江蘇省南京市秦淮區(qū)2024-2025學年八年級上學期期中考試數學試卷

2024-2025學年江蘇省南京市秦淮區(qū)八年級（上）期中數學試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．（2分）如圖是2024年巴黎奧運會和殘奧會的吉祥物“弗里熱”，它的座右銘是“獨行快，眾行遠”，下列與該圖片是全等的是（）A． B． C． D．2．（2分）一艘輪船以3海里/時的速度從港口A出發(fā)向北航行，另一艘輪船以4海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東航行，離開港口1小時，兩船相距（）A．3海里 B．4海里 C．5海里 D．10海里3．（2分）如圖，點C，F在BE上，且△ABC≌△DEF，若BC＝5，CE＝3，則FC的長為（）A．2 B．2.5 C．3 D．44．（2分）如圖，為了讓電線桿垂直于地面，工程人員的操作方法是：從電線桿DE上一點A往地面拉兩條長度相等的固定繩AB和AC，當點B、E、C在同一直線上且固定點B、C到桿腳E的距離相等時，電線桿DE就垂直于BC，工程人員這種操作方法的依據是（）A．等邊對等角 B．垂線段最短 C．線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等 D．等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合5．（2分）如圖，△ABC的邊AB＝10，BC＝12，O是△ABC三條角平分線的交點，若△ABO的面積為15，則△BCO的面積為（）A．11 B．17 C．18 D．206．（2分）如圖，AD、CF分別是△ABC的高和角平分線，AD與CF相交于G，AE平分∠CAD交BC于E，交CF于M，連接BM交AD于H，且BM⊥AE．有下列結論：①∠AMC＝135°；②△AMH≌△BME；③AH+CE＝AC；④BM+MH＝BC．其中，正確的結論是（）A．①③ B．①②③ C．②④ D．①②③④二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卷相應位置上）7．（2分）等腰三角形的頂角為80°，則底角等于．8．（2分）如圖，已知AB∥DE，AB＝DE，請你添加一個條件，使△ABC≌△DEF．9．（2分）如圖是用尺規(guī)作已知角的平分線的示意圖，則△ADF≌△ADE的依據是．10．（2分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，DE⊥AB于E．若BC＝5，DE＝2，則DB的長為．11．（2分）如圖，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BD、CD分別平分∠ABC、∠ACB，過點D作直線平行于BC，交AB、AC于E、F，則△AEF的周長為．12．（2分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，若∠A＝30°，則BD與BA之間的數量關系為．13．（2分）如圖，將三角形紙片ABC沿AD折疊，使點C落在BD邊上的點E處，BC＝9，CD＝4，則AB2﹣AC2的值為．14．（2分）我國數學家趙爽利用一幅“弦圖”，證明了勾股定理，后人稱該圖為“趙爽弦圖”，如圖，“趙爽弦圖”是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案．如果該大正方形面積為81，小正方形面積為9，用x，y表示直角三角形的兩直角邊（x＞y），下列四個推斷：①x2+y2＝81；②x﹣y＝3；③xy＝36；④x+y＝13．其中所有正確推斷的序號是．15．（2分）如圖，M，N是∠AOB的邊OA上的兩個點（OM＜ON），∠AOB＝30°，OM＝a，MN＝3，若邊OB上有且只有1個點P，滿足△PMN是等腰三角形，則a的取值范圍是．16．（2分）如圖，長方形ABCD中，AB＝9，BC＝4，G是AD的中點，線段EF在邊AB上左右滑動，若EF＝1，則GE+CF的最小值為．三、解答題（本大題共10小題，共68分．請在答題卷指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、說理過程或演算步驟）17．（5分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是高．求證：△ADB≌△ADC．18．（6分）如圖，點C是線段AB的中點，AD＝BE，∠A＝∠B．求證：∠D＝∠E．19．（5分）如圖，在正方形網格上有一個△ABC，A、B、C三點都在格點上．（1）在圖中畫出△ABC關于直線MN的對稱圖形△A1B1C1；（要求點A與A1，B與B1，C與C1相對應）；（2）線段BC與線段B1C1的數量關系為．20．（6分）如圖，在一塊三角形土地上，準備規(guī)劃出圖中陰影部分作為綠地，若規(guī)劃圖設計中要求∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，BC＝12，AB＝13，求綠地的面積．21．（6分）如圖，在銳角△ABC中，點E是AB邊上一點，BE＝CE，AD⊥BC于點D，AD與EC交于點G．判斷△AEG的形狀并說明理由．22．（6分）如圖，AD是△ABC的中線，延長AD至點E，使ED＝AD，連接CE．（1）證明：△ABD≌△ECD；（2）若AB＝8，AC＝4，設AD＝x，可得x的取值范圍是．23．（6分）如圖，在一條筆直的馬路EF同側有A，B兩個小區(qū)，A小區(qū)到馬路的垂直距離AC為10千米，B小區(qū)到馬路的垂直距離BD為2千米，CD的長度為15千米．（1）求A，B小區(qū)之間的距離；（2）現要在線段CD上修建一個車站P，使得車站P到A，B兩小區(qū)的距離相等，請用無刻度的直尺和圓規(guī)在圖中確定車站P的位置．（保留作圖痕跡，不寫畫法）24．（9分）定義：如果一個三角形中有兩個內角α、β滿足α+2β＝90°，那我們稱這個三角形為“近直角三角形”．（1）若△ABC是近直角三角形，∠B＞90°，∠C＝60°，則∠A＝．（2）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，若CD是∠ACB的平分線．①求證：△BDC為近直角三角形；②求BD的長．25．（8分）閱讀材料：如圖，△ABC中，AB＝AC，P為底邊BC上任意一點，點P到兩腰的距離分別為r1，r2，腰上的高為h，連接AP，則S△ABP+S△ACP＝S△ABC，即：AB?r1+AC?r2＝AB?h，∴r1+r2＝h（定值），即PE+PF為定值．（1）深入探究將“在△ABC中，AB＝AC，P為BC上一點”改成“P為等邊三角形ABC內一點”，作PE⊥AB，PF⊥AC，PM﹣⊥BC，BG⊥AC，垂足分別為E、F、M、G，有類似結論嗎？請寫出結論并證明；（2）理解與應用當點P在△ABC外，（1）結論是否成立？若成立，請予以證明；若不成立，PE、PF、PM和BG之間又有怎樣的關系，并說明理由．26．（11分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，∠CBE＝45°．BE分別交AC、AD于E、F．（1）如圖1，AB＝13，BC＝10，求AF的長度；（2）如圖2，取BF中點G，若BF2+EF2＝CG2，求證：AF＝BC；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點D作DN⊥AC于點N，請直接寫出的值．

2024-2025學年江蘇省南京市秦淮區(qū)八年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1．【分析】能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，由此即可判斷．【解答】解：A、B、C中的圖片與題目中的圖片都不是全等形，故A、B、C不符合題意；D、圖片與題目中的圖片是全等形，故D符合題意．故選：D．【點評】本題考查全等圖形，關鍵是掌握全等形的定義．2．【分析】根據方位角可知兩船所走的方向正好構成了直角，然后根據路程＝速度×時間，得兩條船分別走了3海里，4海里，再根據勾股定理，即可求得兩條船之間的距離．【解答】解：如圖，設輪船向東北方向航行到B，向東南方向航行到C，由題意得，AB＝3×1＝3（海里），AC＝4×1＝4（海里），∠BAC＝90°，∴BC＝＝5（海里），∴離開港口1小時后，則兩船相距5海里，故選：C．【點評】本題主要考查了勾股定理的實際應用，正確理解題意，掌握勾股定理是解題的關鍵．3．【分析】由全等三角形的對應邊相等推出EF＝BC＝5，即可求出FC＝EF﹣CE＝2．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝5，∵CE＝3，∴FC＝EF﹣CE＝2．故選：A．【點評】本題考查全等三角形的性質，關鍵是掌握全等三角形的對應邊相等．4．【分析】利用等腰三角形的三線合一的性質證明即可．【解答】解：∵AB＝AC，BE＝EC，∴AE⊥BC（等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合）．故選：D．【點評】本題考查等腰三角形的性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．5．【分析】由角平分線的性質可得，點O到AB，BC，AC的距離相等，則△AOB、△BOC、△AOC面積的比實際為AB，BC，AC三邊的比．【解答】解：∵點O是三條角平分線的交點，∴點O到BC，AB的距離相等，∴△BOC的面積：△AOB面積＝BC：AB＝12：10＝6：5．∵△ABO的面積為15，∴△BCO的面積為18．故選：C．【點評】此題主要考查角平分線的性質，解題的關鍵是理解角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．6．【分析】根據AD是△ABC的高，∠DAC+∠DCA＝90°，結合CF是△ABC的角平分線，AE平分∠CAD，得到MAC+∠MCA＝∠DAC+∠DCA＝45°，即可得到∠AMC＝135°，判斷①正確；先證明再證明即可，可判定②正確；根據△CMA≌△CMB（AAS）得到AC＝BC，結合得到AH＝BE，結合CE+BE＝BC，等量代換即可得到AH+CE＝AC，可判定③正確；延長BM交AC于點N，得到∠BNC＝90°+∠MAN，得到BC＞BN，可以判斷④錯誤，解答即可．【解答】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC+∠DCA＝90°，∵CF是△ABC的角平分線，AE平分∠CAD，∴∠MAC+∠MCA＝∠DAC+∠DCA＝45°，∴∠AMC＝180°﹣（∠MAC+∠MCA）＝135°，故①正確，符合題意；∵AD是△ABC的高，BM⊥AE，∴∠ADC＝∠AMB＝90°，∵∠AHM＝∠BHD，∴∠CBM＝∠HAM，∵AE平分∠CAD，CF是△ABC的角平分線，∴∠CAM＝∠HAM，∠ACM＝∠BCM，∴∠CAM＝∠CBM，在△CMA△和CMB中，，∴△CMA≌△CMB（AAS），∴MA＝MB，在△AMH和△BME中，，∴△AMH≌△BME（ASA），故②正確，符合題意；∵△CMA≌△CMB（AAS），∴AC＝BC，∵△AMH≌△BME，∴AH＝BE，∵CE+BE＝BC，∴AH+CE＝BC，∴AH+CE＝AC，故③正確，符合題意；延長BM交AC于點N，在△AMH≌△AMN，，∴△AMH≌△AMN（ASA），∴MH＝MN，∴BH+2MH＝BH+MH+MN＝BN，∵∠BNC＝90°+∠MAN，是鈍角，∴∠BNC＞∠BCN，∴BC＞BN，故BM+MH＝BC不成立，故④錯誤，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了三角形全等的判定和性質，角平分線的定義，三角形角平分線、中線和高，熟練掌握三角形全等的判定和性質，直角三角形的特征量，三角形內角和定理是解題的關鍵．二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卷相應位置上）7．【分析】因為等腰三角形的兩個底角的度數相等，再依據三角形的內角和是180度，即可分別求出三角形的底角的度數．【解答】解：（180°﹣80°）÷2＝100°÷2＝50°．故答案為：50°．【點評】考查了等腰三角形的性質，解答此題的主要依據是：等腰三角形的特點以及三角形的內角和定理．8．【分析】添加條件：∠A＝∠D，根據ASA即可證明△ABC≌△DEF．【解答】解：添加條件：∠A＝∠D．∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案為：∠A＝∠D．（答案不唯一）【點評】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．9．【分析】由作圖可知，AE＝AF，DE＝DF，結合全等三角形的判定可得△ADF≌△ADE（SSS），即可得出答案．【解答】解：由作圖可知，AE＝AF，DE＝DF，∵AD＝AD，∴△ADF≌△ADE（SSS），∴△ADF≌△ADE的依據是SSS．故答案為：SSS．【點評】本題考查作圖—基本作圖、全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解答本題的關鍵．10．【分析】根據角平分線的性質即可得到結論．【解答】解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，∴CD＝DE＝2，∵BC＝5，∴BD＝BC﹣CD＝5﹣2＝3，故答案為：3．【點評】本題考查了角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵．11．【分析】根據平行線的性質得到∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，根據角平分線的性質得到∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，等量代換得到∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，于是得到ED＝EB，FD＝FC，即可得到結果．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點D，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，∴ED＝EB，FD＝FC，∵AB＝7，AC＝8，∴△AEF的周長為：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝7+8＝15．故答案為：15．【點評】此題考查了等腰三角形的判定與性質．此題難度適中，注意證得△BDE與△CDF是等腰三角形是解此題的關鍵．12．【分析】由△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°可以推出AB＝2BC，同理可得BC＝2BD，則結論即可證明．【解答】解：AB＝4BD．理由是：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∠B＝60°．又∵CD⊥AB，∴∠DCB＝30°，∴BC＝2BD．∴AB＝2BC＝4BD．【點評】本題考查了直角三角形的性質：30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半．13．【分析】由折疊得∠ADE＝∠ADC，且∠ADE+∠ADC＝180°，求得∠ADE＝∠ADC＝90°，由BC＝9，CD＝4，求得BD＝5，則AB2＝BD2+AD2＝25+AD2，AC2＝CD2+AD2＝16+AD2，所以AB2﹣AC2＝9，于是得到問題的答案．【解答】解：∵將△ABC沿AD折疊，點C落在BD邊上的點E處，∴∠ADE＝∠ADC，且∠ADE+∠ADC＝180°，∴2∠ADC＝180°，∴∠ADE＝∠ADC＝90°，∵BC＝9，CD＝4，∴BD＝BC﹣CD＝9﹣4＝5，∴AB2＝BD2+AD2＝52+AD2＝25+AD2，AC2＝CD2+AD2＝42+AD2＝16+AD2，∴AB2﹣AC2＝25+AD2﹣（16+AD2）＝9，故答案為：9．【點評】此題重點考查翻折變換的性質、勾股定理等知識，證明∠ADE＝∠ADC＝90°是解題的關鍵．14．【分析】根據所給圖形，用含x和y的代數式分別表示出圖中各部分圖形的面積，再結合各部分圖形面積之間的關系即可解決問題．【解答】解：由題知，因為大正方形的面積為81，所以大正方形的邊長為9，則由勾股定理得，x2+y2＝81．故①正確．因為小正方形的面積為9，所以小正方形的邊長為3，則x﹣y＝3．故②正確．由x﹣y＝3得，（x﹣y）2＝9．又因為x2+y2＝81，所以2xy＝x2+y2﹣（x﹣y）2＝72，所以xy＝36．故③正確．（x+y）2＝x2+y2+2xy＝81+72＝153，所以x+y＝（舍負）．故④錯誤．故答案為：①②③．【點評】本題主題考查了勾股定理的證明，熟知勾股定理是解題的關鍵．15．【分析】分兩種情況，①作線段MN的垂直平分線交OB于點P，連接PM，PN，過點M作MH⊥OB于點H，當MH＝MN時，a＝6，即可求出a的取值范圍；②當△PMN是等邊三角形時，根據等邊三角形的性質可得OM＝MP＝MN，求出a，即可確定a的取值范圍．【解答】解：①作線段MN的垂直平分線交OB于點P，連接PM，PN，如圖所示：則PM＝PN，此時△PMN是等腰三角形，過點M作MH⊥OB于點H，當MH＞MN，滿足條件的點P恰好只有一個，∵MN＝3，∠AOB＝30°，當MH＝3時，OM＝2MH＝6，∴當a＞6時，滿足條件的點P恰好只有一個，②當△PMN是等邊三角形時，滿足條件的點P恰好只有一個，此時MN＝MP，∠NMP＝60°，∵∠AOB＝30°，∴∠MPO＝30°，∴OM＝MP＝MN＝3，∴a＝3，綜上，滿足條件的a的取值范圍：a＝3或a＞6，故答案為：a＝3或a＞6．【點評】本題考查了等腰三角形的判定，理解題意以及數形結合是解題的關鍵．16．【分析】作G關于AB的對稱點G'，在CD上截取CH＝EF＝1，連接HG'交AB于E，推出GE+CF的最小值為G'H的長，再求出G'H的長即可．【解答】解：如圖，作G關于AB的對稱點G'，在CD上截取CH＝EF＝1，連接HG'交AB于E，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD、AD＝BC＝4、DC＝AB＝9，∵CH＝EF＝1，CH∥EF，∴四邊形EFCH是平行四邊形，∴EH＝CF，∵G關于AB的對稱點是G'、G為邊AD的中點，∴GE＝G'E，AG＝AG′＝AD＝2，∴GE+CF＝G'E+EH＝G'H，∴GE+CF的最小值為G'H，∴DG'＝AD+AG'＝4+2＝6，DH＝DC﹣CH＝9﹣1＝8，由勾股定理得：HG′＝＝＝10，即GE+CF的最小值為10．故答案為：10．【點評】本題考查軸對稱﹣最短路徑問題，矩形的性質、平行四邊形的判定和性質和勾股定理的運用，解決本題的關鍵是正確的作出輔助線．三、解答題（本大題共10小題，共68分．請在答題卷指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、說理過程或演算步驟）17．【分析】先利用等腰三角形的性質可得∠B＝∠C，再根據垂直定義可得∠ADB＝∠ADC＝90°，然后利用AAS證明△ADB≌△ADC，即可解答．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（AAS）．【點評】本題考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性質，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．18．【分析】根據SAS證明△DAC≌△EBC即可得出結論．【解答】證明：∵點C是線段AB的中點，∴AC＝BC，在△DAC與△EBC中，，∴△DAC≌△EBC（SAS），∴∠D＝∠E．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟記全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．19．【分析】（1）根據軸對稱的性質作圖即可．（2）根據軸對稱的性質可得，BC＝B1C1．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）由題意得，線段BC與線段B1C1的數量關系為BC＝B1C1．故答案為：BC＝B1C1．【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，熟練掌握軸對稱的性質是解答本題的關鍵．20．【分析】先由勾股定理求出AC＝5，再由勾股定理的逆定理證出∠ADC＝90°，由三角形面積公式求解即可．【解答】證明：∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，∴AC＝＝5，∵BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝AB2＝169，∴∠ACB＝90°；∴綠地的面積＝AC×BC﹣AD×CD＝×5×12﹣×4×3＝24．【點評】本題考查了勾股定理的應用以及勾股定理的逆定理；熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題的關鍵．21．【分析】過點E作EF⊥BC交于點F，然后根據等腰三角形三線合一得出∠BEF＝∠CEF＝∠BEC，再根據EF∥AD，得出∠FEC＝∠DGC，得∠AGE＝∠EAG即可．【解答】解：△AEG是等腰三角形，理由如下：如圖，過點E作EF⊥BC交于點F，∵BE＝CE，EF⊥BC，∴∠BEF＝∠CEF＝∠BEC，∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD，∴∠FEC＝∠DGC，又∵∠DGC＝∠AGE，∴∠AGE＝∠FEC＝∠BEC，∴∠BEF＝∠AGE，∵EF∥AD，∴∠BEF＝∠BAD，即∠BEF＝∠EAG，∴∠AGE＝∠EAG，∴EA＝EG，∴△AEG是等腰三角形．【點評】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質以及平行線的性質，關鍵是對這些性質的掌握和運用．22．【分析】（1）由三角形中線的定義得到BD＝CD，再利用SAS即可證明△ABD≌△ECD；（2）由全等三角形的性質得到CE＝AB＝8，再由三角形三邊的關系可得8﹣4＜2x＜8+4，據此可得答案．【解答】（1）證明：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ECD，∴CE＝AB＝8，∵CE﹣AC＜AE＜AC+CE，∴8﹣4＜2x＜8+4，∴2＜x＜6，故答案為：2＜x＜6．【點評】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形三邊關系的應用，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題．23．【分析】（1）過點B作BG⊥AC于點G，則BG＝CD＝15千米，AG＝AC﹣CG＝AC﹣BD＝8千米，由勾股定理得AB＝，進而可得答案．（2）結合線段垂直平分線的性質，作線段AB的垂直平分線，交線段CD于點P，則點P即為所求．【解答】解：（1）過點B作BG⊥AC于點G，則BG＝CD＝15千米，AG＝AC﹣CG＝AC﹣BD＝10﹣2＝8（千米），由勾股定理得，AB＝＝＝17（千米），∴A，B小區(qū)之間的距離為17千米．（2）如圖，作線段AB的垂直平分線，交線段CD于點P，則點P即為所求．【點評】本題考查作圖—應用與設計作圖、線段垂直平分線的性質、勾股定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質、勾股定理是解答本題的關鍵．24．【分析】（1）∠B不可能是α或β，當∠A＝α時，∠C＝β＝60°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α，α+2β＝90°，則β＝15°；（2）①如圖1，設∠ACD＝∠DCB＝β，∠B＝α，則α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；②過點D作DM⊥BC于點M，證明Rt△ACD≌Rt△MCD（HL），得出AC＝CM＝8，由勾股定理可得出答案．【解答】解：（1）∠B不可能是α或β，當∠A＝α時，∠C＝β＝60°，α+2β＝90°，不成立；故∠A＝β，∠C＝α＝60°，α+2β＝90°，則β＝15°，故答案為：15°；（2）①△BDC是“近直角三角形”．理由：設∠ACD＝∠DCB＝β，∠B＝α，則α+2β＝90°，故△BDC是“近直角三角形”；②在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝＝10，如圖，過點D作DM⊥BC于點M，∵CD平分∠ACB，DM⊥BC，DA⊥CA，∴AD＝DM．在Rt△ACD和Rt△MCD中，，∴Rt△ACD≌Rt△MCD（HL）．∴AC＝CM＝8．∴BM＝AB﹣CM＝2．設AD＝DM＝x，在Rt△BDM中，DM＝x，BM＝2，DB＝6﹣x，∵DM2+BM2＝DB2，∴x2+22＝（6﹣x）2，∴x＝，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣＝．【點評】本題是三角形的綜合題，主要考查了直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，正確的理解“近直角三角形”是解題的關鍵．25．【分析】（1）連接PA、PB、PC，利用S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC計算即可；（2）連接PA、PB、PC，利用S△ABP+S△ACP﹣S△BCP＝S△ABC計算即可．【解答】解：（1）PE+PF+PM＝BG，理由如下：連接PA、PB、PC，則S△ABP+S△BCP+S△ACP＝S△ABC，∵等邊三角形ABC，∴AB＝AC＝BC，∵PE⊥AB，PF⊥AC，PM⊥BC，BG⊥AC，∴，∴，∴PE+PF+PM＝BG；（2）PE+PF﹣PM＝BG，理由如下：連接PA、PB、PC，則S△ABP+S△A