以給定輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算如下：(2)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為其閉環(huán)特征方程為。由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)為Ⅱ型，可以求得靜態(tài)誤差為：所以給定輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算如下：注意：該例中假設(shè)取，則由勞斯判據(jù)可知系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。因此不能定義靜態(tài)誤差系數(shù)，也談不上求穩(wěn)態(tài)誤差。第四章4-1．單位反響系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的概略根軌跡。解：按下述步驟繪制概略根軌跡系統(tǒng)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)為，開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)為。實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為。根軌跡的漸近線條數(shù)為，漸近線的傾角為，漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)為確定別離點(diǎn)。別離點(diǎn)方程為，用試探法求得。閉環(huán)系統(tǒng)概略根軌跡如以以下列圖1圖14-2．設(shè)某負(fù)反響系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，試?yán)L制該系統(tǒng)的根軌跡圖。解：漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)漸近線與實(shí)軸正方向的夾角為。別離點(diǎn)與集合點(diǎn)：由得所以，。根軌跡如以以下列圖2圖24-3．以知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡。解：〔1〕系統(tǒng)無(wú)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)有四個(gè)，分別為0，-4，〔2〕實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為。〔3〕漸近線有四條。〔4〕根軌跡的起始角。復(fù)數(shù)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)〔5〕確定根軌跡的別離點(diǎn)。由別離點(diǎn)方程解得，皆為根軌跡的別離點(diǎn)。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為列寫(xiě)勞斯表，可以求出當(dāng)K=260時(shí)，勞斯表出現(xiàn)全零行，輔助方程為。解得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。如以以下列圖3圖34-4．單位反響控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，k的變換范圍為，試?yán)L制系統(tǒng)根軌跡。解：分析知道，應(yīng)繪制零度根軌跡。按照零度根軌跡的基本法則確定根軌跡的參數(shù)：〔1〕系統(tǒng)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)為1，開(kāi)環(huán)有限極點(diǎn)為0，-2?！?〕實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為?！?〕漸近線有一條〔4〕確定根軌跡的別離點(diǎn)，由別離點(diǎn)的方程，解得確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為。當(dāng)k=-2時(shí)，閉環(huán)特征方程的根為。如以以下列圖4：圖44-5．以知單位反響系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，a的變化范圍為，試?yán)L制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡。解：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為即有。等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，，變化范圍為。等效系統(tǒng)無(wú)開(kāi)環(huán)有限零點(diǎn)，開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為根軌跡有三條漸近線根軌跡的別離點(diǎn)方程，解得。確定根軌跡與虛軸的交點(diǎn)。由勞斯表，可以求出當(dāng)a=1時(shí)，勞斯表出現(xiàn)全零行，輔助方程為。解得。如以以下列圖5圖54-6.設(shè)單位反響控制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)，