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第24講空間直線、平面的平行的基本概念【題型目錄】題型一:直線與平面平行的基本概念題型二:直線與平面平行的軌跡問(wèn)題【典型例題】題型一:直線與平面平行的基本概念【例1】直線與平面平行的充要條件是這條直線與平面內(nèi)的(
)A.一條直線不相交 B.兩條直線不相交C.任意一條直線都不相交 D.無(wú)數(shù)條直線不相交【答案】C【分析】根據(jù)直線與平面平行的定義可得出合適的選項(xiàng).【詳解】直線與平面平行的充要條件是這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都沒(méi)交點(diǎn),即都不相交.故選:C.【例2】如圖,在長(zhǎng)方體中,M是棱的中點(diǎn),則(
)A.平面 B.平面BDMC.平面 D.平面【答案】D【分析】作出過(guò)點(diǎn)的正方體的截面判斷A;作出過(guò)點(diǎn)的正方體的截面判斷B;作出過(guò)點(diǎn)的正方體的截面判斷C;作出過(guò)點(diǎn)的正方體的截面判斷D作答.【詳解】在長(zhǎng)方體中,M是棱的中點(diǎn),對(duì)于A,取中點(diǎn)N,連接,如圖,正方體的對(duì)角面是矩形,,即平面,而與BN相交,則與平面有公共點(diǎn),A不正確;對(duì)于B,取中點(diǎn)P,連接,如圖,正方體的對(duì)角面是矩形,,而,又都在平面內(nèi),則與MP相交,因此與平面有公共點(diǎn),B不正確;對(duì)于C,取中點(diǎn)Q,連接,如圖,,則,四邊形是平行四邊形,因此,又平面,則BM與平面相交,C不正確;對(duì)于D,取中點(diǎn)Q,中點(diǎn)O,連接,如圖,正方形中,,則四邊形是平行四邊形,有,正方形中,,即四邊形是平行四邊形,有,又,四邊形是平行四邊形,則,因平面,平面,平面,D正確.故選:D【例3】下列四個(gè)正方體圖形中,分別為正方體的頂點(diǎn)或其所在棱的中點(diǎn),能得出平面的圖形是(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】由直線與平面的位置關(guān)系對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】對(duì)于A,由題意得,,而,,平面,平面,平面,平面,故平面平面,而平面,故平面,故A正確,對(duì)于B,取的中點(diǎn),底面中心,則,故與相交,故B錯(cuò)誤,對(duì)于C,,故平面,則平面,故C錯(cuò)誤,對(duì)于D,作平行四邊形,則與相交,故D錯(cuò)誤,故選:A【例4】已知平面,直線,滿足,,則“∥”是“∥”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若,,∥,由線面平行的判定定理知∥.若∥,,,不一定推出∥,直線與可能異面,故“∥”是“∥”的充分不必要條件.故選A.【例5】下列命題:①一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面相交,必與另外一個(gè)平面相交;②如果一個(gè)平面平行于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,必平行于另一個(gè)平面;③夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等,其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.0【答案】C【詳解】根據(jù)面面平行的性質(zhì),可得:對(duì)于①中,一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面相交,則必與另外一個(gè)平面相交,所以是正確的;對(duì)于②中,如果一個(gè)平面平行于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,必平行于另一個(gè)平面,所以是正確的;對(duì)于③,若兩平面平行,則夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段是相等的,所以是正確的.故選:C.【例6】平面與平面平行的充分條件是(
)A.內(nèi)有無(wú)窮多條直線都與平行B.直線,直線,且C.內(nèi)的任何一條直線都與平行D.直線,且直線不在內(nèi),也不在內(nèi)【答案】C【分析】根據(jù)面面平行的判定來(lái)判斷即可.【詳解】C選項(xiàng)是面面平行的定義,A,B,D中,平面與平面相交時(shí)都有可能滿足.故選:C.【例7】下列命題中正確的是(
)A.如果一條直線與一個(gè)平面平行,那么這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線平行B.平面內(nèi)有不共線的三個(gè)點(diǎn)A,B,C到平面的距離相等,則C.,,則D.,,,則【答案】D【分析】根據(jù)線面平行的判斷和性質(zhì)理解辨析.【詳解】對(duì)于A:若一條直線與一個(gè)平面平行,這條直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行,但不是任意一條,A錯(cuò)誤;對(duì)于B:由題意可得:或與相交,B錯(cuò)誤;對(duì)于C:根據(jù)題意可得:或,C錯(cuò)誤;對(duì)于D:∵,則,使得,則∴∴,D正確;故選:D.【例8】下列能保證直線與平面平行的條件是(
)A.,B.,,C.?,,,,且D.,,,【答案】B【分析】由線面平行的判定定理可知ACD不滿足條件.【詳解】A中,直線可能在平面內(nèi),A錯(cuò)誤;B中,,,,根據(jù)線面平行的判定,可知,B正確;C中,,若點(diǎn)在內(nèi),則直線在平面內(nèi),C錯(cuò)誤.D中,直線可能在平面內(nèi),D錯(cuò)誤.故選:B【題型專練】1.如圖,在下列四個(gè)正方體中,,為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),,,為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線與平面不平行的是A. B. C. D.【答案】A【解析】對(duì)于選項(xiàng),由于,結(jié)合線面平行判定定理可知不滿足題意;對(duì)于選項(xiàng),由于,結(jié)合線面平行判定定理可知不滿足題意;對(duì)于選項(xiàng),由于,結(jié)合線面平行判定定理可知不滿足題意;所以選項(xiàng)滿足題意,故選.2.下面四個(gè)選項(xiàng)中一定能得出平面平面的是()A.存在一條直線a,,B.存在一條直線a,,C.存在兩條平行直線a,b,,,,D.存在兩條異面直線a,b,,,,【答案】D【詳解】如圖,是長(zhǎng)方體,平面ABCD為平面,平面ABB1A1為平面,對(duì)于A,直線C1D1為直線a,顯然,,而與相交,A不正確;對(duì)于B,直線CD為直線a,顯然,,而與相交,B不正確;對(duì)于C,直線CD為直線a,直線A1B1為直線b,顯然,,,,而與相交,C不正確;對(duì)于D,因a,b是異面直線,且,,過(guò)直線a作平面,如圖,則c//a,并且直線c與b必相交,而,于是得,又,即內(nèi)有兩條相交直線都平行于平面,因此,平面平面.故選:D3.、、是直線,是平面,則下列說(shuō)法正確的是()A.平行于內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,則B.不在面,則C.若,,則D.若,,則平行于內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線【答案】D【詳解】對(duì)于A,當(dāng)平行于內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,若,則與不平行,所以A錯(cuò)誤,對(duì)于B,當(dāng)不在面時(shí),與有可能相交,所以B錯(cuò)誤,對(duì)于C,當(dāng),時(shí),若,則與不平行,所以C錯(cuò)誤,對(duì)于D,當(dāng),時(shí),由線面平行的性質(zhì)可知平行于內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,所以D正確,故選:D4.下列命題正確的是(
)A.若直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi),則直線和平面平行B.若直線與平面相交,則直線與平面內(nèi)的任意直線都是異面直線C.若直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn),則直線在平面內(nèi)D.若直線與平面平行,則這條直線與平面內(nèi)的直線平行【答案】C【分析】根據(jù)空間線線,線面的位置關(guān)系逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對(duì)于A,若直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi),則直線可能與平面相交,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,若直線與平面相交,則直線與平面內(nèi)的任意直線可能相交,也可能是異面直線,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,根據(jù)平面的基本性質(zhì)可知若直線與平面有兩個(gè)公共點(diǎn),則直線在平面內(nèi),故C正確;對(duì)于D,若直線與平面平行,則這條直線與平面內(nèi)的直線平行或異面,故D錯(cuò)誤.故選:C.5.正方體的棱長(zhǎng)為1,是的中點(diǎn),點(diǎn)在上,則等于多少時(shí),平面()A.1 B. C. D.【答案】B【詳解】解:如圖,連接,過(guò)點(diǎn)作交于,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以是的中點(diǎn),由正方體的性質(zhì)易得,所以,因?yàn)槠矫?,平面,所以平面,此時(shí)是的中點(diǎn),故.故選:B6.設(shè),表示不同的直線,,表示不同的平面,且,.則“”是“且”的()A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【詳解】依題意,因,,,由平面與平面平行的性質(zhì)可得且,即命題:“若,則且”是真命題,當(dāng),,且時(shí),若直線,相交,必有,若,平面與可能相交,即命題“若且,則”是假命題,綜上得“”是“且”的充分但不必要條件.故選:A7.“平面內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與直線平行”是“直線平面”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】由平面內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與直線平行,則或,所以充分性不成立;反之:若直線平面,設(shè)過(guò)直線的平面與平面相交,且交線設(shè)為,由線面平行的性質(zhì)定理,可得,則在平面內(nèi)與直線平行的無(wú)數(shù)條直線都平行與直線,所以必要性成立,所以“平面內(nèi)存在無(wú)數(shù)條直線與直線平行”是“直線平面”的必要不充分條件.故選:B.8.如圖,已知四棱柱的底面為平行四邊形,E,F(xiàn),G分別為棱的中點(diǎn),則下列各選項(xiàng)正確的是()A.直線與平面平行,直線與平面相交B.直線與平面相交,直線與平面平行C.直線、都與平面平行D.直線、都與平面相交【答案】A【詳解】解:取的中點(diǎn)H,則從而四邊形為平行四邊形,所以.易知,則四邊形為平行四邊形,從而平面.又平面,所以平面.易知,則四邊形為平行四邊形,從而與相交,所以直線與平面相交.故選:A.9.已知a,b,c為三條不重合的直線,,,為三個(gè)不重合的平面其中正確的命題()①,;②,;③,;④,;
⑤,,.A.①⑤ B.①② C.②④ D.③⑤【答案】A【詳解】①,,由平行公理4得,正確;②,,則與有可能平行、相交、異面,故錯(cuò)誤;③,則或,故錯(cuò)誤;④,;則或,故錯(cuò)誤;⑤,,,由線面平行的判定定理可得.故選:A.10.如圖,在三棱柱中,,,過(guò)作一平面分別交底面三角形的邊,于點(diǎn),,則()A. B.C.四邊形為平行四邊形 D.四邊形為梯形【答案】D【詳解】由于三點(diǎn)共面,平面,平面,故為異面直線,故A錯(cuò)由于三點(diǎn)共面,平面,平面,故為異面直線,故B錯(cuò)又∵在平行四邊形中,,,∴,,故四邊形為平行四邊形∴.又平面,平面,∴平面.又平面,平面平面,∴,∴,顯然在中,∴,∴四邊形為梯形,故C錯(cuò),D對(duì)故選:D11.如圖所示,三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形,設(shè)D是A1C1上的點(diǎn)且A1B∥平面B1CD,則A1D∶DC1的值為________.【答案】1【詳解】設(shè)BC1∩B1C=O,連接OD.∵A1B∥平面B1CD且平面A1BC1∩平面B1CD=OD,∴A1B∥OD,∵四邊形BCC1B1是菱形,∴O為BC1的中點(diǎn),∴D為A1C1的中點(diǎn),即A1D∶DC1=1.故答案為:12.如圖,空間四邊形中,分別是△和△的重心,若,則___.
【答案】【詳解】連接并延長(zhǎng)交于,連接并延長(zhǎng)交于,再連接,,∴,∴,又∵,∴.故答案為:.13.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D為AA1中點(diǎn),點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1上運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P滿足條件___________時(shí),A1P平面BCD(答案不唯一,填一個(gè)滿足題意的條件即可)【答案】P是CC1中點(diǎn)【詳解】取CC1中點(diǎn)P,連結(jié)A1P,∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D為AA1中點(diǎn),點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1上運(yùn)動(dòng),∴當(dāng)點(diǎn)P滿足條件P是CC1中點(diǎn)時(shí),A1PCD,∵A1P?平面BCD,CD?平面BCD,∴當(dāng)點(diǎn)P滿足條件P是CC1中點(diǎn)時(shí),A1P平面BCD故答案為:P是CC1中點(diǎn).14.如圖,點(diǎn)A,B,C,M,N為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則下列各圖中,不滿足直線平面ABC的是()A.B.C.D.【答案】D【詳解】對(duì)于A,由正方體的性質(zhì)可得,可得直線平面ABC,能滿足;對(duì)于B,作出完整的截面ADBCEF,由正方體的性質(zhì)可得MNAD,可得直線MN平面ABC,能滿足;對(duì)于C,作出完整的截面ABCD,由正方體的性質(zhì)可得MNBD,可得直線MN平面ABC,能滿足;對(duì)于D,作出完整的截面,如下圖ABNMHC,可得MN在平面ABC內(nèi),不能得出平行,不能滿足.故選:D.題型一:直線與平面平行的軌跡問(wèn)題【例1】在棱長(zhǎng)為2的正方體中,點(diǎn),分別是棱,的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在正方形(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng).若平面,則的最小值是()A.2 B. C. D.【答案】B【詳解】如上圖所示,取的中點(diǎn),的中點(diǎn),連接,因?yàn)榉謩e是棱的中點(diǎn),所以,,又因?yàn)?,,所以平面平面,平面,且點(diǎn)在右側(cè)面,所以點(diǎn)的軌跡是,且,,所以當(dāng)點(diǎn)位于中點(diǎn)處時(shí),最小,此時(shí),.故選:B【例2】在棱長(zhǎng)為2的正方體中,分別為的中點(diǎn),點(diǎn)在底面內(nèi),若直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn),則線段長(zhǎng)的最小值是_________.P的軌跡長(zhǎng)度為_____________.【答案】【詳解】連接,,AC,則因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn),所以,因?yàn)椤?,所以四邊形是平行四邊形,所以∥,因?yàn)槠矫?,平面,所以∥平面,又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn),所以是三角形ABC的中位線,所以∥,因?yàn)槠矫?,平面,所以∥平面,因?yàn)椋矫?,平面,所以平面∥平面,點(diǎn)P在線段AC上時(shí),能夠滿足直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn),點(diǎn)P的軌跡是線段AC,長(zhǎng)度為,且當(dāng)時(shí),線段長(zhǎng)度最小,此時(shí)由三線合一得:P為AC中點(diǎn),因?yàn)?,,所以,線段長(zhǎng)的最小值為.故答案為:,【例3】如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是棱BC,CC1的中點(diǎn),P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點(diǎn),若A1P∥平面AEF,則線段A1P長(zhǎng)度的取值范圍是()A.[1,] B.[,] C.[,] D.[,]【答案】B【詳解】如下圖所示,分別取棱,的中點(diǎn)、,連,,,,,分別為所在棱的中點(diǎn),則,,,又平面,平面,平面.,,四邊形為平行四邊形,,又平面,平面,平面,又,平面平面.是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn),且平面,點(diǎn)必在線段上.在中,.同理,在中,可得,為等腰三角形.當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí),,此時(shí)最短;點(diǎn)位于、處時(shí),最長(zhǎng).由于,則,,.線段長(zhǎng)度的取值范圍是.故選:B.【題型專練】1.正三棱柱的底面邊長(zhǎng)是4,側(cè)棱長(zhǎng)是6,,分別為,的中點(diǎn),若是側(cè)面上一點(diǎn),且平面,則線段的最小值為(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】由平面平面,確定點(diǎn)在線段上,進(jìn)而由得出答案.【詳解】取的中點(diǎn)為,連接,因?yàn)?,,所以由面面平行的判定可知,平面平面,則點(diǎn)在線段上,當(dāng)時(shí),線段最短,,即,,故,故故選:C2.正三棱柱的底面邊長(zhǎng)是4,側(cè)棱長(zhǎng)是6,M,N分別為,的中點(diǎn),若點(diǎn)P是三棱柱內(nèi)(含棱柱的表面)的動(dòng)點(diǎn),MP∥平面,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡面積為(
)A. B.5 C. D.【答案】C【分析】取AB的中點(diǎn)Q,證
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