第一章高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的總體構(gòu)想-GeoGebra高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究與應(yīng)用教程

概述

作為學(xué)生，大家肯定會(huì)常常思考：數(shù)學(xué)應(yīng)該怎樣學(xué)習(xí)效率高？怎樣學(xué)習(xí)內(nèi)化快？作為教師，我們也長(zhǎng)

期為這個(gè)問(wèn)題所困擾：教學(xué)中學(xué)生遇到了疑難，教師除了一遍又一遍的講解，還有什么辦法可以幫助他們

更快找到答案？對(duì)于其中的抽象問(wèn)題，還有什么途徑幫他們更好去掌握？

解決以上問(wèn)題的方法，可謂仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智，但有一點(diǎn)是相同的，那就是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，

構(gòu)造學(xué)生完善的知識(shí)體系是當(dāng)務(wù)之急.而構(gòu)造知識(shí)體系最重要的就是要學(xué)生真正理解知識(shí)、掌握知識(shí)，并

能靈活應(yīng)用知識(shí)，為達(dá)到這一點(diǎn)，就要求我們教學(xué)中力求讓學(xué)生不但知其然更知其所以然.所以面對(duì)這個(gè)

問(wèn)題我的答案是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)把知識(shí)變成看得見(jiàn)摸得著的東西，親手觸摸它，親身感受它，消

除它的神秘感和抽象感，然后駕馭它.

我在高中數(shù)學(xué)這一方“土地”摸爬滾打了26年，仍然對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)細(xì)節(jié)記憶猶新：上高中的時(shí)

候，三角函數(shù)中的“和差化積”與“積化和差''這8個(gè)公式我總是記不住，即使上了大學(xué)，這種情況仍然沒(méi)有改

觀(guān).可奇怪的是，經(jīng)過(guò)一輪授課后，這8個(gè)公式卻被我輕而易舉地記下來(lái)了.肯定不止我一個(gè)人有這樣的

體驗(yàn)，有些學(xué)習(xí)成績(jī)好的學(xué)生很愿意給其他同學(xué)講解題目，表面看來(lái)浪費(fèi)了自己不少時(shí)間，但事實(shí)上通過(guò)

講解，使自己對(duì)知識(shí)理解變得更加深刻，記得也更加牢固了.其實(shí)都是一個(gè)道理：我們親身經(jīng)歷了這些數(shù)

學(xué)知識(shí)的生成過(guò)程，親手觸摸過(guò)它的門(mén)道，清楚它的每一道“溝坎”.因?yàn)橛H歷，所以掌握牢固；因?yàn)橛|摸,

所以?xún)?nèi)化得更快.

那么，如何提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率？在數(shù)學(xué)教學(xué)中如何讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)形成過(guò)程？如何提高學(xué)生數(shù)學(xué)探究

能力和數(shù)學(xué)建模能力，給他們創(chuàng)造“觸摸”數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)？我認(rèn)為，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是切實(shí)行之有效的方法.何謂數(shù)學(xué)

實(shí)驗(yàn)？目前還沒(méi)有統(tǒng)一的明確界定，通常指的是“為獲得某種數(shù)學(xué)理論，檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)數(shù)學(xué)猜想，解決某類(lèi)數(shù)學(xué)

問(wèn)題，實(shí)驗(yàn)者運(yùn)用一定的物質(zhì)手段，在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的積極參與下，在典型的實(shí)驗(yàn)環(huán)境中或特定的實(shí)驗(yàn)條

件下所進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)實(shí)踐探索活動(dòng)可以預(yù)見(jiàn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的開(kāi)展將為學(xué)生提供觸摸數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)，促使學(xué)

生主動(dòng)融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)環(huán)節(jié)，有效地培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力，這是對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)手段的有益

補(bǔ)充.

正是基于這樣的認(rèn)知，筆者才提出基于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)創(chuàng)新.嘗試通過(guò)這本書(shū)，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供一

種有效的輔助手段，為教師的教學(xué)提供一種全新的教學(xué)模式，為讀者的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供一個(gè)全新的視角，給

廣大數(shù)學(xué)愛(ài)好者提供一種別樣的數(shù)學(xué)研究體驗(yàn).

第一章高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的總體構(gòu)想

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)兒乎貫穿了學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)生涯，其重要性不言而喻.隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)的

進(jìn)步，數(shù)學(xué)正在以更快的速度全方位地滲透到社會(huì)、科技、生活的方方面面.然而，我們發(fā)現(xiàn)，隨著學(xué)習(xí)

的深入，越來(lái)越多的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了厭倦、甚至害怕的心理，基礎(chǔ)差的學(xué)生就會(huì)常常覺(jué)得越來(lái)越力

不從心，從而導(dǎo)致數(shù)學(xué)成績(jī)“每況愈下”.一方面隨著學(xué)習(xí)內(nèi)容和知識(shí)難度的加深，數(shù)學(xué)逐漸從形象走向抽象，

更主要的原因是學(xué)生在課堂上被動(dòng)地接受知識(shí)，缺少對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)生成過(guò)程的親身體驗(yàn)，難以構(gòu)建完整的知

識(shí)和能力體系.這種情形在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中普遍存在，鑒于此種情況，創(chuàng)設(shè)高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室，為學(xué)生提供

與數(shù)學(xué)親密接觸的機(jī)會(huì)就顯得十分必要.

第1節(jié)高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的目標(biāo)與任務(wù)

高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的總體目標(biāo)就是服務(wù)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)數(shù)

學(xué)學(xué)習(xí)熱情.具體來(lái)說(shuō)，應(yīng)著眼于解決三大問(wèn)題，完成三大任務(wù).

1.讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的生成過(guò)程

隨著學(xué)習(xí)的深入，高中數(shù)學(xué)較為抽象的知識(shí)隨處可見(jiàn)，教師的講解可能較難讓學(xué)生對(duì)知識(shí)有較為透徹

的理解.較典型的如在研究二次函數(shù)的區(qū)間最值時(shí)，學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象的變化所引起的區(qū)間最值的改變，通

過(guò)直觀(guān)想象是較難掌握的，并且此種題型變化較多：可能對(duì)二次函數(shù)區(qū)間最值產(chǎn)生影響的，除了二次函數(shù)

圖象對(duì)稱(chēng)軸的位置，還有區(qū)間的位置及圖象的開(kāi)口方向等.因而，在教學(xué)中，給學(xué)生一個(gè)親身體驗(yàn)探究最

值變化過(guò)程的機(jī)會(huì)就顯得非常必要.學(xué)生通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐，對(duì)知識(shí)的生成過(guò)程將會(huì)有更加深入的認(rèn)識(shí)，這將

有利于降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，提高他們的學(xué)習(xí)興趣.又如在立體幾何學(xué)習(xí)的初始階段，學(xué)生普遍缺少空間

想象力，在三視圖的教學(xué)過(guò)程中，如果能夠給學(xué)生一些實(shí)物模型，讓他們動(dòng)手體驗(yàn)三個(gè)視圖的生成過(guò)程，

將加深他們對(duì)知識(shí)的理解.

2.讓學(xué)生學(xué)會(huì)探究

從教學(xué)的總體表現(xiàn)來(lái)看，高中學(xué)生具有一定的解決問(wèn)題能力，但提出問(wèn)題，并對(duì)問(wèn)題開(kāi)展自主探究的

能力較弱.大力提高自主探究能力和水平，不但是科技進(jìn)步的要求，也是學(xué)生個(gè)人成長(zhǎng)不可或缺的需要.《普

通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是圍繞某個(gè)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題，開(kāi)展自主探究、合作

研究并最終解決問(wèn)題的過(guò)程.具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，猜測(cè)合理的數(shù)學(xué)結(jié)論，提出解

決問(wèn)題的思路和方案，通過(guò)自主探索、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論.數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)

題的一類(lèi)綜合實(shí)踐活動(dòng)，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容.

要開(kāi)展數(shù)學(xué)探究，除了要有合適的研究課題，重要的一點(diǎn)就是還要有合適的研究平臺(tái)和操作環(huán)境.高

中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在這方面將扮演一個(gè)不可替代的角色.一些優(yōu)秀的數(shù)學(xué)軟件（如幾何畫(huà)板、超級(jí)畫(huà)板、GeoGebra

等）在進(jìn)行數(shù)學(xué)圖形變換的時(shí)候，都能保持其幾何性狀不改變（如：用以上軟件做了一個(gè)直角三角形，則

無(wú)論如何變換，它都將保持直角三角形這個(gè)性狀不變），這將十分有利于數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的開(kāi)展.

3.讓學(xué)生體驗(yàn)建模

數(shù)學(xué)建模就是從生活、生產(chǎn)、科研中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型；通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型求解研

究，得出研究結(jié)論，并根據(jù)結(jié)論去指導(dǎo)解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程.數(shù)學(xué)建模研究過(guò)程就是開(kāi)發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意

識(shí)的過(guò)程，也是促進(jìn)理論和實(shí)踐相結(jié)合的有效手段.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》對(duì)高中生的數(shù)學(xué)建模也提出了明確的要求，要求學(xué)生要嘗試著

去體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的完整過(guò)程.其中如何從現(xiàn)實(shí)生活中提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題，如何建立數(shù)學(xué)模型，如何對(duì)數(shù)學(xué)模

型開(kāi)展研究，以上問(wèn)題是數(shù)學(xué)建模的重要環(huán)節(jié)，也是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室必須達(dá)成的功能.

第2節(jié)高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的建設(shè)要求

為使高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室能夠具備以上功能，在建設(shè)過(guò)程中，就必須對(duì)軟硬件的要求做好總體規(guī)劃.規(guī)劃

應(yīng)遵循夠用、好用的基本原則，既要能夠保證教學(xué)工作的順利開(kāi)展，也必須注意避免浪費(fèi).

1.硬件要求

有條件的學(xué)校，可以利用專(zhuān)門(mén)的場(chǎng)地建設(shè)高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室.在這方面，國(guó)內(nèi)不少公司和廠(chǎng)家都已經(jīng)有

了較為成熟的方案：如廣州市皓駿教育科技有限公司提出的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)探究實(shí)驗(yàn)室建設(shè)方案，在軟硬件上都

給出了詳細(xì)的規(guī)劃.按他們的配置，一間可容納48個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室建設(shè)費(fèi)用，約為37萬(wàn)元.考慮到

目前多數(shù)中小學(xué)不一定具備這樣的條件，硬件方面不要做過(guò)多的重復(fù)建設(shè)，可以利用或者改造學(xué)?，F(xiàn)有的

設(shè)備和場(chǎng)地.數(shù)學(xué)模擬實(shí)驗(yàn)，可以考慮利用學(xué)校現(xiàn)成的電腦室或者云教室，其電腦的硬件配置足夠滿(mǎn)足數(shù)

學(xué)實(shí)驗(yàn)的教學(xué)需要.而像前文所說(shuō)的三視圖等動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，可以安排在教室或者教研室進(jìn)行.以上做法雖然

因陋就簡(jiǎn)，但同樣能夠達(dá)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)的效果.當(dāng)然，有條件的學(xué)校，還是建議創(chuàng)建一間數(shù)學(xué)專(zhuān)用實(shí)驗(yàn)

室.

此外，作為傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)不可或缺的數(shù)學(xué)教具，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中也有其重要作用.如演示橢圓軌跡生成

過(guò)程的橢圓板，雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的演示工具，還有立體幾何教學(xué)中的幾何體模型，以及一些測(cè)量角度和長(zhǎng)

度等工具（如測(cè)角儀等在做三角建模時(shí)都是必不可少的工具）.有些實(shí)驗(yàn)（如橢圓軌跡的生成實(shí)驗(yàn)、立體幾

何的三視圖實(shí)驗(yàn)等），應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬，雖然可以得到精確的結(jié)果，但教學(xué)效果不如用傳統(tǒng)教具教學(xué)來(lái)

得直觀(guān)，學(xué)生往往也更樂(lè)于接受實(shí)實(shí)在在、能摸得著的東西，所以傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教具也是高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的

重要組成部分.

2.軟件要求

高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室對(duì)軟件的要求不高，主要集中在以下三個(gè)方面：

（1）機(jī)房環(huán)境作為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室的機(jī)房，要擁有足夠一個(gè)班教學(xué)使用的學(xué)生計(jì)算機(jī)和一臺(tái)教師計(jì)算機(jī)，

并通過(guò)網(wǎng)絡(luò)互聯(lián)互通.教師計(jì)算機(jī)可以對(duì)所有的學(xué)生計(jì)算機(jī)進(jìn)行有效管理，向?qū)W生機(jī)傳遞音頻、視頻信號(hào)，

同時(shí)也必須支持學(xué)生機(jī)之間的互聯(lián)互通.上面這些要求，任何一間電腦教室或云教室都是可以實(shí)現(xiàn)的.

（2）數(shù)學(xué)軟件要開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)軟件的選擇十分重要.目前主流的有幾何畫(huà)板、超級(jí)畫(huà)板和

GeoGebra（以下簡(jiǎn)稱(chēng)GGB）等.這些軟件的功能各具有優(yōu)勢(shì)，簡(jiǎn)要介紹如下：

幾何畫(huà)板是由美國(guó)KeyCurriculumPress公司制作并出版的教育軟件，1996年該公司授權(quán)人民教育出版

社在中國(guó)發(fā)行該軟件的中文版.正如其名“21世紀(jì)動(dòng)態(tài)幾何“，它能夠動(dòng)態(tài)地展現(xiàn)出幾何對(duì)象的位置關(guān)系、

運(yùn)行變化規(guī)律，能夠滿(mǎn)足高中數(shù)學(xué)教學(xué)的基本要求，但其功能仍不完善.要實(shí)現(xiàn)某些功能，需要較為繁瑣

的制作過(guò)程.需要特別強(qiáng)調(diào)的是該軟件受版權(quán)保護(hù)，如需使用，必須購(gòu)買(mǎi)正版軟件.

超級(jí)畫(huà)板（全名《Z+Z智能教育平臺(tái)——超級(jí)畫(huà)板》）是由我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)科學(xué)家、科普作

家、中國(guó)科學(xué)院院士張景中教授主持開(kāi)發(fā)，為中國(guó)基礎(chǔ)教育量身定做的數(shù)學(xué)教育平臺(tái).它是一款知識(shí)性和

智能型相結(jié)合的、多功能的教育工具軟件，能很好地滿(mǎn)足高中數(shù)學(xué)教學(xué)和實(shí)驗(yàn)的各種需要，并且提供了完

善的課件庫(kù).超級(jí)畫(huà)板自面世以來(lái)，以其易學(xué)易用的特色和強(qiáng)大功能吸引了許多數(shù)學(xué)老師、數(shù)學(xué)教育家和

教育技術(shù)專(zhuān)家的青睞.需要強(qiáng)調(diào)的是，該軟件也受版權(quán)保護(hù).

GGB是奧地利數(shù)學(xué)家MarkusHohenwarter于2002年創(chuàng)建的動(dòng)態(tài)教學(xué)軟件，它通過(guò)開(kāi)源的方式不斷地更

新、完善和推廣，從僅支持英、德兩種語(yǔ)言到支持包括漢語(yǔ)在內(nèi)的69種語(yǔ)言，從僅繪制平面圖形到繪制3D

圖形，從只依賴(lài)計(jì)算機(jī)運(yùn)行到可以在平板電腦和手機(jī)等移動(dòng)端運(yùn)行，隨著免費(fèi)開(kāi)源，GGB更新速度變得越

來(lái)越快，功能也變得越來(lái)越強(qiáng)大，而且操作簡(jiǎn)單.雖有個(gè)別應(yīng)用仍稍有不便（如幾何畫(huà)板和超級(jí)畫(huà)板都可

以很方便地制作多頁(yè)面課件，在課件制作過(guò)程中，可以根據(jù)需要隨意添加刪除頁(yè)面，但GGB在制作多頁(yè)面

課件時(shí)，是通過(guò)把對(duì)象放在不同圖層來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因而制作時(shí)要設(shè)置每個(gè)對(duì)象所