2023年高考數(shù)學(xué)沖刺押題模擬試卷01（新高考專用）

2023高考數(shù)學(xué)沖刺押題模擬試卷01（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1．已知集合，集合，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，可得，因?yàn)椋?，即，可得，取交集可得，故選：B.2．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）A．i B．1 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，故的虛部是，故選：D3．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋液瘮?shù)定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，排除C；，排除B；，排除D.故選：A.4．已知兩個(gè)非零向量的夾角為，且，則（）A． B． C． D．3【答案】C【解析】因?yàn)榉橇阆蛄康膴A角為，且，所以，即，化簡(jiǎn)得：，.故選：C.5．月23日，以“和合共生”為主題的2021世界移動(dòng)通信大會(huì)在上海召開(kāi)，中國(guó)規(guī)模商用實(shí)現(xiàn)了快速發(fā)展．為了更好地宣傳，某移動(dòng)通信公司安排五名工作人員到甲?乙?丙三個(gè)社區(qū)開(kāi)展宣傳活動(dòng)，每人只能去一個(gè)社區(qū)且每個(gè)社區(qū)至少安排一人，則不同的安排方法種數(shù)為（）A．180 B．150 C．120 D．80【答案】B【解析】先將五名工作人員分成三組，有兩種情況，分別為“”和“”，所以共有種不同的分法，再將這三組分給甲?乙?丙三個(gè)社區(qū)開(kāi)展宣傳活動(dòng)則不同的安排方法種數(shù)為，故選：B.6．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，則是中的（）A．第30項(xiàng) B．第36項(xiàng) C．第48項(xiàng) D．第60項(xiàng)【答案】A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，得①；由，得，即②．由①②解得，，所以，于是，而，故是中的第30項(xiàng)，故選：A．7．中國(guó)某些地方舉行婚禮時(shí)要在吉利方位放一張桌子，桌子上放一個(gè)裝滿糧食的升斗（如圖），斗面用紅紙糊住，斗內(nèi)再插一桿秤、一把尺子，寓意為糧食滿園、稱心如意、十全十美．如圖為一種婚慶升斗的規(guī)格，把該升斗看作一個(gè)正四棱臺(tái)，下底面邊長(zhǎng)為25cm，上底面邊長(zhǎng)為10cm，側(cè)棱長(zhǎng)為15cm，忽略其壁厚，則該升斗的容積約為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A． B． C． D．【答案】C【解析】上下底面對(duì)角線的長(zhǎng)度分別為，則高.上底面的面積，下底面的面積.則.故選：C8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為.點(diǎn)在上且位于第一象限，圓與線段的延長(zhǎng)線，線段以及軸均相切，的內(nèi)切圓為圓.若圓與圓外切，且圓與圓的面積之比為9，則的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知及平面幾何知識(shí)可得圓心、在的角平分線上.如圖，設(shè)圓、與軸的切點(diǎn)分別為，，由平面幾何知識(shí)可得，直線為兩圓的公切線，切點(diǎn)也在的角平分線上，所以，由橢圓的定義知，則，所以，所以，所以，.又圓與圓的面積之比為9，所以圓與圓的半徑之比為3，因?yàn)?，所以，即，整理得，故橢圓的離心率.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知復(fù)數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是（）A．若純虛數(shù)，則B．若為實(shí)數(shù)，則，C．若，則或D．若，則m的取值范圍是【答案】ABC【解析】對(duì)于A，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則，A正確；對(duì)于B，若為實(shí)數(shù)，則，則，，B正確；對(duì)于C，若，則，則，解得或，C正確；對(duì)于D，若，則，且，則，D錯(cuò)誤，故選：ABC10．已知，下列選項(xiàng)正確的是（）A．的值域?yàn)锽．的對(duì)稱中心為C．的單調(diào)遞增區(qū)間為和D．圖像向右平移個(gè)單位與的圖像重合【答案】ABD【解析】由題意可得：，對(duì)于A：因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)榈膶?duì)稱中心與函數(shù)的對(duì)稱中心相同，令，解得，故的對(duì)稱中心為，故B正確；對(duì)于C：若單調(diào)遞增，則單調(diào)遞減，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：圖像向右平移個(gè)單位，得到，與解析式相同，圖像重合，故D正確．故選：ABD.11．已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若四邊形為矩形且，則下列正確的是（）A． B．的漸近線方程為C．矩形的面積為 D．的斜率為【答案】AD【解析】不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，如圖，由題意可得：四邊形為平行四邊形，由雙曲線的定義可得：，則，對(duì)A：∵四邊形為矩形，則，A正確；對(duì)B：由選項(xiàng)A可得：，則，注意到雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則的漸近線方程為，B錯(cuò)誤；對(duì)C：矩形的面積為，C錯(cuò)誤；對(duì)D：可知：，則，且，可得，故，由雙曲線的對(duì)稱性可得：的斜率為，D正確；故選：AD.12．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，記，若，均為奇函數(shù)，則（）A． B． C． D．【答案】BD【解析】因?yàn)槎x域均為R的奇函數(shù)，所以，即，所以，即，所以，又為奇函數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，，即，，故B正確；又，所以，故，即函數(shù)的周期為2，所以，，即，故D正確；由為奇函數(shù)可知，即的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱，不妨取，則滿足周期為2，關(guān)于中心對(duì)稱條件，因?yàn)?，，，可知AC錯(cuò)誤.故選：BD第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13．已知為正數(shù)，的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1，則常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)__________.【答案】60【解析】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為1，且為正數(shù)，所以，則，故的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：60.14．已知，且，則的最小值為_(kāi)________.【答案】【解析】因?yàn)椋獾茫?，則當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，“=”成立故答案為：.15．過(guò)點(diǎn)且與圓：相切的直線方程為_(kāi)_________【答案】或【解析】將圓方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心，半徑為，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，直線方程為是圓的切線，滿足題意；當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程為，即，利用圓心到直線的距離等于半徑得，解得，即此直線方程為，故答案為：或．16．已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)函數(shù)的零點(diǎn)為，則，則點(diǎn)在直線上．因?yàn)榱泓c(diǎn)存在，則，即，令，，令，，當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，所以，的最小值為．故答案為：四、解答題：本小題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．已知數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）利用退一作商法，結(jié)合等差數(shù)列的知識(shí)證得數(shù)列是等差數(shù)列；（2）利用裂項(xiàng)求和法求得.【解析】（1）因?yàn)棰?，所以?dāng)時(shí)，②．因?yàn)?，所以由得，即．所以，即．由，得，所以，所以．所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）得，即，所以．所以．18．已知中，點(diǎn)在邊上，滿足，且，的面積與面積的比為．（1）求的值；（2）若，求邊上的高的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由得為的平分線，再根據(jù)正弦定理得，從而解得；（2）由已知及（1）可得，再由余弦定理求得的長(zhǎng)，最后根據(jù)求得結(jié)果.【解析】（1）∵，∴為的平分線，在與中，根據(jù)正弦定理可得：兩式相比可得：又的面積與面積的比為，∴，即，且，由得，∴且為銳角，∴．（2）由（1）知為銳角，且，因此，又，所以在中由余弦定理得，解得：，∵∴．19．如圖所示的幾何體為一個(gè)正四棱柱被兩個(gè)平面AEH與CFG所截后剩余部分，且滿足平面，，，.（1）當(dāng)BF多長(zhǎng)時(shí)，，證明你的結(jié)論：（2）當(dāng)時(shí)，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1），證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）作出輔助線，證明出，從而，由三角形相似得到對(duì)應(yīng)邊成比例，求出；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，在（1）的基礎(chǔ)上，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用空間向量求解二面角的余弦值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，.證明如下：將該幾何體補(bǔ)全為正四棱柱，連接BM，如下圖所示：由題意可知底面ABCD為正方形，則，且，因?yàn)槠矫鍭EH，，所以平面，又平面EFGH，平面平面，所以.又，所以H為GM的中點(diǎn)，所以E為MF的中點(diǎn).因?yàn)椋?，所以四邊形BCGM為平行四邊形，所以，因?yàn)椋?因?yàn)?，，所以，所以，所以，即，所?所以當(dāng)時(shí)，.（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DG所在直線為x軸?y軸?z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（1）得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，故平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則平面的法向量為∴，∵平面與平面所成角為銳角，∴平面與平面所成角的余弦值為.20．設(shè)是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，它們的一切可能取的值為，其中i，，令，稱是二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列．與一維的情形相似，我們也習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列寫(xiě)成下表形式：現(xiàn)有個(gè)相同的球等可能的放入編號(hào)為1，2，3的三個(gè)盒子中，記落下第1號(hào)盒子的球的個(gè)數(shù)為X，落入第2號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為（1）當(dāng)時(shí)，求的聯(lián)合分布列；（2）設(shè)，且，求【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意，由聯(lián)合分布列的定義，分別求得對(duì)應(yīng)概率即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布，然后由二項(xiàng)分布的期望計(jì)算公式即可得到結(jié)果.【解析】（1）由題意知，的可能取值為，的可能取值為則，，，，，，，所以的聯(lián)合分布列為:（2）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，設(shè)，則由二項(xiàng)分布的期望公式得.21．已知拋物線，為焦點(diǎn)，若圓與拋物線交于兩點(diǎn)，且（1）求拋物線的方程；（2）若點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)可以作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為.求證：恒為定值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)圓的弦長(zhǎng)求解，可得，代入拋物線方程即可求解，（2）令，寫(xiě)出點(diǎn)處的切線方程，與拋物線聯(lián)立，利用得到，同理得到，再寫(xiě)出直線方程，將其與拋物線聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，再結(jié)合拋物線定義即可證明.【解析】（1）由題意可知，半徑為，由圓的圓心以及拋物線的焦點(diǎn)均在在坐標(biāo)軸軸，故由對(duì)稱性可知：軸于點(diǎn)，在直角三角形中，,因此故，將其代入拋物線方程中得，故拋物線方程為：（2）令，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為,與聯(lián)立得①由相切得，代入①得故在點(diǎn)處的切線方程為，即為同理：點(diǎn)處的切線方程為，而兩切線交于點(diǎn)，所以有，則直線的方程為:，由得,所以于是，又點(diǎn)在圓上，所以,即.22．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，且，試比較與的大小．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)