工程數(shù)學 課件 第7章 數(shù)理統(tǒng)計

第7章

數(shù)理統(tǒng)計第1節(jié)

樣本及抽樣分布第2節(jié)

參數(shù)的點估計第3節(jié)

參數(shù)的區(qū)間估計第4節(jié)

假設檢驗

第1節(jié)

樣本及抽樣分布

一、

樣本

1.總體與樣本在數(shù)理統(tǒng)計中,將研究對象的全體稱為總體(或母體)；組成總體的每個元素稱為個體。從總體中抽取的一部分個體，稱為總體的一個樣本；樣本中個體的個數(shù)稱為樣本的容量。

例如，研究某城市人口年齡的構成時，可以把該城市所有居民的年齡看作一個整體.若該城市有1000萬人口，那么該總體就是由1000萬個表示年齡的數(shù)字構成的，而每一個人的年齡即是一個個體。

總體中所含的個體數(shù)不一定是個定值，它可以是很小的有限值，也可以是很大的值,甚至是無限值。

例如，研究棉花的纖維長度時，每根棉花的纖維長度就是一個個體,若研究對象為一個棉包，則總體中所包含的個體數(shù)目可視為無窮大。而如果測量一個班100名學生的體重，則總體中所包含的個體數(shù)目只有有限多個。

如果從總體X中抽取n個個體X1,X2,…,Xn

組成一個樣本，則記為(X1,X2,…,Xn)，其中Xi(i=1,2,…,n)表示第i次從總體X

中取得的個體.很明顯，每個Xi(i=1,2,…,n)都是隨機變量。所以，稱(X1,X2,…,Xn)為隨機樣本。對樣本(X1,X2,…,Xn)的每一次觀察所得到的n

個數(shù)(x1,x2,…,xn)，稱為樣本觀察值(或樣本值)。

為了研究方便,常常假定樣本滿足以下兩個性質(zhì)：

(1)獨立性：X1,X2,…,Xn

是n個相互獨立的隨機變量。

(2)代表性：每個

Xi(i=1,2,…,n)與總體

X

有相同的分布。

具有上述兩個性質(zhì)的隨機樣本(X1,X2,…,Xn)稱為簡單隨機樣本。以后討論的樣本都指簡單隨機樣本。

2.樣本的聯(lián)合分布

對于簡單隨機樣本(X1,X2,…,Xn)，其聯(lián)合概率分布可以由總體

X

的分布完全確定。若總體

X的分布函數(shù)為F(x)，則樣本(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)為

又若X

具有概率密度f(x)，則(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合概率密度為

若

X

的分布律為P{X=xi}=pi，i=1,2,…,則(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合分布律為

二、

統(tǒng)計量

從統(tǒng)計學的觀點來看，總體的分布一般是未知的。有時總體的分布類型已知，但其中包含著未知參數(shù)，如總體

X~N(μ,σ2)中μ，σ2

未知。統(tǒng)計學的方法是進行抽樣得到樣本，利用樣本提供的信息對總體中的未知參數(shù)進行推斷，這就是統(tǒng)計推斷。然而，我們實際上觀察得到的是樣本值，即一批數(shù)據(jù)，我們對這批數(shù)據(jù)進行處理，最常用的方法就是構造一個樣本函數(shù)，這種樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計量。

定義7.1

設(X1,X2,…,Xn)為來自總體

X

的樣本，g(X1,X2,…,Xn)是(X1,X2,…,Xn)的函數(shù)，若g

中不含任何未知參數(shù)，則稱g(X1,X2,…,Xn)為統(tǒng)計量，稱統(tǒng)計量的概率分布為抽樣分布。

設(x1,x2,…,xn)是相應于樣本(X1,X2,…,Xn)的樣本值，則稱g(x1,x2,…,xn)是g(X1,X2,…,Xn)的觀察值。

定理7.1

設總體X~N(μ,σ2)，(X1,X2,…,Xn)為來自總體

X

的樣本，則

三、

抽樣分布

1.χ2分布

定義7.2設隨機變量X1,X2,…,Xn

相互獨立，且均服從標準正態(tài)分布N(0,1)，則

的分布稱為自由度為n的χ2

分布，記為χ2~χ2(n)。

2.t分布

定義7.2

設隨機變量

X、Y

相互獨立,且

X~N(0,1),Y~χ2(n),則稱隨機變量服從自由度為n

的t分布(又稱學生氏分布)，記作T~t(n)。

t分布的概率密度函數(shù)為

t分布的性質(zhì)如下:

3.F分布

定義7.4

設隨機變量

X、Y

相互獨立，且

X~χ2(m)，Y~χ2(n)，則稱隨機變量F=服從自由度為(m,n)的F

分布，記作F~F(m,n)。

F

分布的概率密度函數(shù)為

對于給定的α(0≤α≤1)，稱滿足等式

的點Fα(m,n)為F

分布的α

分位點。

F

分布的性質(zhì)如下：

第2節(jié)

參數(shù)的點估計

二、

矩估計法

矩估計法的思想是用樣本矩作為總體矩的估計。當總體

X

的分布類型已知，但含有未知參數(shù)時，可以用矩估計法獲得未知參數(shù)的估計。

設X

的分布函數(shù)為F(x,θ),θ=θ1,θ2,…,θk

為待估參數(shù)，并設總體X

的前k

階矩存在，且它們均是θ1,θ2,…,θk

的函數(shù)，則求待估參數(shù)θi(i=1,2,…,k)的矩估計的步驟如下：

例7.4

設總體

X

的二階矩存在且未知，(X1,X2,…,Xn)為來自總體的樣本，求μ=E(X)和σ2=D(X)的估計量。

三、

最大似然估計法

定義7.6

設總體X具有概率密度函數(shù)f(x;θ)或分布律函數(shù)

p(x;θ)，θ=θ1,θ2,…,θm

為待估參數(shù)，樣本(X1,X2,…,Xn)的聯(lián)合概率密度(或聯(lián)合分布律函數(shù))

稱為似然函數(shù).假定在x1,x2,…,xn

給定的條件下，存在m

維統(tǒng)計量

圖7.1

2.有效性

圖7.2

3.相合性

定義7.9的直觀含義是：只要樣本容量充分大，作為一個好的估計量，它的估計值應以最大的可能性接近于所估參數(shù)的真值。

第3節(jié)

參數(shù)的區(qū)間估計

二、

正態(tài)總體均值的區(qū)間估計

1.方差已知時,均值的區(qū)間估計

設總體X

是正態(tài)分布,X~N(μ,σ2),且σ2

已知,若(X1,X2,…,Xn)是來自正態(tài)總體

X~N(μ,σ2)的簡單隨機樣本,則一定有

對于給定的一個置信水平α，由標準正態(tài)分布表可以查得Zα/2(稱為臨界值)使得

則有

都僅是樣本的函數(shù)，是統(tǒng)計量。

2.方差未知時,均值的區(qū)間估計

由于方差是未知的，可以用樣本標準差S來估計總體標準差σ。利用前面講過的抽樣分布來求μ的區(qū)間估計。前面講過t分布的形狀接近于標準正態(tài)分布，

也是一個對稱分布。

由上面的方法，對于給定的α，可以通過查t分布表,得臨界值tα/2(n-1)，則有

由此得到μ

的1-α

置信區(qū)間為

例7.10某車間生產(chǎn)滾球，已知其直徑

X~N(μ,σ2)，現(xiàn)從某一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取出6個，測得直徑如下(單位：mm)：

試求滾球直徑

X

的均值μ

的置信概率為95%的置信區(qū)間.

解

因為

所以

因此置信區(qū)間為(14.95-0.24,14.95+0.24)，即(14.71,15.19)。

三、

正態(tài)總體方差的區(qū)間估計

設(X1,X2,…,Xn)是來自正態(tài)總體

X~N(μ,σ2)的樣本，則有

當給定α時，

整理得

可通過查χ2(n-1)表，求得臨界值χα/22(n-1)和χ21-α/2(n-1)，由此可得σ2

的1-α

置信區(qū)間為

從而σ的1-α的置信區(qū)間為

例7.11投資的回收利潤率常用來衡量投資風險。隨機地調(diào)查了26年的回收利潤率(%)，標準差s=15(%)，設回收利潤率服從正態(tài)分布，求它的方差的區(qū)間估計。(取α=0.05)。

解

本題中n=26，s=15,α=0.05，χ20.025(25)=40.646，χ20.975(25)=13.120，則得方差的區(qū)間估計：

置信下限

置信上限

故方差的95%的區(qū)間估計是

標準差的95%的區(qū)間估計是

第4節(jié)

假

設

檢

驗

例7.13某制藥商稱自己有90%的把握能保證他們的藥對緩解過敏癥狀有效?，F(xiàn)從患有過敏癥的人群中隨機抽取200人，服藥后，有160人的癥狀得到了緩解，據(jù)此判定制藥商的聲明是否真實。

由上面的例子可知,假設檢驗是對總體的分布函數(shù)的形式或分布中的某些參數(shù)作出某種假設，然后通過抽取樣本，構造適當?shù)慕y(tǒng)計量，對假設的正確性進行判斷的過程。

要對總體作出判斷，常常要先對所關心的問題作出某些假定(或是猜測)，這些假定可能是正確的，也可能是不正確的，它們一般是關于總體分布或其參數(shù)的某些陳述，稱之為統(tǒng)計假設。

一般要同時提出兩個對立的假設，即原假設和備擇假設(與原假設對立的假設稱為備擇假設)，分別記為

H0和

H1。在很多情況下，我們給出一個統(tǒng)計假設僅僅是為了拒絕它。例如，要判斷一枚硬幣是否均勻，一般假設硬幣是均勻的(在研究這類問題時，通常是已經(jīng)懷疑該結(jié)論的真實性)。將檢驗硬幣均勻性的原假設記為

H0:p=0.5(p

為出現(xiàn)正面的概率)。

備擇假設的選取通常要和實際問題相符，如上面檢驗硬幣均勻性的備擇假設可以是H1:p≠0.5；當我們已經(jīng)肯定是p偏大時，也可選p>0.5，或其他確定的值。

假設檢驗的基本依據(jù)是“小概率原理”，即概率很小的隨機事件在一次試驗中一般是不會發(fā)生的。根據(jù)這一原理,先假定原假設

H0

是正確的,在此假設下構造關于樣本的小概率

事件A，例如P{A

發(fā)生|

H0

為真}=0.05。

若在一次試驗(抽樣)中事件

A

竟然發(fā)生了,就有理由懷疑

H0

的正確性，從而拒絕

H0；反之，若事件A

沒有出現(xiàn)，則可以認為假設

H0

與試驗結(jié)果是相容的，即沒有理由懷疑

H0，因此接受原假設。

二、

兩類錯誤

在根據(jù)樣本作推斷時，由于樣本的隨機性，難免會作出錯誤的決定。當原假設

H0

為真時，而作出拒絕

H0

的判斷，稱為犯第一類錯誤；當原假設

H0

不真時，而作出接受

H0

的判斷，稱為犯第二類錯誤。控制犯第一類錯誤的概率不大于一個較小的數(shù)α(0<α<1)，α

稱為檢驗的顯著性水平。

假設檢驗的基本步驟如下：

(1)根據(jù)實際問題的要求，提出相應的原假設

H0和備擇假設

H1；

(2)給定顯著性水平α,通常α

取0.1、0.05或0.01等；

(3)根據(jù)已知條件和統(tǒng)計假設構造適當?shù)慕y(tǒng)計量，并在原假設成立的條件下確定其分布；

(4)根據(jù)給定的α

和統(tǒng)計量所服從的分布，查分位點值，確定原假設的拒絕域；

(5)計算統(tǒng)計量的值，根據(jù)其是否落在拒絕域中作出拒絕還是接受原假設的判斷。

三、

檢驗法

1.正態(tài)總體方差σ2

已知時，均值μ

的假設檢驗

1)雙側(cè)檢驗

形如

H0:μ=μ0,H1μ≠μ0

的假設檢驗稱為雙側(cè)檢驗。

(1)原假設

H0:θ=θ0，備擇假設

H1:θ≠θ0，其中θ0

為某一常數(shù)；

(2)原假設H0:θ1=θ2,備擇假設

H1:θ1≠θ2,其中θ1、θ2

分別為兩互相獨立的總體X

與Y

的參數(shù)。

例7.14某工廠制成一種新的釣魚繩，聲稱其折斷平均受力為15kg。已知標準差為0.5kg，為檢驗15kg這個數(shù)字是否真實，在該廠產(chǎn)品中隨機抽取50件，測得其折斷平均受力是14.8kg.若取顯著性水平α=0.01，問：是否應接受廠方聲稱為15kg這個數(shù)字?(假定折斷拉力

X~N(μ,σ2))

2)單側(cè)檢驗

形如

H0:N≥N0(或

N≤N0)，H1:N<N0(或

N>N0)的檢驗稱為單側(cè)檢驗。

(1)原假設

H0:θ≥θ0(或θ≤θ0)，備擇假設

H1:θ<θ0(或θ>θ0)，其中為總體

X

的未知參數(shù)，θ0

為一常數(shù)；

(2)原假設

H0:θ1≥θ2(或θ1≤θ2)，備擇假設

H1:θ1<θ2(或θ1>θ2)，其中θ1,θ2

為互相獨立的總體

X

與Y

的未知參數(shù)。

同理可有相反的情形，即

H0:μ≥μ0，H1:μ<μ0，此時的拒絕域為：

此外，根據(jù)實際問題，也有不同的假設，如：

例7.15

有批木材，其小頭直徑服從正態(tài)分布，且標準差為2.6cm，按規(guī)格要求，小頭直徑平均值要在12cm以上才能算一等品。現(xiàn)在從中隨機抽取100根，測得小頭直徑平均值為12.8cm，問：在α=0.05的水平下，能否認為該批木材屬于一等品?

2.正態(tài)總體方差σ