《附15套高考模擬卷》江蘇南京寧海中學(xué)2020年高考考前模擬數(shù)學(xué)試題含解析

江蘇南京寧海中學(xué)2020年高考考前模擬數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.若（石+；）（公-1）展開式中含j項(xiàng)的系數(shù)為21,則實(shí)數(shù)“的值為（）

A.3B.-3C.2D.-2

x-sinx,x<0

2.設(shè)/（幻=；,、八，則函數(shù)/（x）

r+l,x>0

A.有極值B.有零點(diǎn)C.是奇函數(shù)D.是增函數(shù)

3.歐拉公式*=cosx+isinx（i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大

到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里非常重要，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)

歐拉公式可知，e2i表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

4.下列命題中：

2

①若命題x；-Xo〈O,則，:VxeR,x-x>0;

②將y=sin2x的圖象沿x軸向右平移7個(gè)單位，得到的圖象對應(yīng)函數(shù)為y=sin（2x-。

③“x>0”是“x+->2”的充分必要條件；

X

④已知"（/No）為圓/+丁=R2內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線與x+=R2與該圓相交.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

5.下圖是計(jì)算:+；+；+?“+［的值的一個(gè)流程圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是

A.i>8B.i>8

C.i>9D.i<9

6.若函數(shù)/(x)=x—；sin2x+asinx在R上單調(diào)遞增，則”的取值范圍是()

t口r111

A.[T/B.L3」c.L33」口.13-

7.各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列｛?,｝滿足=2a“，且%%=16,則為=（）

A.1B.2C.4D.8

8.下列函數(shù)中，圖象的一部分如圖所示的是（）

A.y=sin（x+B.y=sin（2x-/）

y=cos4x----y-cos2x----

C.I3幾.V6J

9.《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作.其中的一道題“今有木，方三尺，高三尺，欲方五寸作枕一

枚.問：得幾何？”意思是：“有一塊棱長為3尺的正方體方木，要把它作成邊長為5寸的正方體枕頭，可

作多少個(gè)？”現(xiàn)有這樣的一個(gè)正方體木料，其外周已涂上油漆，則從切割后的正方體枕頭中任取一塊，恰

有一面涂上油漆的概率為（）

125841_

A.216B.27C.9D.4

10.已知a=21n3,b=31n2,c=->貝（la，b,c的大小關(guān)系為（）

e

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>a>bD?c>b>a

11.已知復(fù)數(shù)二是一元二次方程X2一2工+2=（）的一個(gè)根，貝1Hzi的值為（）

A.1B.夜C.0D.2

12.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的更相減損法的思路與下面的程序框圖相似.執(zhí)行該程序框圖，若

輸入的。，〃分別為14,18,則輸出的“等于（）.

A.2B.4C.6D.8

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在中，4=90,ZB=30,AC=2,P為線段A3上一點(diǎn)，則回+川的取值范圍

為一.

5

14.若函數(shù)f（x）=-6乂-128§2乂+111（§加乂-（：（^）在（-8,+8）上單調(diào)遞減,則111的取值范圍是.

15.設(shè)向量弓"2不共線，向量'4+202與0+4/平行，則實(shí)數(shù)2=.

16.如圖，直角三角形Q4C所在平面與平面。交于OC,平面。4CJ_平面a,NQ4C為直角，OC=4,

8為OC的中點(diǎn)，且=平面a內(nèi)一動點(diǎn)滿足=則辦.&＞的取值范圍是.

DJ

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

cosBcosC_2招sinA

17.（12分）已知在/^6。中，角川6,。的對邊分別為4展,且丁+--=下而；求b的值;若cosB+V3sinB=2,

求a+c的取值范圍.

/（x）=lnAa-bx（a,be/?）

18.（12分）已知函數(shù)為.當(dāng)匕=0時(shí)，討論函數(shù)/W的單調(diào)性；若函數(shù)

g（X）_/（幻

''X在x=&（e為自然對數(shù)的底）時(shí)取得極值，且函數(shù)g（x）在（0，e）上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)6

的取值范圍.

19.（12分）如圖，四邊形ABC。為矩形，平面/WEE，平面ABC。，EF//AB,ZBAF=90°,4）=2,

AB=AF=1,點(diǎn)P在線段上.

V6

求證：A/，平面A8CO；若二面角O—AP—C的余弦值為3，求PF

的長度.

20.（12分）如圖,D是直角AABC斜邊BC上一點(diǎn),AC=^DC.

C若“DAC=V,求角B的大??；若BD=2DC,且AD=2招，求DC的長.

21.（12分）現(xiàn)有甲、乙、丙三名學(xué)生參加某大學(xué)的自主招生考試，考試分兩輪，第一輪筆試，第二輪面

試，只有第一輪筆試通過才有資格進(jìn)入第二輪面試，面試通過就可以在高考錄取中獲得該校的優(yōu)惠加分，

兩輪考試相互獨(dú)立.根據(jù)以往多次的模擬測試，甲、乙、丙三名學(xué)生能通過筆試的概率分別為0.4,0.8,0.5,

能通過面試的概率分別為0.8,0.4,0.64.根據(jù)這些數(shù)據(jù)我們可以預(yù)測：甲、乙、丙三名學(xué)生中至少有兩名

學(xué)生通過第一輪筆試的概率；甲、乙、丙三名學(xué)生能獲得該校優(yōu)惠加分的人數(shù)X的數(shù)學(xué)期望.

22.（10分）在A4BC中，AB=",BC=3,3,。為線段AC上的一點(diǎn)，E為的中點(diǎn).

求N4CB；若ASCD的面積為3,求。E的長度.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1、A

2、D

3、B

4、C

5、B

6、C

7、A

8、D

9、C

10、C

11、B

12、A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、［瓜26

近也

14、［-T,T］

1_

15、2

16、N”）

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、（1）b=f⑵a+c€層病

【解析】試題分析：（1）本問考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求b的值，所以可以考慮到根據(jù)余弦定

sinAa

理將cosB.cosC分別用邊表示，再根據(jù)正弦定理可以將嬴轉(zhuǎn)化為2,于是可以求出b的值；（2）首先根據(jù)

smB+辰osB=2求出角B的值，根據(jù)第（1）問得到的b值，可以運(yùn)用正弦定理求出AABC外接圓半徑R,

于是可以將a+c轉(zhuǎn)化為2RsinA+2RsmC,又因?yàn)榻荁的值已經(jīng)得到，所以將2RsmA+2RsmC轉(zhuǎn)化為關(guān)于A的

正弦型函數(shù)表達(dá)式，這樣就可求出取值范圍；另外本問也可以在求出角B的值后，應(yīng)用余弦定理及重要不

22

等式a+c>2ac,求出a+c的最大值，當(dāng)然，此時(shí)還要注意到三角形兩邊之和大于第三邊這一條件.

cosBcosC_26sinA

試題解析：（1）由b"c-3sinC,

應(yīng)用余弦定理，可得

222222島

-a-+-c----b-+-a--+-b---c-=-2--

2abc2abc3c

一招

化簡得2b=椀心=彳

（2）vcosB+招sinB=2

?1一怖.71

--cosB+ysinB=】即sin（展+B）=1

???BjO#，B+*4所以B=g

b

法2R=^B=1,

則a+c=sinA+sinC

lit

=sinA+sin（y-A）

3?A招A

TSinA+

=2T2TCOSA

=A^sin（A+》

x"o<A<y,

法二

因?yàn)橛捎嘞叶ɡ?/p>

得，

又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立.

所以

又由三邊關(guān)系定理可知

綜上

考點(diǎn)：1.正、余弦定理；2.正弦型函數(shù)求值域；3.重要不等式的應(yīng)用.

18、（1）/（處在（0,*"）上單調(diào)遞增，在（*“,+o。）上單調(diào)遞減；（2）（4，—）.

e2e

【解析】

【分析】

(1)當(dāng)/?=0時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，即可判斷f(X)的單調(diào)性;

(2)函數(shù)g(x)在(O,e)上有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)g(x),xe(O,e)的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即

可得到實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

【詳解】

(1)當(dāng)匕=0時(shí)，/(%)=—

--x-flar-6?)

1+。一Inx,

2

?"一X

令r(x)=。，得

當(dāng)XG(0,e”")時(shí)，/'(x)>0,當(dāng)時(shí)，/'(x)<0.

所以函數(shù)/(x)在(0,*")上單調(diào)遞增，在(*",+8)上單調(diào)遞減.

(2)g(x\=l^l=^^—b,\_；"2一(山一”>211+2。-2底，

XXgI町一p-P

???8(同在.丫=”時(shí)取得極值，

.?.g[&)=0即1+2。-1=0,

??。=0?

~…/XInx,，/、1-21nx

所以g(x)=1__b,g(x)=——，

函數(shù)g(x)在(0,4)上單調(diào)遞增，在(&,+℃)上單調(diào)遞減,

g(e)<0,

...當(dāng)函數(shù)g(x)在(0,e)上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，必有

----b>0,

[2e

1,1

得二<b<——.

e22e

當(dāng)!<力<，時(shí)，g(』]=_e2一力<0.

e22e\e)

.??g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別在區(qū)間

的取值范圍是

【點(diǎn)睛】

已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路

⑴直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

19、(1)見解析；(2)旦

3

【解析】

【分析】

(1)先證明/，又平面AB石尸，平面ABCD,即得AFJ_平面ABCO；(2)以A為原點(diǎn)，以AB,

AD,AE為x,丁，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題得

?\m-AB2_V6

cosm,AB\=1——

1

\m\\AB223,解方程即得解.

1-J4+1+

1^1

【詳解】

(1)證明：VZBAF=90°,：.AB±AF,

又平面ABE尸J_平面A6C￡),平面ABE尸平面ABCD=AB,A尸u平面43E/7,

AAb_L平面ABCD.

(2)以A為原點(diǎn)，以AB,AD,A尸為x,丁，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0),8(1,0,0),C(l,2,0),D(0,2,0),產(chǎn)(0,0,1),

AF￡>=(O,2,-l),AC=(1,2,0),AB=(1,0,0)

由題知，AB，平面AO/，

:.AB=(1,0,0)為平面AD尸的一個(gè)法向量，

設(shè)FP=；l尸。(OW/l<l),則P(o,2/l/一丸)，AP=(O,2/M-X),

m?AP=0

設(shè)平面4PC的一個(gè)法向量為帆=(x,y,z),貝卜

m-AC-0

2Ay+(1—2)z=0

令y=L可得加=-2,1,

x+2y=0

,?Im-AB

2苫,得2=；或2=-1(舍去),

.w陰”'2/1

l-4+1+

4、聲

:.PF=—.

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間垂直關(guān)系的證明，考查二面角的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析

推理能力.

20、(I)=60°；(II)2.

【解析】

【分析】

(1)先根據(jù)正弦定理求得smZADC,由此得到NADC的值，進(jìn)而求得々C,在直角三角形ABC中求得B的

大小.(2)設(shè)DC=x,利用DC表示出AB,BD,求得smB,cosB的值，利用余弦定理列方程，解方程求出x,

也即求得DC的值.

【詳解】

AC_______DC

(1)在AADC中，根據(jù)正弦定理，有sMAJDCsMDAC,

VAC=A/3DC,

.sin/ADC=V3sin^DAC=v

又4ADC=4B+4BAD=ZB+600>60°,

.“ADC=120°,

于是4c=180°-120°-30°=30°,

.-.ZB=60°.

(2)設(shè)DC=x,貝!JBD=2x,BC=3x,AC=^3x,

AC招A

于是s1nB=詬=5,cosB=T,AB=?x,

)2，

在AABD中，由余弦定理，得AD=AB+BD--2ABBDcosB,

222

即(2揚(yáng)2=6X+4X.2x"xx2xxY=2x

x=而，故DC=而

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形內(nèi)角和定理，考查方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.

21、(1)0.6(2)0.96

【解析】

【分析】

（1）本題可以將“至少有兩名學(xué)生通過第一輪筆試”分為“只有甲沒有通過筆試”、“只有乙沒有通過筆試”、“只

有丙沒有通過筆試''以及"都通過了筆試''四種情況，然后算出每一種情況所對應(yīng)的概率并求和，即可得出

結(jié)果；

（2）首先可以判斷出題意滿足二項(xiàng)分布X?8（3,0.32）,然后根據(jù)二項(xiàng)分布的相關(guān)性質(zhì)即可得出結(jié)果。

【詳解】

（1）記事件A：甲通過第一輪筆試，事件3：乙通過第一輪筆試，

事件C：丙通過第一輪筆試，事件至少有兩名學(xué)生通過第一輪筆試，

貝！JP（A）=0.4,P（3）=0.8,P（C）=0.5.

P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）,

=P（A）P（B）P（C）+P（A）P伍）P（C）+P（Z）P（B）P（C）+P⑷尸⑻P（C）,

=0.4x0.8x0.5+0.4x0.2x0.5+0.6x0.8x0.5+0.4x0.8x0.5=0.6,

所以至少有兩名學(xué)生通過第一輪筆試的概率為0.6o

（2）因?yàn)榧?、乙、丙三名學(xué)生中每個(gè)人獲得優(yōu)惠加分的概率均為（）.32,

所以X~8（3,0.32）,故￡（X）=3x0.32=0.96。

【點(diǎn)睛】

本題考查概率的計(jì)算以及數(shù)學(xué)期望的求法，計(jì)算概率類問題時(shí)，首先可以將所求事件包含的所有可能事件

列舉出來，然后求出每一種可能事件的概率并求和，就是所求事件的概率，考查二項(xiàng)分布，是中檔題。

22、（1）-；（2）巫^

42

【解析】

【分析】

（1）由三角形的正弦定理得到sinZACB,由特殊角的三角函數(shù)值得到NACB的大?。唬?）根據(jù)三角形

面積公式得到|DC|=2V2,再由余弦定理得到目長.

【詳解】

（1）在AA3C中，由正弦定理得：?州二心5,

sinZACBsinZA

AB\sinZAV2

所以sinNACB

\BC\~-

X|AB|<|BC|,所以NACB<NA,

式

所以=-,

4

(2)在ABC。中，由=3得：S^CD=-\BC\\DC\sinZACB=3,

所以⑷q=2&.

在ACDE中，由余弦定理得|。目2=\CEf+\DCf-2\CE\\DC\COSZACB,

所以|。目Vn

r

【點(diǎn)睛】

這個(gè)題目考查了正弦定理和余弦定理解三角形，在解與三角形有關(guān)的問題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)

主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡捷一

般來說，當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及〃、/時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交

叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解

答.2019-2020高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

3

1.在△A3C中，內(nèi)角。為鈍角，sinC=1,AC=5,AB=35則8C=()

A.2B.3C.5D.10

2.公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米

處開始，和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍.當(dāng)比賽開始后，若阿基里斯跑了1000

米，此時(shí)烏龜便領(lǐng)先他100米；當(dāng)阿基里斯跑完下一個(gè)100米時(shí)，烏龜仍然前于他10米.當(dāng)阿基里斯跑完

下一個(gè)10米時(shí)，烏龜仍然前于他1米所以，阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜.根據(jù)這樣的規(guī)律，若阿基里

斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為102米時(shí)，烏龜爬行的總距離為()

10—1()5_11()5_91()4_9

A.――B.御鼠C.90D.900

3.設(shè)復(fù)數(shù)z=l+i,則1+z2=

Z

_5i__5_i_5i_5_i_

A.22B.22c.22D.22

4.已知。,月,7是三個(gè)不同的平面，"4"是兩條不同的直線，給出下列命題:

①若加//a,〃ua,則加//〃；

②若ac°=//n,且〃則“//d”//￡；

③若〃J_a,〃?u民。///，則右J_〃；

④a_Ly,p_Ly,ac/?=m,"uy,則〃z_L〃.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

5.若函數(shù),f（x）=sinOx+e）,其中w>Q,\（f\<~,x&R,兩相鄰的對稱軸的距離為金/電為最大值,

則函數(shù)/（外在區(qū)間[0,兀]上的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

[0,勺Hr㈤[0,-]匕㈤[0,A[―，^]

A.6B.3c.6和3D.6和3

6.某校校慶期間，大會秘書團(tuán)計(jì)劃從包括甲、乙兩人在內(nèi)的七名老師中隨機(jī)選擇4名參加志愿者服務(wù)工

作,根據(jù)工作特點(diǎn)要求甲、乙兩人中至少有1人參加，則甲、乙都被選中且列隊(duì)服務(wù)時(shí)不相鄰的概率為（）

1111

--

2C4

A.B.D.

--

36

7.已知拋物線C:y2=2p無（p>0）的焦點(diǎn)為F,過F且傾斜角為120。的直線與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),

若AF,BF的中點(diǎn)在y軸上的射影分別為M,N,且|加叫=4/，則p的值為（）

A.2B.3C.4D.6

8.已知點(diǎn)M是AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足‘AM=+；AC，貝必ABM與ABCM的面積之比為（）

381

A.8B.3C.3D.3

9.如圖是一個(gè)邊長為3的正方形二維碼，為了測算圖中黑色部分的面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲1089

個(gè)點(diǎn)，其中落入白色部分的有484個(gè)點(diǎn)，據(jù)此可估計(jì)黑色部分的面積為（）

A.4B.5C.8D.9

x—y+220

10.設(shè)X,y滿足約束條件，x+yNO,貝!）2=*+1）2+丁的最大值為（）

x<3

A.41B.5C.25D.1

11.如圖，網(wǎng)格紙是由邊長為1的小正方形構(gòu)成，若粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表

面積為（）

]log(x+l),x>l

/(x)=<2

12.己知函數(shù)口/<1，則滿足/(2x+D</(3x—2)的實(shí)數(shù)*的取值范圍是()

A.(—8,01b,0,+oo)c.口,3)D.(°」)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若函數(shù)y=/(x)的圖象存在經(jīng)過原點(diǎn)的對稱軸，則稱y=/(x)為“旋轉(zhuǎn)對稱函數(shù)”，下列函數(shù)中是“旋

轉(zhuǎn)對稱函數(shù)”的有.(填寫所有正確結(jié)論的序號)

A

=p(x<0)1+X

①[lnx(0<xWl)；②，cos(4_x)；③y=in(M+l).

2

14.已知雙曲線C:x-4/=lt過點(diǎn)P(2,0)的直線/與c有唯一公共點(diǎn)，則直線I的方程為.

15.AABC的三內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若cosA=GcosB,b=^a,c=4,M,N是邊

AC上的兩個(gè)動點(diǎn)，且AM=2CN,則的最大值為.

2

16.二項(xiàng)式(x2-x)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)/(")=”—疝/求曲線在點(diǎn)O,/⑴)處的切線方程；若

k?x/(x)<0

X5X在(Lx°)上恒成立，求實(shí)數(shù)攵的取值范圍.

18.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)年(-祗0),F2(A/3,0),Q為平面上的動點(diǎn)，且F?Q|=4,

線段F]Q的中垂線與線段F?Q交于點(diǎn)P.

(1俅PF1I+IPF2I的值，并求動點(diǎn)P的軌跡E的方程；

⑵若直線1與曲線E相交于A,B兩點(diǎn)，且存在點(diǎn)D(4,0)(其中A,B,D不共線)，使得々ADO=4BDO,

證明：直線1過定點(diǎn).

19.(12分)某書店為了了解銷售單價(jià)(單位：元)在[8,20]]內(nèi)的圖書銷售情況，從2018年上半年已經(jīng)

銷售的圖書中隨機(jī)抽取100本，獲得的所有樣本數(shù)據(jù)按照[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),

[16,18),[18,20]分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知樣本中銷售單價(jià)在口4/6)內(nèi)的圖書數(shù)是

銷售單價(jià)在［18,20］內(nèi)的圖書數(shù)的2倍.

書銷售單價(jià)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；用分層抽樣的方法從銷售單價(jià)在［8,

20］內(nèi)的圖書中共抽取40本，求單價(jià)在6組樣本數(shù)據(jù)中的圖書銷售的數(shù)量；從（2）中抽取且價(jià)格低于12

元的書中任取2本，求這2本書價(jià)格都不低于10元的概率.

20.（12分）在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bsm（A+；）=asmB.求角1的大?。灰阎猙=3,

SAABC=3\。，求a的值.

21.（12分）已知等差數(shù)列的公差若％+。9=22,且牝，的，《3成等比數(shù)列.求數(shù)列｛《』的

通項(xiàng)公式；設(shè)4"向，求數(shù)列的前〃項(xiàng)和S".

22.（10分）哈師大附中高三學(xué)年統(tǒng)計(jì)學(xué)生的最近20次數(shù)學(xué)周測成績（滿分150分），現(xiàn)有甲乙兩位

同學(xué)的20次成績?nèi)缜o葉圖所示；

（I）根據(jù)莖葉圖求甲乙兩位同學(xué)成績的中位數(shù)，并將同學(xué)乙的成績的頻率分布直方圖填充完整；

（H）根據(jù)莖葉圖比較甲乙兩位同學(xué)數(shù)學(xué)成績的平均值及穩(wěn)定程度（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論

即可）；

（IH）現(xiàn)從甲乙兩位同學(xué)的不低于140分的成績中任意選出2個(gè)成績，記事件A為“其中2個(gè)成績分別屬

于不同的同學(xué)”，求事件A發(fā)生的概率.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1、A

2,B

3、D

4,C

5、D

6、C

7、D

8,C

9、B

10、A

11、C

12、B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、①②

11

15、2

16、240

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(I)y=x(IDk<-

2

【解析】

【分析】

(1)利用導(dǎo)數(shù)求得斜率，再求得切點(diǎn)坐標(biāo)，由此求得切線方程.(II)將原不等式分離常數(shù)得

k<-x\nx+-x2,構(gòu)造函數(shù)y=—利用導(dǎo)數(shù)求得>>/,由此求得左的取值范圍.

【詳解】

解：(I)/(%)='-疝1^的導(dǎo)數(shù)為/'(x)=2%_(lnx+l),

可得切線的斜率為1,切點(diǎn)為(1,1),

切線方程為y-l=x—l,即、=%；

(H)若4+2一/區(qū)<0在(1,+8)上恒成立，

x2x

可得Z<-xlru+gx?在(1,+8)上恒成立，

1

令y=-xlnx+5x7,貝!|V=-lnx-l+x,

yr,=-1+l>0,可得y'在(1,+8)上單調(diào)遞增，

則y*>-lnl-1+1=0,

可得y在(L+8)上單調(diào)遞增，

E1

貝Uy>2,

則左L

2

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查切線方程的求法，考查利用導(dǎo)數(shù)求解不等式恒成立問題，屬于中檔題.

2

18、(1)]+y2=「(2)詳見解析.

【解析】

【分析】

⑴由中垂線性質(zhì)可知IPFJ+|PF2|=|QF2|=4,根據(jù)橢圓性質(zhì)得出P點(diǎn)軌跡方程；

(2)設(shè)A(Xi，yp,B(x2；y2),直線1方程為x=my+n,與橢圓方程聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)系式，

由乙9O=4BDO可知)<DA+kDB=°，根據(jù)斜率公式化簡即可得出m,n的關(guān)系，從而得出直線1的定點(diǎn)坐

標(biāo).

【詳解】

解：⑴由已知F](-亞0),F2(A/3,0),|F2Q|=4,

依題意有：IPFJ=|PQ|,

?'IPFJ+|PF2|=|PQ|+|PF2|=|QF2|=4,

故點(diǎn)P的軌跡是以Fi，F(xiàn)?為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，即?=也，a=2,??-b=l,

2

故點(diǎn)P的軌跡E的方程為士+y2=].

(2玲A(xi，yp,B(x2,y2),

因A,B,D不共線，故1的斜率不為0,

Ix=my+n

令1的方程為：x=my+n,則由熄+4丫2=4得(m?+4)y2+2mny+n2-4=0，

A7272

△=4m、.4(nT+4)(n-4)>0>

“ADO=4BDO,,,,kDA+kDB=0,

即三+與0,整理得,少尸的-4%+丫2)=0,②

X]?4X2-4

而XM+XM=y1(my2+n)+y2(my1+n)=2my1y2+n%+y2),代入⑷得：

2my1y2+(n-4)d+y2)=0,Q3?

把代入得：，

當(dāng)時(shí)，得：，

此時(shí)1的方程為：，過定點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，亦滿足，此時(shí)I的方程為：

綜上所述，直線1恒過定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的定義與性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達(dá)定理，結(jié)

合題中條件求解即可，考查中檔題.

2

19、(1)見解析；(2)6本；(3)-

【解析】

【分析】

(1)先求出x與再根據(jù)直方圖求出平均值；

(2)根據(jù)分層抽樣是按比例抽樣可得結(jié)果；

(3)用列舉法和古典概型概率公式求出結(jié)果

【詳解】

(1)樣本中圖書的銷售單價(jià)在[14,16)內(nèi)的圖書數(shù)是x2x10()=2(X)x,

樣本中圖書的銷售單價(jià)在[18,20)內(nèi)的圖書數(shù)是y2x100=200)，，

依據(jù)題意，有200x=2x200y,即x=2y,①

根據(jù)頻率分布直方圖可知(0.1x2+0.025+x+0.05+y)x2=1,②

由①<2)得x=0.15,y=0.075.

根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)這100本圖書銷售單價(jià)的平均數(shù)為

8+10八c10+1212+1414+1616+1818+20?

-------x0.025x2+--------x0.05x2+---------x0.1x2+--------x0.15x2+--------x0.1x2+---------x0.075x2=0.45+1.1+

222222

2.6+4.5+3.4+2.85=14.9(元)

(2)因?yàn)殇N售單價(jià)在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]的圖書的分層抽樣比為1：2：4：

6：4：3,故在抽取的40本圖書中，銷售單價(jià)在[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]內(nèi)的圖

124643

書分別為40X—=2,40X—=4,40X—=8,40X—=12,40X—=8,40X—=6(本)

202020202020

(3)這40本書中價(jià)格低于12元的共有6本，其中價(jià)格低于1。元的2本，記這2本為A，4,另外4本

記為4，鳥,員,4，從中抽取2本的基本事件有:

A4,4耳,A/4四,4星,42片,4%A2%耳為,耳島,8色,共is個(gè),其中價(jià)

格不低于10元的有6個(gè)，所以：

這2本書價(jià)格都不低于10元的概率尸=2=[.

【點(diǎn)睛】

本題考查了頻率分布直方圖、分層抽樣及概率問題，較為簡單

20、(I)A=(II)a=

【解析】

【分析】

(I)由題意利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定角的大?。?/p>

(II)由題意首先由面積公式確定c的值，然后結(jié)合余弦定理即可求得邊長a的值.

【詳解】

([)因?yàn)閎sin(A+：)=asinB，由正弦定理得sinBsin(A+：)=sinAsinB，

因?yàn)?<B<兀，所以sinBRO,所以sin(A+])=sinA,

所以sinA=sinAcos^+cosAsin]

所以tanA=Vi，因?yàn)椤?lt;A<?r,所以A=：.

(II)因?yàn)镾AABC=；bcsinA，所以3招=；x3cxsin：，所以c=4,

所以a~=b~+c--2bccosA=9+16-2x3x4xcosg=13，所以a=

【點(diǎn)睛】

在處理三角形中的邊角關(guān)系時(shí)，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系.題中若出現(xiàn)邊的一次式一

般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理.應(yīng)用正、余弦定理時(shí)，注意公式變式的應(yīng)用.解

決三角形問題時(shí)，注意角的限制范圍.

2n2n

21、(1)an=2n-\(2)Sn=-

2〃+1

【解析】

【分析】

(1)由條件列方程組，求出首項(xiàng)和公差，確定通項(xiàng)公式；

⑵利用為確定力，再將2裂項(xiàng)變形，代入S“，化簡可得.

【詳解】

(1)設(shè)數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為卬，依題意,

2q+10d=22

(q+7d『=(q+44)(q+12d)'

解得6=1,Q=2,

???數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為%=2〃-1.

⑵b4——4/

a〃a〃+T（2〃—1）（2〃+1）4n2-1

i1.If111

（2n-l）（2n+l）2（2〃-12幾+1J

2n2+2〃

=n+—

22〃+1

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消求數(shù)列前n項(xiàng)的和，考查方程的思想，屬于中檔題.

22、(I)見解析.

(II)乙的成績的平均分比甲的成績的平均分高，乙同學(xué)的成績比甲同學(xué)的成績更穩(wěn)定集中.

3

(III)

5

【解析】

分析：(D根據(jù)中位數(shù)的定義可得甲、乙兩位同學(xué)成績的中位數(shù),由莖葉圖可得頻數(shù)，由頻數(shù)得頻率，從而

可得縱坐標(biāo)，進(jìn)而可補(bǔ)全直方圖；(II)從莖葉圖可以看出，乙的成績的平均分比甲的成績的平均分高，

乙同學(xué)的成績比甲同學(xué)的成績更穩(wěn)定集中；(III)利用列舉法，甲乙兩位同學(xué)的不低于140分的成績中任

意選出2個(gè)成績的基本事件有10個(gè)，其中2個(gè)成績分屬不同同學(xué)的事件有6個(gè)，利用古典概型概率公式可

得結(jié)果.

詳解：(D甲的成績的中位數(shù)是119,乙的成績的中位數(shù)是128,

（II）

從莖葉圖可以看出，乙的成績的平均分比甲的成績的平均分高，乙同學(xué)的成績比甲同學(xué)的成績更穩(wěn)定集中.

(III)甲同學(xué)的不低于140分的成績有2個(gè)設(shè)為a,b,乙同學(xué)的不低于140分的成績有3個(gè)，設(shè)為c,d,e

現(xiàn)從甲乙兩位同學(xué)的不低于140分的成績中任意選出2個(gè)成績有：

(a,b),(a,c)(a,d)(a,e)(b,c)(b,d)(b,e)(c,d)(c,e)(d,e)共10種，

其中2個(gè)成績分屬不同同學(xué)的情況有：(a,c)(a,d)(a,e)(b,c)(b,d)(b,e)共6種

因此事件A發(fā)生的概率P(A)=指=|.

點(diǎn)睛：本題主要考查莖葉圖與直方圖的性質(zhì)、古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于難題，利用古典概型概率公

式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，基本事件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件

個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.在找基本事件個(gè)

數(shù)時(shí)，一定要按順序逐個(gè)寫出：先(4，耳)，(人網(wǎng))….(A，紇),再(4,男)，(怎打).….(匹紇)依

次(4,耳)(4也)….⑷出,)…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.

2019-2020高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.不等式1-，>0成立的充分不必要條件是

X

A.X>\B.%>—1C.%<—1或0<%<1。?一1<%<0或無>0

2.執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入的a,b,k分別為1,2,3,則輸出的M=（）

7

2OT-

B.2

3.若p〉l,0<m<n<1,則下列不等式正確的是（）

但）P、1p-min-p-p

A.K'B.南7（二C.m<nD.logmP>lognp

4.以下四個(gè)數(shù)中，最大的是（）

]_Imi炳nl5

A.1。盯B.ec.兀D.30

5.如圖，網(wǎng)格紙是由邊長為1的小正方形構(gòu)成，若粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表

面積為（）

A.9"+20B.9%+26c.5乃+20D.5乃+26

6.在邊長為1的等邊三角形ABC中，點(diǎn)P是邊A3上一點(diǎn)，且.BP=2PA,則CPCB=（）

2￡2

A.3B.2c.3D.1

7.已知全集1}=￡集合4={l,2,3,4,5},B={xeR|xN2},下圖中陰影部分所表示的集合為()

A.{1}B.{刈C.J"D,{04,2}

8.不等式一^<0的解集為

x+2

{x\-2<x<3}{x|x<-2}{x|x(-2期>3}{x|x>3}

9.在平面直角坐標(biāo)系X。)，中，角a、廠的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它們的終

3443

邊分別與單位圓相交于A、B兩點(diǎn),若點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為和(一^]),則sin(a+￡)的值為

()

24_1__24

A.25B.25c.0D.25

/、facosx+2,x>0,i

10.已知函數(shù)f(x)=2X-1,g(x)=〈2(aGR),若對任意X1G[L+oo),總存在X26R,

[x+2a,x<Q

使f(xi)=g62),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

[U]

AUK]VDHlit

11.若/(x)=lg(x2_2G+l+a)在區(qū)間(F,1]上單調(diào)遞減，則。的取值范圍為()

A.U，2)B.U’2】c,U，+8)D.12，+8)

12.運(yùn)行如圖所示的程序框圖，則輸出的s值為()

A.-10B.-9C.-8D.-6

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/(%)=Acos(的+。)的圖象如圖所示，/(|)=-|,貝！]/(0)=

.jA—B..2+V2

sm----------bsinAsin3=

14.在△ABC中，24，角0=

?邑3+1=〃

15.已知數(shù)列｛4J的通項(xiàng)公式為4=2,記數(shù)列｛”/"｝的前〃項(xiàng)和為S"，若2"+],則數(shù)列出“｝

的通項(xiàng)公式為2=.

16.某校共有高

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）在AABC中，a,b,c分別為角A,B,C所對邊的長，a（sinA-smB）=（c-b）（sinB+sinC）.求

角C的值；若a=4b,求sinB的值.

18.（12分）已知函數(shù)/（x）=lnx,g（x）=o?_x（aeR）^a=_i,求函數(shù)R（x）=/（%）+g（x）的單調(diào)

區(qū)間；若曲線“X）與g（x）在公共點(diǎn)P處有相同的切線，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；設(shè)。＞0,且曲線/（X）與g（%）

總存在公切線，求”的最小值.

19.（12分）如圖所示，正三棱錐ABC—A萬G的高為2,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是⑸G的中點(diǎn).

證明：?！?/平面ACGA；若三棱錐E-OBC的體積為

x+y-2<Q

{x-y-l<0

x>0,求該正三棱柱的底面邊長.

22萬

?二+今=1（。＞。〉0）e=~r

20.（12分）已知橢圓°：才b~的左、右焦點(diǎn)分別是E、F,離心率4,過點(diǎn)廠

的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，AA3E的周長為16.求橢圓°的方程；已知。為原點(diǎn)，圓°：

5-3）2+^=非（/＞0）與橢圓°交于"、N兩點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上一動點(diǎn)，若直線PM、尸N與x軸

分別交于G、H兩點(diǎn)，求證：為定值.

21.（12分）如圖（1）,梯形ABC。中，AB//CD,過A,B分別作4EJ.C。，BFLCD,垂足分別

EF.AB=AE=2,CD=5,已知。E=l,將梯形A8CO沿同側(cè)折起，得空間幾何體A0E—

BCF,如圖（2）.

（1）若AFLBD,證明：