版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
第5章多元函數(shù)積分第1節(jié)二重積分第2節(jié)二重積分的計(jì)算第3節(jié)廣義重積分
第1節(jié)
二
重
積
分
一、
二重積分的概念
1.引例例5.1如圖5.1所示,設(shè)有一立體,它的底是xOy面上的閉區(qū)域D,它的側(cè)面是以D
的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面,它的頂是曲面z=f(x,y),這里f(x,y)>0且在D
上連續(xù)。這種立體叫作曲頂柱體.現(xiàn)在要求該曲頂柱體的體積V。圖5.1
由于曲頂柱體的高f(x,y)是變量,它的體積不能直接用體積公式來計(jì)算。但仍可采用求曲邊梯形面積的思想方法,即通過
分割:將區(qū)域D
任意分成n
個(gè)小區(qū)域
近似:在每個(gè)Δδi
上任取一點(diǎn)(ξi,ηi)(見圖5.1),則
求和:將上式累加,得
取極限:令Δδi
中的最大直徑λ
趨于0,得
例5.2如圖5.2所示,設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D,它在點(diǎn)(x,y)處的面密度為ρ(x,y),這里ρ(x,y)>0且在D
上連續(xù)?,F(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量
M。圖5.2
2.二重積分的定義
定義5.1設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D
上的有界函數(shù),將閉區(qū)域D
任意分成n個(gè)小閉區(qū)域
其中Δσi
表示第i個(gè)小閉區(qū)域,也表示它的面積。在每個(gè)Δσi
上任取一點(diǎn)(ξi,ηi),作乘積
并作和
二、
二重積分的性質(zhì)
性質(zhì)5.1設(shè)α、β為常數(shù),則
性質(zhì)5.2
如果f(x,y)在有界閉區(qū)域D
上可積,D
被連續(xù)曲線分成D1、D2
兩部分,D=D1∪D2
且D1、D2
無(wú)公共內(nèi)點(diǎn),則f(x,y)在區(qū)域D1、D2
上可積,且
這個(gè)性質(zhì)說明二重積分對(duì)積分區(qū)域具有可加性。
性質(zhì)5.3如果在D
上,f(x,y)=1,σ為D
的面積,則
性質(zhì)5.4如果在D
上,f(x,y)≤g(x,y),則有
特殊地,由于
又有
性質(zhì)5.5設(shè)
M、m
分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值,σ是D
的面積,則有
性質(zhì)5.6(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域
D
上連續(xù),σ
是D
的面積,則在D
上至少存在一點(diǎn)(ξ,η),使得
第2節(jié)
二重積分的計(jì)算
二重積分是用和式的極限定義的,對(duì)一般的函數(shù)和區(qū)域用定義直接計(jì)算二重積分是不可行的。計(jì)算二重積分的主要方法是將它化為兩次定積分的計(jì)算,稱為累次積分法。
一、
在直角坐標(biāo)系下求二重積分
先從幾何上研究二重積分的計(jì)算問題,在討論中我們假定f(x,y)≥0。若積分區(qū)域D
可表示為
則稱D為X型區(qū)域,它是由直線x=a、x=b
及曲線y=φ1(x)、y=φ2(x)所圍成(圖5.3),其中函數(shù)φ1(x)、φ2(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù).X
型區(qū)域的特點(diǎn)是:任何平行于y軸且穿過區(qū)域內(nèi)部的直線與D
的邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)。圖5.3
求以D
為底,曲面z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積(圖5.4)。先計(jì)算截面積。在區(qū)間[a,b]上取定一點(diǎn)x0,作平行于yOz面的平面x=x0。這平面頂柱體所得的截面是一個(gè)以區(qū)間[φ1(x0),φ2(x0)]為底、曲線z=f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形(圖5.4)所以這個(gè)截面的面積為
一般地,過區(qū)間[a,b]上任一點(diǎn)x且平行于yOz
面的平面截曲頂柱體的截面的面積為圖5.4
于是,應(yīng)用計(jì)算平行截面面積為已知的立體體積的方法,得曲頂柱體的體積為
這個(gè)體積也就是所求二重積分的值,從而有等式
上式右端的積分是先對(duì)y、后對(duì)x
的二次積分。就是說,先把x
看作常數(shù),把f(x,y)只看作y的函數(shù),并對(duì)y計(jì)算從φ1(x)到φ2(x)的定積分:然后把算得的結(jié)果(是x
的函數(shù))再對(duì)x
計(jì)算在區(qū)間[a,b]上的定積分。這個(gè)先對(duì)y、后對(duì)x
的二次積分也常記為
因此,等式(5.1)也寫成
這就是把二重積分化為先對(duì)y、后對(duì)x
的二次積分公式。
在上述討論中,我們假定f(x,y)≥0,實(shí)際上公式(5.1)的成立并不受此條件的限制。類似地,若積分區(qū)域D
可表示為
則稱D
為Y
型區(qū)域,它是由直線y=c、y=d及曲線x=ψ1(y)、x=ψ2(y)所圍成,其中函數(shù)ψ1(x)、ψ2(x)在區(qū)間[c,d]上連續(xù)。同樣Y
型區(qū)域的特點(diǎn)是:任何平行于x
軸且穿過區(qū)域內(nèi)部的直線與D
的邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)。圖5.5
例5.5計(jì)算二重積分其中D
是由直線y=x,x=1及x軸所圍成的閉區(qū)域。
解
畫出積分區(qū)域D
如圖5.6所示,圖5.6
它既是X
型,又是Y型。若D
看成X
型,則D
可表示為
于是
若將D看成X型,則D可表示為
于是
例5.6
計(jì)算二重積分其中D
是由拋物線y=x2
及直線y=x+2所圍成的閉區(qū)域。
解
畫出積分區(qū)域D
如圖5.7所示,圖5.7
若D
看成X
型,則D可表示為
于是
若將D看成Y型,則由于在區(qū)間[0,1]及[1,4]上x
的積分下限不同,所以要用直線y=1把區(qū)域D分成D1
和D2
兩個(gè)部分(圖5.8),其中
于是圖5.8
例5.9求兩個(gè)圓柱面x2+y2=a2,x2+z2=a2
所圍成的立體體積.
解
由對(duì)稱性知,所求立體的體積V
是該立體位于第一卦限部分的體積V1的8倍(見圖5.11).圖5.11
立體在第一卦限部分可以看成一個(gè)曲頂柱體,它的底為
它的頂是柱面
于是
二、
在極坐標(biāo)系下求二重積分
在平面上選定一點(diǎn)O,從點(diǎn)O
出發(fā)引一條射線Ox,并在射線上規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度,這就得到了極坐標(biāo)系(如圖5.12),其中點(diǎn)P
稱為極點(diǎn),射線Ox
稱為極軸。
平面上每一點(diǎn)
M
都可以用它的極徑r
和極角θ來確定其位置,稱有序數(shù)對(duì)(r,θ)為點(diǎn)
M
的極坐標(biāo)。圖5.12
如果我們將直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)O
和x軸的正半軸選為極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)和極軸,如圖5.13所示,則平面上點(diǎn)M
的直角坐標(biāo)(x,y)與其極坐標(biāo)(r,θ)有以下的關(guān)系圖5.13
在二重積分的定義中,若函數(shù)f(x,y)可積,則二重積分的存在與區(qū)域D
的劃分無(wú)關(guān)。在直角坐標(biāo)系中,我們是用平行于x
軸和y
軸的兩組直線來分割區(qū)域D的,此時(shí)面積元素dσ=dxdy。所以有
在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)的極坐標(biāo)是(r,θ),r=常數(shù),是一簇圓心在極點(diǎn)的同心圓;θ=常數(shù),是一簇從極點(diǎn)出發(fā)的射線。我們用上述的同心圓和射線將區(qū)域
D
分成多個(gè)小區(qū)域,如圖5.14所示,其中,任一小區(qū)域Δσ
是由極角為θ
和θ+Δθ
的兩射線與半徑為r和r+Δr的兩圓弧所圍成的區(qū)域,則由扇形面積公式得圖5.14
在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分,仍然需要化為二次積分來計(jì)算,通常是按先r后θ的順序進(jìn)行,下面分三種情況予以介紹。
(1)極點(diǎn)O
在區(qū)域D之外,且D
由射線θ=α,θ=β和連續(xù)曲線r=r1(θ),r=r2(θ)所圍成,如圖5.15所示,這時(shí)區(qū)域D
可表示為
于是圖5.15
(2)極點(diǎn)O
在區(qū)域D
的邊界上,且D
由射線θ=α,θ=β和連續(xù)曲線r=r(θ)所圍成,如圖5.16所示,這時(shí)區(qū)域D
可表示為
于是圖5.16
(3)極點(diǎn)O
在區(qū)域D
內(nèi)部,且
D的邊界曲線為連續(xù)封閉曲線r=r(θ),如圖5.17所示,這時(shí)區(qū)域D
可表示為
于是圖5.17
例5.10計(jì)算二重積分其中D
是由圓x2+y2=a2(a>0)圍成的閉區(qū)域.
解
由于區(qū)域D
在極坐標(biāo)系下表示為
所以
例5.11
計(jì)算二重積分其中D
是由圓x2+y2=π2
和x2+y2=4π2
所圍成的閉區(qū)域。
解
積分區(qū)域D是由兩個(gè)圓所圍成的圓環(huán),在極坐標(biāo)系下表示為
于是
例5.12
計(jì)算二重積分其中D
是第一象限中同時(shí)滿足x2+y2≤1和x2+(y-1)2≤1的點(diǎn)所組成的區(qū)域.
所以得圖5.18
第3節(jié)
廣
義
重
積
分
和一元函數(shù)類似,二重積分也可以推廣到無(wú)界區(qū)域上的廣義二重積分,它在概率統(tǒng)計(jì)中是一種廣泛應(yīng)用的積分形式。
定義5.2
設(shè)函數(shù)f(x,y)在無(wú)界區(qū)域
D
上有定義,用任意光滑或分段光滑的曲線γ在D中劃出有界區(qū)域Dγ,如圖5.19所示,若二重積分存在,且當(dāng)曲線γ
連續(xù)變動(dòng),區(qū)域Dγ無(wú)限擴(kuò)展而趨于區(qū)域D
時(shí),如果不論γ
的形狀如何,也不論γ
擴(kuò)展的過程怎樣,極限
有同一極限值I,則稱I
是函數(shù)f(x,y)在無(wú)界區(qū)域D
上的廣義二重積分,記為
這時(shí)也稱函數(shù)f(x,y)在D
上的積分收斂。否則,稱為發(fā)散的。圖5.19第6章
概率論第1節(jié)
隨機(jī)事件第2節(jié)
概率的定義與性質(zhì)第3節(jié)
條件概率第4節(jié)
獨(dú)立性第5節(jié)
隨機(jī)變量的分布第6節(jié)
數(shù)學(xué)期望與方差第7節(jié)
常見隨機(jī)變量的分布
第1節(jié)
隨
機(jī)
事
件
一、
隨機(jī)事件
1.隨機(jī)試驗(yàn)滿足下列三個(gè)條件的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn):
(1)試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;
(2)試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),且所有可能結(jié)果是已知的;
(3)每次試驗(yàn)?zāi)膫€(gè)結(jié)果出現(xiàn)是未知的。
隨機(jī)試驗(yàn)以后簡(jiǎn)稱為試驗(yàn),并常記為E。
例如:
E1:擲一骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù);
E2:上拋硬幣兩次,觀察正反面出現(xiàn)的情況;
E3:觀察某電話交換臺(tái)在某段時(shí)間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。
2.隨機(jī)事件
在試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情稱為隨機(jī)事件,常記為A,B,C
等。
例如,在E1
中,A
表示“擲出2點(diǎn)”,B
表示“擲出偶數(shù)點(diǎn)”均為隨機(jī)事件。
3.必然事件與不可能事件
每次試驗(yàn)必發(fā)生的事情稱為必然事件,記為Ω。每次試驗(yàn)都不可能發(fā)生的事情稱為不可能事件,記為?。
例如,在E1
中,“擲出不大于6點(diǎn)”的事件便是必然事件,而“擲出大于6點(diǎn)”的事件便是不可能事件。
隨機(jī)事件,必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為事件。
4.基本事件
試驗(yàn)中直接觀察到的最簡(jiǎn)單的結(jié)果稱為基本事件。由基本事件構(gòu)成的事件稱為復(fù)合事件。
例如,在E1
中,“擲出1點(diǎn)”,“擲出2點(diǎn)”,…,
“擲出6點(diǎn)”均為此試驗(yàn)的基本事件;“擲出偶數(shù)點(diǎn)”便是復(fù)合事件。
5.樣本空間
從集合觀點(diǎn)看,稱構(gòu)成基本事件的元素為樣本點(diǎn)。試驗(yàn)中所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為樣本空間,記為Ω。
例如,在
E1
中,Ω={1,2,3,4,5,6};在
E2
中,Ω={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)};在E3
中,Ω={0,1,2,…}
二、
事件間的關(guān)系與運(yùn)算
1.包含關(guān)系
若事件A
的發(fā)生必導(dǎo)致事件B
發(fā)生,則稱事件B
包含事件A,記為A?B
或B?A。
例如,在E1
中,令A(yù)
表示“擲出2點(diǎn)”的事件,即A={2},B
表示“擲出偶數(shù)”的事件,即B={2,4,6},則A?B。
2.相等關(guān)系
若A?B
且B?A,則稱事件A
等于事件B,記為A=B(圖6.1)。
例如,從一副54張的撲克牌中任取4張,令A(yù)
表示“取得至少有3張紅桃”的事件;B表示”取得至多有一張不是紅桃”的事件,顯然A=B。
圖6.1
3.和關(guān)系
稱事件A
與B
至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A與B
的和事件,簡(jiǎn)稱為和,記為
A∪B
或A+B(圖6.2)。
例如,甲、乙兩人向目標(biāo)射擊,令A(yù)
表示“甲擊中目標(biāo)”的事件,B
表示“乙擊中目標(biāo)”的事件,則A∪B
表示“目標(biāo)被擊中”的事件。
圖6.2
4.積關(guān)系
稱事件A
與事件B
同時(shí)發(fā)生的事件為A
與B的積事件,簡(jiǎn)稱為積,記為A∩B
或AB(圖6.3)。
例如,在E3中,觀察某電話交換臺(tái)在某時(shí)刻接到的呼喚次數(shù)中,令A(yù)={接到2的位數(shù)次呼喚},B={接到3的倍數(shù)次呼喚},則A∩B={接到6的倍數(shù)次呼喚}。
圖6.3
5.差關(guān)系
稱事件A
發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件為A
減B
的差事件,簡(jiǎn)稱為差,記為
A-B(圖6.4)
例如,測(cè)量晶體管的β參數(shù)值,令
A={測(cè)得β
值不超過50},B={測(cè)得β
值不超過100},則A-B=?,B-A={測(cè)得β值為50<β≤100}。
圖6.4
6.互不相容關(guān)系
若事件A
與事件B不能同時(shí)發(fā)生,即AB=?,則稱A
與B
是互不相容的事件,或稱A
與B
為互斥事件(圖6.5)。
例如,觀察某交通路口在某時(shí)刻的紅綠燈:若A={紅燈亮},B={綠燈亮},則A
與B便是互不相容的。
圖6.5
圖6.6
第2節(jié)
概率的定義與性質(zhì)
一、
概率的定義所謂事件A的概率是指事件A
發(fā)生可能性程度的數(shù)值度量,記為P
(A)。規(guī)定P(A)≥0,P(Ω)=1。以下從不同角度給出概率的定義。
1.古典概型中概率的定義
滿足下列兩個(gè)條件的試驗(yàn)?zāi)P头Q為古典概型。
(1)所有基本事件是有限個(gè);
(2)各基本事件發(fā)生的可能性相同。
定義6.1
在古典概型中,設(shè)其樣本空間Ω所含的樣本點(diǎn)總數(shù),即試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為
NΩ
,而事件
A
所含的樣本數(shù),即有利于事件
A
發(fā)生的基本事件數(shù)為NA
,則事件
A的概率便定義為
古典概型中所定義的概率有以下基本性質(zhì):
(1)P(A)≥0;(2)P(Ω)=1
例6.1
將n
個(gè)球隨機(jī)地放到n
個(gè)瓶子中去,問每個(gè)瓶子恰有1個(gè)球的概率是多少?
例6.2
將3個(gè)不同的球隨機(jī)地放入4個(gè)不同的盒子中,問盒子中球的個(gè)數(shù)的最大數(shù)分別為1、2、3的概率各是多少?
例6.3
將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋三次,求恰有一次正面向上的概率。
解
用
H
表示正面,T
表示反面,則該試驗(yàn)的樣本空間
2.概率的統(tǒng)計(jì)定義
頻率:在n次重復(fù)試驗(yàn)中,設(shè)事件A
出現(xiàn)了nA
次,則稱
為事件A
的頻率。
頻率具有一定的穩(wěn)定性,示例如表6.1所示。
頻率有以下基本性質(zhì):
(1)fn(A)≥0;
(2)fn(Ω)=1;
(3)若A1A2,…Ak,兩兩互不相容,則
定義6.2
在相同條件下,將試驗(yàn)重復(fù)n
次,如果隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n
的增大,事件A的頻率fn(A)越來越穩(wěn)定地在某一常數(shù)p
附近擺動(dòng),則稱常數(shù)p
為事件A
的概率,即P(A)=p。
3.概率的公理化定義
定義6.3
設(shè)某試驗(yàn)的樣本空間為Ω,對(duì)其中每個(gè)事件A
定義一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),如果它滿足下列三條公理:(1)P(A)≥0(非負(fù)性);
(2)P(Ω)=1,P(?)=0(規(guī)范性):
(3)若A1,A2,…,An兩兩互不相容,則
(稱為可加性);則稱P(A)為A
的概率。
例6.7甲、乙兩城市在某季節(jié)內(nèi)下雨的概率分別為0.4和0.35,而同時(shí)下雨的概率為0.15,求在此季節(jié)內(nèi)甲、乙兩城市中至少有一個(gè)城市下雨的概率。
解
令A(yù)={甲城下雨},B={乙城下雨},按題意所要求的是
第3節(jié)
條
件
概
率
一、
條件概率的概念及計(jì)算
例6.8
一盒子內(nèi)有10只晶體管,其中4只是壞的,6只是好的,從中無(wú)放回地取二次晶體管,每次取一只,當(dāng)發(fā)現(xiàn)第一次取得的是好的晶體管時(shí),問第二次取得的也是好的晶體管的概率為多少?
例6.9某種集成電路使用到2000小時(shí)還能正常工作的概率為0.94,使用到3000小時(shí)還能正常工作的概率為0.87。有一塊集成電路已工作了2000小時(shí),問它還能再工作1000小時(shí)的概率為多大?
二、
條件概率的三個(gè)重要公式
1.乘法公式
定理6.1
如果P(B)>0,那么
同樣,如果P(A)>0,則
例6.10
已知某產(chǎn)品的不合格品率為4%,而合格品中有75%的一級(jí)品,今從這批產(chǎn)品中任取一件,求取得的為一級(jí)品的概率。
解
令A(yù)={任取一件產(chǎn)品為一級(jí)品},B={任取一件產(chǎn)品為合格品},顯然
A?B,即有AB=A,故P(AB)=P(A)。于是,所求概率為
2.全概率公式
定義6.5
如果一組事件
H1,H2,…,Hn
在每次試驗(yàn)中必發(fā)生且僅發(fā)生一個(gè),即則稱此事件組為該試驗(yàn)的一個(gè)完備事件組。
定理6.2設(shè)
H1,H2,…,Hn
為一完備事件組,且P(Hi)>0(i=1,2,…,n),則對(duì)于任意事件A
有
例6.11
某屆世界女排錦標(biāo)賽半決賽的對(duì)陣如圖6.7所示,根據(jù)以往資料可知,中國(guó)勝美國(guó)的概率為0.4,中國(guó)勝日本的概率為0.9,而日本勝美國(guó)的概率為0.5,求中國(guó)得冠軍的概率。
圖6.7
3.貝葉斯公式
定理6.3
設(shè)
H1,H2,…,Hn為一完備事件組,且P(Hi)>0(i=1,2,…,n),又設(shè)A為任意事件,且P(A)>0,則有
例6.12某種診斷癌癥的實(shí)驗(yàn)有如下效果:患有癌癥者做此實(shí)驗(yàn)反映為陽(yáng)性的概率為0.95,不患有癌癥者做此實(shí)驗(yàn)反映為陰的概率也為0.95,并假定就診者中有0.005的人患有癌癥。已知某人做此實(shí)驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性,問他是一個(gè)癌癥患者的概率是多少?
第4節(jié)
獨(dú)
立
性
一、
事件的獨(dú)立性如果事件B
的發(fā)生不影響事件A
的概率(例如:某人擲一顆骰子兩次,第一次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)A
并不會(huì)影響第二次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)B),且P(B)>0時(shí),有P(A|B)=P(A),則稱事件A對(duì)事件B
獨(dú)立;反之,如果事件A
的發(fā)生不影響事件B
的概率,且P(A)>0時(shí),有P(B|A)=P(B),則稱事件B
對(duì)事件A
獨(dú)立.當(dāng)P(A)>0,P(B)>0,上述兩個(gè)式子是等價(jià)的,因此有下面定義:
定義6.6對(duì)任意兩個(gè)事件A
與B,若P(AB)=P(A)·P(B),則稱事件
A
與B
相互獨(dú)立.
定理6.4事件A
與B
獨(dú)立的充要條件是
例6.13
袋中有3個(gè)白球2個(gè)黑球,現(xiàn)從袋中分別有放回、無(wú)放回的各取兩次球,每次取一球,令A(yù)={第一次取出的是白球},B={第二次取出的是白球},問A,B是否獨(dú)立?
例6.14
統(tǒng)計(jì)浙江浦陽(yáng)江甲乙兩地在1964-1966年3年內(nèi)6月份90天中降雨的天數(shù)。甲地降雨46天,乙地降雨45天,兩地同時(shí)降雨42天.假定兩地6月份任一天為雨日的頻率穩(wěn)定,試問:
(1)6月份兩地降雨是否相互獨(dú)立?
(2)6月份任一天至少有一地降雨的概率為多少?
定義6.7
設(shè)A,B,C
為三個(gè)事件,如果P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),則稱A,B,C
是相互獨(dú)立的。
定義6.8設(shè)A1,A2,…,An為n個(gè)事件,如果對(duì)任意正整數(shù)k(k≤n)及上述事件中的任意k
個(gè)事件Ai1
,Ai2,…,Aik,有P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik),則稱這n
個(gè)事件A1,A2,…,An是相互獨(dú)立的。
例如:(1)將一骰子擲10次觀察出現(xiàn)6點(diǎn)的次數(shù)——10重伯努利試驗(yàn);(2)在裝有8個(gè)正品,2個(gè)次品的箱子中,有放回地取5次產(chǎn)品,每次取一個(gè),觀察取得次品的次數(shù)——5重伯努利試驗(yàn);(3)向目標(biāo)獨(dú)立地射擊n
次,每次擊中目標(biāo)的概率為p,觀察擊中目標(biāo)的次數(shù)——n
重伯努利試驗(yàn)等等。
在n
重伯努利實(shí)驗(yàn)中,假定每次實(shí)驗(yàn)事件A
出現(xiàn)的概率為p(0<p<1),則在n
重伯努利試驗(yàn)中,事件A
恰好出現(xiàn)了k次的概率為
其中q=1-p。
例6.18
某彩票每周開獎(jiǎng)一次,每次只有百萬(wàn)分之一中獎(jiǎng)的概率。若你每周買一張彩票,盡管你堅(jiān)持十年(每年52周)之久,但你從未中過獎(jiǎng)的概率是多少?
解
每周買一張彩票,不中獎(jiǎng)的概率是1-10-6,十年中共購(gòu)買520次,且每次開獎(jiǎng)都相互獨(dú)立,所以十年中從未中過獎(jiǎng)的概率為
例6.19一副撲克牌(52張),從中任取13張,求至少有一張”A”的概率.
解
設(shè)A={任取的13張牌中至少有一張”A”},并設(shè)Ai={任取的13張牌中恰有i張”A”},i=1,2,3,4,則A=A1∪A2∪A3∪A4,且A1,A2,A3,A4
兩兩互斥.
因此
用另一方法來計(jì)算這一概率:
從而
例6.20某射手向某目標(biāo)射擊5次,每次擊中目標(biāo)的概率為p,不擊中目標(biāo)的概率為q,且每次是否擊中目標(biāo)是相互獨(dú)立的,求5次射擊當(dāng)中恰好擊中目標(biāo)3次的概率P5(3)
第5節(jié)
隨機(jī)變量的分布
一、
隨機(jī)變量定義6.9一個(gè)變量
X
的取值取決于隨機(jī)試驗(yàn)E(現(xiàn)象)的基本結(jié)果ω,則該變量X(ω)稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量常用大寫字母X、Y、Z
等表示,其取值用小寫字母x、y、z
等表示。例如:擲一顆骰子得到的點(diǎn)數(shù),分別用1、2、3、4、5、6來表示;測(cè)試一個(gè)燈泡的使用壽命,結(jié)果對(duì)應(yīng)著(0,+∞)中的一個(gè)實(shí)數(shù);投籃一次”命中”可用1表示,”沒有命中”可用0表示;從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)檢驗(yàn),”次品”用0表示,”合格品”用1表示等等。
定義6.10
設(shè)X
是一個(gè)隨機(jī)變量,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,令F(x)=P{X≤x},稱F(x)為隨機(jī)變量
X
的概率分布函數(shù),簡(jiǎn)稱分布函數(shù)。
分布函數(shù)的性質(zhì):
二、
離散型隨機(jī)變量的分布
定義6.11
設(shè)
X
為離散型隨機(jī)變量,其可能取值為x1,x2,…,且
稱上式為隨機(jī)變量
X
的概率分布或分布列.
隨機(jī)變量
X的概率分布可用如下形式的表格來表示:
離散型隨機(jī)變量的概率分布有如下的性質(zhì):
例6.21
設(shè)隨機(jī)變量的
X
的概率分布為
試確定常數(shù)a。
三、
連續(xù)型隨機(jī)變量的分布
定義6.12如果對(duì)于隨機(jī)變量X
的分布函數(shù)F(x),存在函數(shù)f(x)≥0(-∞<x<+∞),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有
則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,函
數(shù)f(x)稱為
X的概率密度函數(shù)(簡(jiǎn)稱密度函數(shù))。
密度函數(shù)的性質(zhì)和意義:
定義6.13
設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,g(x)為連續(xù)實(shí)函數(shù),則Y=g(X)稱為一維隨機(jī)變量的函數(shù),顯然Y
也是一個(gè)隨機(jī)變量。
離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布的求法如下:首先將
X
的取值代入函數(shù)關(guān)系式,求出隨機(jī)變量Y
相應(yīng)的取值yi=g(xi)(i=1,2,…)。如果yi(i=1,2,…)的值各不相等,則Y
的概
率分布為
如果yi=g(xi)(i=1,2,…)中出現(xiàn)相同的函數(shù)值,如yi=g(xi)=g(xk)(i≠k),則在Y
的概率分布列中,Y
取yi
的概率為
例6.23
設(shè)隨機(jī)變量X
的概率分布為
求Y=2X+1和Z=X2的概率分布。
解
由Y=2X+1和
X
可能的取值,得Y
相應(yīng)的取值為-3,-1,1,3,5,7,又由Y=2X+1中Y與X
是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系可得Y
的概率分布為
Z=X2
可能取的值為0,1,4,9,相應(yīng)的概率值為
即Z
的概率分布為
第6節(jié)
數(shù)學(xué)期望與方差
一、
數(shù)學(xué)期望的概念分布函數(shù)在概率意義上給隨機(jī)變量以完整的刻畫,但在許多實(shí)際問題的研究中,要確定某一隨機(jī)變量的概率分布往往并不容易。就某些實(shí)際問題而言,我們更關(guān)心隨機(jī)變量的某些特征。例如:在研究水稻品種的優(yōu)劣時(shí),往往關(guān)心的是稻穗的平均稻谷粒數(shù);在評(píng)價(jià)兩名射手的射擊水平時(shí),通常是通過比較兩名射手在多次射擊試驗(yàn)中命中環(huán)數(shù)的平均值來區(qū)別水平高低。
例6.25
某商店從工廠進(jìn)貨,該貨物有四個(gè)等級(jí):一等、二等、三等和等外,產(chǎn)品屬于這些等級(jí)的概率依次是:0.5、0.3、0.15、0.05.若商店每銷出一件一等品獲利10.5元,銷出一件二、三等品分別獲利8元和3元,而銷出一件等外品則虧損6元,問平均銷出一件產(chǎn)品獲利多少元?
二、
離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
三、
連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望
例6.28
設(shè)
X
的概率分布為
求E[X-E(X)]2。
五、
數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)
1.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)
(1)設(shè)c為任意一個(gè)常數(shù),則E(c)=c;
(2)設(shè)
X
為一隨機(jī)變量,且E(X)存在,c為常數(shù),則有E(cX)=cE(X)。
由(1)、(2)可得E(aX+b)=aE(X)+b(a,b
為任意常數(shù))。
2.方差的性質(zhì)
(1)設(shè)c為常數(shù),則D(c)=0;
(2)如果
X
為隨機(jī)變量,c為常數(shù),則D(cX)=c2D(X);
(3)如果
X
為隨機(jī)變量,c為常數(shù),則有D(X+c)=D(X)。
由(2)、(3)可得
D(aX+b)=a2D(X)(a,b
為任意常數(shù))。
第7節(jié)
常見隨機(jī)變量的分布
一、
離散型隨機(jī)變量的分布
1.一點(diǎn)分布(退化分布)一個(gè)隨機(jī)變量
X
以概率1取某一常數(shù)a,即P{X=a}=1,則稱X服從點(diǎn)a
處的一點(diǎn)分布(退化分布)。數(shù)學(xué)期望E(X)=a,方差D(X)=0。
2.兩點(diǎn)分布(伯努利分布)
若隨機(jī)變量X只有兩個(gè)可能的取值0和1,其概率分布為
或
則稱
X
服從參數(shù)為p(p>0)的兩點(diǎn)分布(也稱0-1分布)。
數(shù)學(xué)期望E(X)=p,方差D(X)=p(1-p)=pq(q=1-p)。
3.二項(xiàng)分布
設(shè)X
表示n
重伯努利試驗(yàn)中事件A
發(fā)生的次數(shù),則X
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無(wú)特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁(yè)內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫(kù)網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 二零二五年度儲(chǔ)煤場(chǎng)煤炭交易代理服務(wù)合同3篇
- 2025年度金融機(jī)構(gòu)外匯借款合同綠色金融創(chuàng)新實(shí)踐
- 二零二五年度碼頭租賃項(xiàng)目環(huán)保驗(yàn)收及服務(wù)合同4篇
- 二零二五年度錄音系統(tǒng)定制開發(fā)與實(shí)施合同3篇
- 2025年度蘋果水果產(chǎn)地直供直銷采購(gòu)合同4篇
- 2025版木工模板租賃與園林景觀設(shè)計(jì)施工承包合同范本3篇
- 二零二五年度寵物醫(yī)院寵物食品研發(fā)與生產(chǎn)合作協(xié)議3篇
- 二零二五年度辦公家具銷售合同(含安裝)2篇
- 二零二五年度天使投資協(xié)議書:生物科技研發(fā)項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)投資合同
- 二零二五年度商標(biāo)授權(quán)及商標(biāo)市場(chǎng)推廣合同范本2篇
- 2024-2030年中國(guó)招標(biāo)代理行業(yè)深度分析及發(fā)展前景與發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告
- 醫(yī)師定期考核 (公共衛(wèi)生)試題庫(kù)500題(含答案)
- 基因突變和基因重組(第1課時(shí))高一下學(xué)期生物人教版(2019)必修2
- 內(nèi)科學(xué)(醫(yī)學(xué)高級(jí)):風(fēng)濕性疾病試題及答案(強(qiáng)化練習(xí))
- 音樂劇好看智慧樹知到期末考試答案2024年
- 辦公設(shè)備(電腦、一體機(jī)、投影機(jī)等)采購(gòu) 投標(biāo)方案(技術(shù)方案)
- 案卷評(píng)查培訓(xùn)課件模板
- 2024年江蘇省樣卷五年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末試卷及答案
- 人教版初中英語(yǔ)七八九全部單詞(打印版)
- 波浪理論要點(diǎn)圖解完美版
- 金融交易數(shù)據(jù)分析與風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估項(xiàng)目環(huán)境敏感性分析
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論