2024-2025版高中數(shù)學(xué)第三章不等式3.3.1.2二元一次不等式組表示的平面區(qū)域?qū)W案新人教A版必修5

PAGE第2課時二元一次不等式組表示的平面區(qū)域?qū)W習(xí)目標(biāo)1.能畫出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域.(直觀想象、邏輯推理)2.能寫出平面區(qū)域表示的二元一次不等式組.(直觀想象、邏輯推理)3.用二元一次不等式組表示平面區(qū)域解決簡潔的實(shí)際問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模)必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.上一節(jié)學(xué)習(xí)了二元一次不等式,那么什么是二元一次不等式組?2.二元一次不等式組表示的平面區(qū)域如何表示?如何確定?1.二元一次不等式組的有關(guān)概念(1)定義:由幾個二元一次不等式組成的不等式組.(2)解集:全部滿意二元一次不等式組的x和y的取值構(gòu)成的有序數(shù)對(x,y)構(gòu)成的集合.2.二元一次不等式組表示的平面區(qū)域各個不等式表示的平面區(qū)域的交集,即各個不等式表示的平面區(qū)域的公共部分.二元一次不等式組的解與所表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的關(guān)系是什么?提示:以不等式組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在平面區(qū)域內(nèi);平面區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)都是不等式組的解.不等式組的解與區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng).1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”).(1)二元一次不等式組中的不等式必需是二元一次不等式.()(2)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域都是封閉的區(qū)域.()(3)點(diǎn)(1,1)不在不等式(x+y-1)(x+y+1)>0表示的區(qū)域內(nèi).()提示:(1)×.也可以有一元一次不等式.(2)×.也可以是半封閉的區(qū)域.(3)×.因?yàn)?1+1-1)(1+1+1)>0成立,故點(diǎn)在不等式表示的區(qū)域內(nèi).2.下面給出的四個點(diǎn)中,位于QUOTE表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)是()A.(0,2) B.(-2,0)C.(0,-2) D.(2,0)【解析】選C.驗(yàn)證法,把四個點(diǎn)分別代入不等式組進(jìn)行驗(yàn)證知,只有(0,-2)在平面區(qū)域內(nèi).3.(教材二次開發(fā):例題改編)不等式組QUOTE,表示的平面區(qū)域是()【解析】選B.因?yàn)椴坏仁浇MQUOTE,可以取(0,0),在不等式的區(qū)域內(nèi),故A、C、D錯誤;B正確.關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)類型一二元一次不等式組表示的平面區(qū)域(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模)1.不等式組QUOTE表示的平面區(qū)域?yàn)?)【解析】選B.因?yàn)椴坏仁絰<2y,表示直線x=2y的上半部分.y<-3x+12,表示直線y=-3x+12的下半部分,依據(jù)二元一次不等式組表示平面區(qū)域,得到不等式組的對應(yīng)區(qū)域的圖象為:2.在平面直角坐標(biāo)系中,滿意不等式x2-y2≥0的點(diǎn)(x,y)組成的圖形(用陰影部分來表示)是()【解析】選B.由x2-y2≥0,得(x+y)(x-y)≥0,即QUOTE或QUOTE畫出圖形如圖所示.3.(1)畫出不等式組QUOTE表示的平面區(qū)域.(2)畫出不等式組QUOTE表示的平面區(qū)域.【解析】(1)不等式x+y≤5表示直線x+y-5=0及左下方的區(qū)域.不等式x-2y>3表示直線x-2y-3=0右下方的區(qū)域.不等式x+2y≥0表示直線x+2y=0及右上方的區(qū)域.所以不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.(2)不等式x-y-1<0表示直線x-y-1=0左上方的平面區(qū)域.畫出直線2x-y-3=0(實(shí)線),不等式2x-y-3≥0表示直線2x-y-3=0及右下方的平面區(qū)域.所以不等式組QUOTE表示的平面區(qū)域是如圖所示的陰影部分.畫平面區(qū)域的三步驟(1)畫線——畫出不等式對應(yīng)的方程所表示的直線;(2)定側(cè)——將某個區(qū)域位置明顯的特別點(diǎn)的坐標(biāo)代入不等式,依據(jù)“同側(cè)同號、異側(cè)異號”的規(guī)律,確定不等式所表示的平面區(qū)域在直線的哪一側(cè);(3)求“交”——假如平面區(qū)域是由不等式組確定的,則在確定了各個不等式所表示的區(qū)域后,再求這些區(qū)域的公共部分,這個公共部分就是不等式組所表示的平面區(qū)域.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.不等式組QUOTE表示的平面區(qū)域是()【解析】選B.x-2y+4≥0表示在直線x-2y+4=0的下方及直線上,x-y+2<0,表示在直線x-y+2=0的上方,則對應(yīng)的區(qū)域?yàn)锽.2.畫出不等式組QUOTE表示的平面區(qū)域.【解析】不等式x-y<2表示直線x-y=2左上方的區(qū)域;不等式2x+y≥1表示直線2x+y=1及其右上方的區(qū)域;不等式x+y<2表示直線x+y=2左下方的區(qū)域,故不等式組表示的區(qū)域如圖所示.類型二已知平面區(qū)域求不等式組(直觀想象、邏輯推理)【典例】如圖,平面區(qū)域(陰影部分)對應(yīng)的不等式組是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【思路導(dǎo)引】先求出直線方程,再推斷不等號的方向.【解析】選A.經(jīng)過(2,0),(0,2)點(diǎn)的直線方程為QUOTE+QUOTE=1,即x+y-2=0,經(jīng)過(2,0),(0,-2)點(diǎn)的直線方程為QUOTE-QUOTE=1,即x-y-2=0,經(jīng)過(-1,0),(0,2)點(diǎn)的直線方程為-x+QUOTE=1,即2x-y+2=0,則陰影部分在x+y-2=0的下方,即對應(yīng)不等式為x+y-2≤0,陰影部分在2x-y+2=0的下方,即對應(yīng)不等式為2x-y+2≥0,陰影部分在x-y-2=0的上方,即對應(yīng)不等式為x-y-2≤0,即對應(yīng)不等式組為QUOTE.依據(jù)平面區(qū)域求不等式組四步驟(1)求直線:依據(jù)區(qū)域邊界上的點(diǎn)求出邊界的直線方程;(2)定方向:取區(qū)域內(nèi)的特別點(diǎn),代入直線方程的左側(cè),計(jì)算所得的值為正,則為“>”,否則為“<”;(3)定等號:依據(jù)區(qū)域的邊界的虛實(shí)確定不等號是否含有等號;(4)寫結(jié)論:將各個不等式聯(lián)立成不等式組.1.視察如圖區(qū)域,它對應(yīng)的不等式組是.

【解析】由圖可求三邊對應(yīng)的直線方程分別為x+y-3=0;x-2y=0;x-y+1=0,由圖知不等式組為QUOTE答案:QUOTE2.表示圖中陰影部分所示平面區(qū)域的不等式組是.

【解析】由題圖易知,點(diǎn)(3,1)在相應(yīng)的平面區(qū)域內(nèi),將點(diǎn)(3,1)的坐標(biāo)分別代入3x+2y-6、2x-3y-6、2x+3y-12中,分別使得3x+2y-6>0、2x-3y-6<0、2x+3y-12<0,留意到包括各邊界,故題圖中陰影部分所示平面區(qū)域的不等式組是QUOTE答案:QUOTE類型三二元一次不等式組表示平面區(qū)域的應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1求平面區(qū)域的面積

【典例】不等式組QUOTE所表示的平面區(qū)域的面積為()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【思路導(dǎo)引】畫出約束條件表示的可行域,求出交點(diǎn)坐標(biāo),然后求出可行域的面積.【解析】選D.作出不等式組QUOTE所表示的平面區(qū)域,如圖所示的三角形ABC,由題意可得C(1,0),B(2,0),由QUOTE可得AQUOTE,QUOTE=QUOTE×1×QUOTE=QUOTE.1.(變條件)若將例題中的條件變?yōu)椤癚UOTE”求所表示區(qū)域的面積.【解析】如圖所示,其中的陰影部分便是不等式組所表示的平面區(qū)域.由QUOTE得A(1,3).同理得B(-1,1),C(3,-1).所以|AC|=QUOTE=2QUOTE,而點(diǎn)B到直線2x+y-5=0的距離為d=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE|AC|·d=QUOTE×2QUOTE×QUOTE=6.2.(變條件)若將例題中的條件變?yōu)椤癚UOTE”求所表示的平面區(qū)域的面積.【解析】可將原不等式組分解成如下兩個不等式組:①Q(mào)UOTE或②QUOTE上述兩個不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示,所圍成的面積S=QUOTE×4×2-QUOTE×2×1=3.角度2二元一次不等式組表示的平面區(qū)域與參數(shù)

【典例】若不等式組QUOTE表示的平面區(qū)域是一個三角形,則a的取值范圍是()A.a≥QUOTE B.0<a≤1C.1≤a≤QUOTE D.0<a≤1或a≥QUOTE【思路導(dǎo)引】先畫出不含參數(shù)a的不等式組QUOTE的平面區(qū)域,再依據(jù)直線x+y=a的平移確定參數(shù)a的取值范圍.【解析】選D.不等式組QUOTE表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分).由QUOTE得AQUOTE;由QUOTE得B(1,0).若原不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形,則直線x+y=a中的a的取值范圍是0<a≤1或a≥QUOTE.在平面直角坐標(biāo)系中,若不等式組QUOTE(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于2,則a的值為()A.-5 B.1 C.2 D.3【解析】選D.不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示,其中A(1,0),C(0,1),由QUOTE得QUOTEQUOTE=QUOTE|a+1|×1=QUOTE=2,得a=3或a=-5(舍).角度3二元一次不等式組在實(shí)際中的應(yīng)用

【典例】一工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的資源需求如下表:品種電力/千瓦時煤/噸工人/人甲235乙852該廠有工人200人,每天只能保證160千瓦時的用電額度,每天用煤不得超過150噸,請?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中畫出每天甲、乙兩種產(chǎn)品允許的產(chǎn)量范圍.【思路導(dǎo)引】若設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸,乙產(chǎn)品y噸,依據(jù)資源需求及條件限制,可用二元一次不等式組表示出來,然后畫出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域即可.【解析】設(shè)每天分別生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品x噸和y噸.生產(chǎn)x噸甲產(chǎn)品和y噸乙產(chǎn)品的用電量是(2x+8y)千瓦時,依據(jù)條件,有2x+8y≤160;用煤量為(3x+5y)噸,依據(jù)條件,有3x+5y≤150;須要工人數(shù)(5x+2y)人,依據(jù)條件,有5x+2y≤200;另外,還有x≥0,y≥0.綜上所述,x,y應(yīng)滿意不等式組QUOTE甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量范圍是不等式組表示的平面區(qū)域,即如圖所示的陰影部分(含邊界).1.關(guān)于不等式組表示的平面區(qū)域的面積首先作出平面區(qū)域,其次依據(jù)平面區(qū)域的形態(tài)確定面積的求法.經(jīng)常用到點(diǎn)到直線的距離求高,平面區(qū)域分割求和等方法.2.平面區(qū)域的參數(shù)問題是線性規(guī)劃問題中一類重要題型,在解題時,關(guān)鍵是正確地畫出平面區(qū)域,然后結(jié)合分類探討的思想,針對圖象分析滿意條件的參數(shù)的取值范圍.3.用平面區(qū)域來表示實(shí)際問題的基本方法(1)依據(jù)問題的須要選取兩個起關(guān)鍵作用的關(guān)聯(lián)較多的量,用字母表示.(2)把問題中有關(guān)的量用這兩個字母表示.(3)把實(shí)際問題中有關(guān)的限制條件用不等式表示出來.(4)把這些不等式所組成的不等式組用平面區(qū)域表示出來.易錯警示:易忽視實(shí)際問題中對未知數(shù)的要求,如為正數(shù)或正整數(shù)等.1.不等式組QUOTE表示的平面區(qū)域D的面積為.

【解析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:方法一:由QUOTE得QUOTE,即C(-1,-2),又B(1,0),A(0,1),所以S△ABC=QUOTE|AB|·|BC|=QUOTE×QUOTE×2QUOTE=2.方法二:當(dāng)y=0時,由y=3x+1=0得x=-QUOTE,即DQUOTE,則BD=QUOTE,由QUOTE得QUOTE,即C(-1,-2),則平面區(qū)域的面積S=S△ABD+S△CBD=QUOTE×QUOTE×1+QUOTE×QUOTE×2=2.答案:22.某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品,安排每種產(chǎn)品的生產(chǎn)量不少于15千克,已知生產(chǎn)A產(chǎn)品1千克要用煤9噸,電力4千瓦時,3個工作日;生產(chǎn)B產(chǎn)品1千克要用煤4噸,電力5千瓦時,10個工作日.現(xiàn)在工廠只有煤360噸,電力200千瓦時,300個工作日.設(shè)A、B產(chǎn)品分別生產(chǎn)x千克,y千克,列出滿意生產(chǎn)條件的不等式組,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域.【解析】滿意的不等式組為QUOTE,作出以上不等式組的可行域,如圖所示:【拓展延長】求區(qū)域面積或區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)的坐標(biāo)在應(yīng)用平面區(qū)域時,精確畫出不等式組表示的平面區(qū)域是解題的關(guān)鍵.(1)求區(qū)域面積時,要先確定好平面區(qū)域的形態(tài),留意與坐標(biāo)軸垂直的直線及區(qū)域端點(diǎn)的坐標(biāo),這樣易求底與高.必要時分割區(qū)域?yàn)樘貏e圖形.(2)整點(diǎn)是橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn),求整點(diǎn)坐標(biāo)時要留意虛線上的點(diǎn)和靠近直線的點(diǎn),以免出現(xiàn)錯誤.【拓展訓(xùn)練】已知不等式組QUOTE(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域;(2)求不等式組所表示的平面區(qū)域的面積;(3)求不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)坐標(biāo).【解析】(1)不等式4x+3y≤12表示直線4x+3y=12上及其左下方的點(diǎn)的集合;x>0表示直線x=0右方的全部點(diǎn)的集合;y>0表示直線y=0上方的全部點(diǎn)的集合,故不等式組表示的平面區(qū)域如圖(1)所示.(2)如圖(1)所示,不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)橹苯侨切?其面積S=QUOTE×4×3=6.(3)當(dāng)x=1時,代入4x+3y≤12,得y≤QUOTE,所以整點(diǎn)為(1,2),(1,1).當(dāng)x=2時,代入4x+3y≤12,得y≤QUOTE,所以整點(diǎn)為(2,1).所以區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)共有3個,其坐標(biāo)分別為(1,1),(1,2),(2,1).如圖(2).【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.設(shè)x,y滿意QUOTE則平面區(qū)域中的整點(diǎn)的個數(shù)為.

【解析】不等式組QUOTE表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分,由QUOTE得QUOTE所以A(5,2),當(dāng)x=0時,整點(diǎn)個數(shù)有(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(0,6),(0,7),共7個;當(dāng)x=1時,整點(diǎn)個數(shù)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),共6個;當(dāng)x=2時,整點(diǎn)個數(shù)有(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),共5個;當(dāng)x=3時,整點(diǎn)個數(shù)有(3,2),(3,3),(3,4),共3個;當(dāng)x=4時,整點(diǎn)個數(shù)有(4,2),(4,3),共2個;當(dāng)x=5時,整點(diǎn)有(5,2),共1個,所以共有7+6+5+3+2+1=24(個).答案:242.設(shè)不等式組QUOTE表示的平面區(qū)域?yàn)镈,若指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn),則a的取值范圍是.

【解析】畫出不等式組QUOTE所表示的平面區(qū)域D,如圖中陰影部分所示.由QUOTE解得QUOTE所以A(2,9),當(dāng)指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,9)時,9=a2,又a>0且a≠1,所以a=3.由圖象可知,若指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn),則a的取值范圍是(1,3].答案:(1,3]3.向量=(1,0),=(1,1),O為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)P(x,y)滿意則點(diǎn)Q(x+y,y)構(gòu)成圖形的面積為.

【解析】因?yàn)閯狱c(diǎn)P(x,y),所以=(x,y),則·=x,·=x+y,因?yàn)樗訯UOTE設(shè)點(diǎn)Q(x+y,y)的坐標(biāo)為(a,b),則滿意QUOTE即QUOTE所以QUOTE作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖(陰影部分):則A(0,-1),C(2,1),D(2,2),則陰影部分的面積為1×2=2.答案:24.某工藝廠有銅絲5萬米,鐵絲9萬米,打算用這兩種材料編制成花籃和花盆出售,已知一只花籃須要用銅絲200米,鐵絲300米;編制一只花盆須要銅絲100米,鐵絲300米,該廠打算用這些原料編制x個花籃,y個花盆.試列出x,y滿意的關(guān)系式,并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域.【解析】由已知,得x,y滿意的關(guān)系式為即QUOTE,該二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分中的整點(diǎn)所示:課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.設(shè)不等式組QUOTE所表示的平面區(qū)域是W,則下列各點(diǎn)在區(qū)域W內(nèi)的是()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.依據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):對于A、QUOTE不滿意y≥0,不符合題意;對于B、QUOTE不滿意x-y≥0,不符合題意;對于C、QUOTE不滿意y≥0,不符合題意;對于D、QUOTE,有x=QUOTE,y=QUOTE,滿意QUOTE,符合題意.2.(教材二次開發(fā):習(xí)題改編)不等式組QUOTE所表示的平面區(qū)域大致為哪一個()【解析】選C.依據(jù)題意,不等式組QUOTE中,x+2y+4≤0表示直線x+2y+4=0及直線下方的區(qū)域,x-y+1≤0表示直線x-y+1=0及直線上