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文檔簡(jiǎn)介

第5章多元函數(shù)積分第1節(jié)二重積分第2節(jié)二重積分的計(jì)算第3節(jié)廣義重積分

第1節(jié)

一、

二重積分的概念

1.引例例5.1如圖5.1所示,設(shè)有一立體,它的底是xOy面上的閉區(qū)域D,它的側(cè)面是以D

的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面,它的頂是曲面z=f(x,y),這里f(x,y)>0且在D

上連續(xù)。這種立體叫作曲頂柱體.現(xiàn)在要求該曲頂柱體的體積V。圖5.1

由于曲頂柱體的高f(x,y)是變量,它的體積不能直接用體積公式來計(jì)算。但仍可采用求曲邊梯形面積的思想方法,即通過

分割:將區(qū)域D

任意分成n

個(gè)小區(qū)域

近似:在每個(gè)Δδi

上任取一點(diǎn)(ξi,ηi)(見圖5.1),則

求和:將上式累加,得

取極限:令Δδi

中的最大直徑λ

趨于0,得

例5.2如圖5.2所示,設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D,它在點(diǎn)(x,y)處的面密度為ρ(x,y),這里ρ(x,y)>0且在D

上連續(xù)?,F(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量

M。圖5.2

2.二重積分的定義

定義5.1設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D

上的有界函數(shù),將閉區(qū)域D

任意分成n個(gè)小閉區(qū)域

其中Δσi

表示第i個(gè)小閉區(qū)域,也表示它的面積。在每個(gè)Δσi

上任取一點(diǎn)(ξi,ηi),作乘積

并作和

二、

二重積分的性質(zhì)

性質(zhì)5.1設(shè)α、β為常數(shù),則

性質(zhì)5.2

如果f(x,y)在有界閉區(qū)域D

上可積,D

被連續(xù)曲線分成D1、D2

兩部分,D=D1∪D2

且D1、D2

無(wú)公共內(nèi)點(diǎn),則f(x,y)在區(qū)域D1、D2

上可積,且

這個(gè)性質(zhì)說明二重積分對(duì)積分區(qū)域具有可加性。

性質(zhì)5.3如果在D

上,f(x,y)=1,σ為D

的面積,則

性質(zhì)5.4如果在D

上,f(x,y)≤g(x,y),則有

特殊地,由于

又有

性質(zhì)5.5設(shè)

M、m

分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值,σ是D

的面積,則有

性質(zhì)5.6(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域

D

上連續(xù),σ

是D

的面積,則在D

上至少存在一點(diǎn)(ξ,η),使得

第2節(jié)

二重積分的計(jì)算

二重積分是用和式的極限定義的,對(duì)一般的函數(shù)和區(qū)域用定義直接計(jì)算二重積分是不可行的。計(jì)算二重積分的主要方法是將它化為兩次定積分的計(jì)算,稱為累次積分法。

一、

在直角坐標(biāo)系下求二重積分

先從幾何上研究二重積分的計(jì)算問題,在討論中我們假定f(x,y)≥0。若積分區(qū)域D

可表示為

則稱D為X型區(qū)域,它是由直線x=a、x=b

及曲線y=φ1(x)、y=φ2(x)所圍成(圖5.3),其中函數(shù)φ1(x)、φ2(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù).X

型區(qū)域的特點(diǎn)是:任何平行于y軸且穿過區(qū)域內(nèi)部的直線與D

的邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)。圖5.3

求以D

為底,曲面z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積(圖5.4)。先計(jì)算截面積。在區(qū)間[a,b]上取定一點(diǎn)x0,作平行于yOz面的平面x=x0。這平面頂柱體所得的截面是一個(gè)以區(qū)間[φ1(x0),φ2(x0)]為底、曲線z=f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形(圖5.4)所以這個(gè)截面的面積為

一般地,過區(qū)間[a,b]上任一點(diǎn)x且平行于yOz

面的平面截曲頂柱體的截面的面積為圖5.4

于是,應(yīng)用計(jì)算平行截面面積為已知的立體體積的方法,得曲頂柱體的體積為

這個(gè)體積也就是所求二重積分的值,從而有等式

上式右端的積分是先對(duì)y、后對(duì)x

的二次積分。就是說,先把x

看作常數(shù),把f(x,y)只看作y的函數(shù),并對(duì)y計(jì)算從φ1(x)到φ2(x)的定積分:然后把算得的結(jié)果(是x

的函數(shù))再對(duì)x

計(jì)算在區(qū)間[a,b]上的定積分。這個(gè)先對(duì)y、后對(duì)x

的二次積分也常記為

因此,等式(5.1)也寫成

這就是把二重積分化為先對(duì)y、后對(duì)x

的二次積分公式。

在上述討論中,我們假定f(x,y)≥0,實(shí)際上公式(5.1)的成立并不受此條件的限制。類似地,若積分區(qū)域D

可表示為

則稱D

為Y

型區(qū)域,它是由直線y=c、y=d及曲線x=ψ1(y)、x=ψ2(y)所圍成,其中函數(shù)ψ1(x)、ψ2(x)在區(qū)間[c,d]上連續(xù)。同樣Y

型區(qū)域的特點(diǎn)是:任何平行于x

軸且穿過區(qū)域內(nèi)部的直線與D

的邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)。圖5.5

例5.5計(jì)算二重積分其中D

是由直線y=x,x=1及x軸所圍成的閉區(qū)域。

畫出積分區(qū)域D

如圖5.6所示,圖5.6

它既是X

型,又是Y型。若D

看成X

型,則D

可表示為

于是

若將D看成X型,則D可表示為

于是

例5.6

計(jì)算二重積分其中D

是由拋物線y=x2

及直線y=x+2所圍成的閉區(qū)域。

畫出積分區(qū)域D

如圖5.7所示,圖5.7

若D

看成X

型,則D可表示為

于是

若將D看成Y型,則由于在區(qū)間[0,1]及[1,4]上x

的積分下限不同,所以要用直線y=1把區(qū)域D分成D1

和D2

兩個(gè)部分(圖5.8),其中

于是圖5.8

例5.9求兩個(gè)圓柱面x2+y2=a2,x2+z2=a2

所圍成的立體體積.

由對(duì)稱性知,所求立體的體積V

是該立體位于第一卦限部分的體積V1的8倍(見圖5.11).圖5.11

立體在第一卦限部分可以看成一個(gè)曲頂柱體,它的底為

它的頂是柱面

于是

二、

在極坐標(biāo)系下求二重積分

在平面上選定一點(diǎn)O,從點(diǎn)O

出發(fā)引一條射線Ox,并在射線上規(guī)定一個(gè)單位長(zhǎng)度,這就得到了極坐標(biāo)系(如圖5.12),其中點(diǎn)P

稱為極點(diǎn),射線Ox

稱為極軸。

平面上每一點(diǎn)

M

都可以用它的極徑r

和極角θ來確定其位置,稱有序數(shù)對(duì)(r,θ)為點(diǎn)

M

的極坐標(biāo)。圖5.12

如果我們將直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)O

和x軸的正半軸選為極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)和極軸,如圖5.13所示,則平面上點(diǎn)M

的直角坐標(biāo)(x,y)與其極坐標(biāo)(r,θ)有以下的關(guān)系圖5.13

在二重積分的定義中,若函數(shù)f(x,y)可積,則二重積分的存在與區(qū)域D

的劃分無(wú)關(guān)。在直角坐標(biāo)系中,我們是用平行于x

軸和y

軸的兩組直線來分割區(qū)域D的,此時(shí)面積元素dσ=dxdy。所以有

在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)的極坐標(biāo)是(r,θ),r=常數(shù),是一簇圓心在極點(diǎn)的同心圓;θ=常數(shù),是一簇從極點(diǎn)出發(fā)的射線。我們用上述的同心圓和射線將區(qū)域

D

分成多個(gè)小區(qū)域,如圖5.14所示,其中,任一小區(qū)域Δσ

是由極角為θ

和θ+Δθ

的兩射線與半徑為r和r+Δr的兩圓弧所圍成的區(qū)域,則由扇形面積公式得圖5.14

在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分,仍然需要化為二次積分來計(jì)算,通常是按先r后θ的順序進(jìn)行,下面分三種情況予以介紹。

(1)極點(diǎn)O

在區(qū)域D之外,且D

由射線θ=α,θ=β和連續(xù)曲線r=r1(θ),r=r2(θ)所圍成,如圖5.15所示,這時(shí)區(qū)域D

可表示為

于是圖5.15

(2)極點(diǎn)O

在區(qū)域D

的邊界上,且D

由射線θ=α,θ=β和連續(xù)曲線r=r(θ)所圍成,如圖5.16所示,這時(shí)區(qū)域D

可表示為

于是圖5.16

(3)極點(diǎn)O

在區(qū)域D

內(nèi)部,且

D的邊界曲線為連續(xù)封閉曲線r=r(θ),如圖5.17所示,這時(shí)區(qū)域D

可表示為

于是圖5.17

例5.10計(jì)算二重積分其中D

是由圓x2+y2=a2(a>0)圍成的閉區(qū)域.

由于區(qū)域D

在極坐標(biāo)系下表示為

所以

例5.11

計(jì)算二重積分其中D

是由圓x2+y2=π2

和x2+y2=4π2

所圍成的閉區(qū)域。

積分區(qū)域D是由兩個(gè)圓所圍成的圓環(huán),在極坐標(biāo)系下表示為

于是

例5.12

計(jì)算二重積分其中D

是第一象限中同時(shí)滿足x2+y2≤1和x2+(y-1)2≤1的點(diǎn)所組成的區(qū)域.

所以得圖5.18

第3節(jié)

和一元函數(shù)類似,二重積分也可以推廣到無(wú)界區(qū)域上的廣義二重積分,它在概率統(tǒng)計(jì)中是一種廣泛應(yīng)用的積分形式。

定義5.2

設(shè)函數(shù)f(x,y)在無(wú)界區(qū)域

D

上有定義,用任意光滑或分段光滑的曲線γ在D中劃出有界區(qū)域Dγ,如圖5.19所示,若二重積分存在,且當(dāng)曲線γ

連續(xù)變動(dòng),區(qū)域Dγ無(wú)限擴(kuò)展而趨于區(qū)域D

時(shí),如果不論γ

的形狀如何,也不論γ

擴(kuò)展的過程怎樣,極限

有同一極限值I,則稱I

是函數(shù)f(x,y)在無(wú)界區(qū)域D

上的廣義二重積分,記為

這時(shí)也稱函數(shù)f(x,y)在D

上的積分收斂。否則,稱為發(fā)散的。圖5.19第6章

概率論第1節(jié)

隨機(jī)事件第2節(jié)

概率的定義與性質(zhì)第3節(jié)

條件概率第4節(jié)

獨(dú)立性第5節(jié)

隨機(jī)變量的分布第6節(jié)

數(shù)學(xué)期望與方差第7節(jié)

常見隨機(jī)變量的分布

第1節(jié)

機(jī)

一、

隨機(jī)事件

1.隨機(jī)試驗(yàn)滿足下列三個(gè)條件的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn):

(1)試驗(yàn)可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;

(2)試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè),且所有可能結(jié)果是已知的;

(3)每次試驗(yàn)?zāi)膫€(gè)結(jié)果出現(xiàn)是未知的。

隨機(jī)試驗(yàn)以后簡(jiǎn)稱為試驗(yàn),并常記為E。

例如:

E1:擲一骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù);

E2:上拋硬幣兩次,觀察正反面出現(xiàn)的情況;

E3:觀察某電話交換臺(tái)在某段時(shí)間內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。

2.隨機(jī)事件

在試驗(yàn)中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的事情稱為隨機(jī)事件,常記為A,B,C

等。

例如,在E1

中,A

表示“擲出2點(diǎn)”,B

表示“擲出偶數(shù)點(diǎn)”均為隨機(jī)事件。

3.必然事件與不可能事件

每次試驗(yàn)必發(fā)生的事情稱為必然事件,記為Ω。每次試驗(yàn)都不可能發(fā)生的事情稱為不可能事件,記為?。

例如,在E1

中,“擲出不大于6點(diǎn)”的事件便是必然事件,而“擲出大于6點(diǎn)”的事件便是不可能事件。

隨機(jī)事件,必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為事件。

4.基本事件

試驗(yàn)中直接觀察到的最簡(jiǎn)單的結(jié)果稱為基本事件。由基本事件構(gòu)成的事件稱為復(fù)合事件。

例如,在E1

中,“擲出1點(diǎn)”,“擲出2點(diǎn)”,…,

“擲出6點(diǎn)”均為此試驗(yàn)的基本事件;“擲出偶數(shù)點(diǎn)”便是復(fù)合事件。

5.樣本空間

從集合觀點(diǎn)看,稱構(gòu)成基本事件的元素為樣本點(diǎn)。試驗(yàn)中所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為樣本空間,記為Ω。

例如,在

E1

中,Ω={1,2,3,4,5,6};在

E2

中,Ω={(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)};在E3

中,Ω={0,1,2,…}

二、

事件間的關(guān)系與運(yùn)算

1.包含關(guān)系

若事件A

的發(fā)生必導(dǎo)致事件B

發(fā)生,則稱事件B

包含事件A,記為A?B

或B?A。

例如,在E1

中,令A(yù)

表示“擲出2點(diǎn)”的事件,即A={2},B

表示“擲出偶數(shù)”的事件,即B={2,4,6},則A?B。

2.相等關(guān)系

若A?B

且B?A,則稱事件A

等于事件B,記為A=B(圖6.1)。

例如,從一副54張的撲克牌中任取4張,令A(yù)

表示“取得至少有3張紅桃”的事件;B表示”取得至多有一張不是紅桃”的事件,顯然A=B。

圖6.1

3.和關(guān)系

稱事件A

與B

至少有一個(gè)發(fā)生的事件為A與B

的和事件,簡(jiǎn)稱為和,記為

A∪B

或A+B(圖6.2)。

例如,甲、乙兩人向目標(biāo)射擊,令A(yù)

表示“甲擊中目標(biāo)”的事件,B

表示“乙擊中目標(biāo)”的事件,則A∪B

表示“目標(biāo)被擊中”的事件。

圖6.2

4.積關(guān)系

稱事件A

與事件B

同時(shí)發(fā)生的事件為A

與B的積事件,簡(jiǎn)稱為積,記為A∩B

或AB(圖6.3)。

例如,在E3中,觀察某電話交換臺(tái)在某時(shí)刻接到的呼喚次數(shù)中,令A(yù)={接到2的位數(shù)次呼喚},B={接到3的倍數(shù)次呼喚},則A∩B={接到6的倍數(shù)次呼喚}。

圖6.3

5.差關(guān)系

稱事件A

發(fā)生但事件B不發(fā)生的事件為A

減B

的差事件,簡(jiǎn)稱為差,記為

A-B(圖6.4)

例如,測(cè)量晶體管的β參數(shù)值,令

A={測(cè)得β

值不超過50},B={測(cè)得β

值不超過100},則A-B=?,B-A={測(cè)得β值為50<β≤100}。

圖6.4

6.互不相容關(guān)系

若事件A

與事件B不能同時(shí)發(fā)生,即AB=?,則稱A

與B

是互不相容的事件,或稱A

與B

為互斥事件(圖6.5)。

例如,觀察某交通路口在某時(shí)刻的紅綠燈:若A={紅燈亮},B={綠燈亮},則A

與B便是互不相容的。

圖6.5

圖6.6

第2節(jié)

概率的定義與性質(zhì)

一、

概率的定義所謂事件A的概率是指事件A

發(fā)生可能性程度的數(shù)值度量,記為P

(A)。規(guī)定P(A)≥0,P(Ω)=1。以下從不同角度給出概率的定義。

1.古典概型中概率的定義

滿足下列兩個(gè)條件的試驗(yàn)?zāi)P头Q為古典概型。

(1)所有基本事件是有限個(gè);

(2)各基本事件發(fā)生的可能性相同。

定義6.1

在古典概型中,設(shè)其樣本空間Ω所含的樣本點(diǎn)總數(shù),即試驗(yàn)的基本事件總數(shù)為

,而事件

A

所含的樣本數(shù),即有利于事件

A

發(fā)生的基本事件數(shù)為NA

,則事件

A的概率便定義為

古典概型中所定義的概率有以下基本性質(zhì):

(1)P(A)≥0;(2)P(Ω)=1

例6.1

將n

個(gè)球隨機(jī)地放到n

個(gè)瓶子中去,問每個(gè)瓶子恰有1個(gè)球的概率是多少?

例6.2

將3個(gè)不同的球隨機(jī)地放入4個(gè)不同的盒子中,問盒子中球的個(gè)數(shù)的最大數(shù)分別為1、2、3的概率各是多少?

例6.3

將一枚質(zhì)地均勻的硬幣拋三次,求恰有一次正面向上的概率。

H

表示正面,T

表示反面,則該試驗(yàn)的樣本空間

2.概率的統(tǒng)計(jì)定義

頻率:在n次重復(fù)試驗(yàn)中,設(shè)事件A

出現(xiàn)了nA

次,則稱

為事件A

的頻率。

頻率具有一定的穩(wěn)定性,示例如表6.1所示。

頻率有以下基本性質(zhì):

(1)fn(A)≥0;

(2)fn(Ω)=1;

(3)若A1A2,…Ak,兩兩互不相容,則

定義6.2

在相同條件下,將試驗(yàn)重復(fù)n

次,如果隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n

的增大,事件A的頻率fn(A)越來越穩(wěn)定地在某一常數(shù)p

附近擺動(dòng),則稱常數(shù)p

為事件A

的概率,即P(A)=p。

3.概率的公理化定義

定義6.3

設(shè)某試驗(yàn)的樣本空間為Ω,對(duì)其中每個(gè)事件A

定義一個(gè)實(shí)數(shù)P(A),如果它滿足下列三條公理:(1)P(A)≥0(非負(fù)性);

(2)P(Ω)=1,P(?)=0(規(guī)范性):

(3)若A1,A2,…,An兩兩互不相容,則

(稱為可加性);則稱P(A)為A

的概率。

例6.7甲、乙兩城市在某季節(jié)內(nèi)下雨的概率分別為0.4和0.35,而同時(shí)下雨的概率為0.15,求在此季節(jié)內(nèi)甲、乙兩城市中至少有一個(gè)城市下雨的概率。

令A(yù)={甲城下雨},B={乙城下雨},按題意所要求的是

第3節(jié)

一、

條件概率的概念及計(jì)算

例6.8

一盒子內(nèi)有10只晶體管,其中4只是壞的,6只是好的,從中無(wú)放回地取二次晶體管,每次取一只,當(dāng)發(fā)現(xiàn)第一次取得的是好的晶體管時(shí),問第二次取得的也是好的晶體管的概率為多少?

例6.9某種集成電路使用到2000小時(shí)還能正常工作的概率為0.94,使用到3000小時(shí)還能正常工作的概率為0.87。有一塊集成電路已工作了2000小時(shí),問它還能再工作1000小時(shí)的概率為多大?

二、

條件概率的三個(gè)重要公式

1.乘法公式

定理6.1

如果P(B)>0,那么

同樣,如果P(A)>0,則

例6.10

已知某產(chǎn)品的不合格品率為4%,而合格品中有75%的一級(jí)品,今從這批產(chǎn)品中任取一件,求取得的為一級(jí)品的概率。

令A(yù)={任取一件產(chǎn)品為一級(jí)品},B={任取一件產(chǎn)品為合格品},顯然

A?B,即有AB=A,故P(AB)=P(A)。于是,所求概率為

2.全概率公式

定義6.5

如果一組事件

H1,H2,…,Hn

在每次試驗(yàn)中必發(fā)生且僅發(fā)生一個(gè),即則稱此事件組為該試驗(yàn)的一個(gè)完備事件組。

定理6.2設(shè)

H1,H2,…,Hn

為一完備事件組,且P(Hi)>0(i=1,2,…,n),則對(duì)于任意事件A

例6.11

某屆世界女排錦標(biāo)賽半決賽的對(duì)陣如圖6.7所示,根據(jù)以往資料可知,中國(guó)勝美國(guó)的概率為0.4,中國(guó)勝日本的概率為0.9,而日本勝美國(guó)的概率為0.5,求中國(guó)得冠軍的概率。

圖6.7

3.貝葉斯公式

定理6.3

設(shè)

H1,H2,…,Hn為一完備事件組,且P(Hi)>0(i=1,2,…,n),又設(shè)A為任意事件,且P(A)>0,則有

例6.12某種診斷癌癥的實(shí)驗(yàn)有如下效果:患有癌癥者做此實(shí)驗(yàn)反映為陽(yáng)性的概率為0.95,不患有癌癥者做此實(shí)驗(yàn)反映為陰的概率也為0.95,并假定就診者中有0.005的人患有癌癥。已知某人做此實(shí)驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性,問他是一個(gè)癌癥患者的概率是多少?

第4節(jié)

獨(dú)

一、

事件的獨(dú)立性如果事件B

的發(fā)生不影響事件A

的概率(例如:某人擲一顆骰子兩次,第一次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)A

并不會(huì)影響第二次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)B),且P(B)>0時(shí),有P(A|B)=P(A),則稱事件A對(duì)事件B

獨(dú)立;反之,如果事件A

的發(fā)生不影響事件B

的概率,且P(A)>0時(shí),有P(B|A)=P(B),則稱事件B

對(duì)事件A

獨(dú)立.當(dāng)P(A)>0,P(B)>0,上述兩個(gè)式子是等價(jià)的,因此有下面定義:

定義6.6對(duì)任意兩個(gè)事件A

與B,若P(AB)=P(A)·P(B),則稱事件

A

與B

相互獨(dú)立.

定理6.4事件A

與B

獨(dú)立的充要條件是

例6.13

袋中有3個(gè)白球2個(gè)黑球,現(xiàn)從袋中分別有放回、無(wú)放回的各取兩次球,每次取一球,令A(yù)={第一次取出的是白球},B={第二次取出的是白球},問A,B是否獨(dú)立?

例6.14

統(tǒng)計(jì)浙江浦陽(yáng)江甲乙兩地在1964-1966年3年內(nèi)6月份90天中降雨的天數(shù)。甲地降雨46天,乙地降雨45天,兩地同時(shí)降雨42天.假定兩地6月份任一天為雨日的頻率穩(wěn)定,試問:

(1)6月份兩地降雨是否相互獨(dú)立?

(2)6月份任一天至少有一地降雨的概率為多少?

定義6.7

設(shè)A,B,C

為三個(gè)事件,如果P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),則稱A,B,C

是相互獨(dú)立的。

定義6.8設(shè)A1,A2,…,An為n個(gè)事件,如果對(duì)任意正整數(shù)k(k≤n)及上述事件中的任意k

個(gè)事件Ai1

,Ai2,…,Aik,有P(Ai1Ai2…Aik)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik),則稱這n

個(gè)事件A1,A2,…,An是相互獨(dú)立的。

例如:(1)將一骰子擲10次觀察出現(xiàn)6點(diǎn)的次數(shù)——10重伯努利試驗(yàn);(2)在裝有8個(gè)正品,2個(gè)次品的箱子中,有放回地取5次產(chǎn)品,每次取一個(gè),觀察取得次品的次數(shù)——5重伯努利試驗(yàn);(3)向目標(biāo)獨(dú)立地射擊n

次,每次擊中目標(biāo)的概率為p,觀察擊中目標(biāo)的次數(shù)——n

重伯努利試驗(yàn)等等。

在n

重伯努利實(shí)驗(yàn)中,假定每次實(shí)驗(yàn)事件A

出現(xiàn)的概率為p(0<p<1),則在n

重伯努利試驗(yàn)中,事件A

恰好出現(xiàn)了k次的概率為

其中q=1-p。

例6.18

某彩票每周開獎(jiǎng)一次,每次只有百萬(wàn)分之一中獎(jiǎng)的概率。若你每周買一張彩票,盡管你堅(jiān)持十年(每年52周)之久,但你從未中過獎(jiǎng)的概率是多少?

每周買一張彩票,不中獎(jiǎng)的概率是1-10-6,十年中共購(gòu)買520次,且每次開獎(jiǎng)都相互獨(dú)立,所以十年中從未中過獎(jiǎng)的概率為

例6.19一副撲克牌(52張),從中任取13張,求至少有一張”A”的概率.

設(shè)A={任取的13張牌中至少有一張”A”},并設(shè)Ai={任取的13張牌中恰有i張”A”},i=1,2,3,4,則A=A1∪A2∪A3∪A4,且A1,A2,A3,A4

兩兩互斥.

因此

用另一方法來計(jì)算這一概率:

從而

例6.20某射手向某目標(biāo)射擊5次,每次擊中目標(biāo)的概率為p,不擊中目標(biāo)的概率為q,且每次是否擊中目標(biāo)是相互獨(dú)立的,求5次射擊當(dāng)中恰好擊中目標(biāo)3次的概率P5(3)

第5節(jié)

隨機(jī)變量的分布

一、

隨機(jī)變量定義6.9一個(gè)變量

X

的取值取決于隨機(jī)試驗(yàn)E(現(xiàn)象)的基本結(jié)果ω,則該變量X(ω)稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量常用大寫字母X、Y、Z

等表示,其取值用小寫字母x、y、z

等表示。例如:擲一顆骰子得到的點(diǎn)數(shù),分別用1、2、3、4、5、6來表示;測(cè)試一個(gè)燈泡的使用壽命,結(jié)果對(duì)應(yīng)著(0,+∞)中的一個(gè)實(shí)數(shù);投籃一次”命中”可用1表示,”沒有命中”可用0表示;從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一個(gè)檢驗(yàn),”次品”用0表示,”合格品”用1表示等等。

定義6.10

設(shè)X

是一個(gè)隨機(jī)變量,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,令F(x)=P{X≤x},稱F(x)為隨機(jī)變量

X

的概率分布函數(shù),簡(jiǎn)稱分布函數(shù)。

分布函數(shù)的性質(zhì):

二、

離散型隨機(jī)變量的分布

定義6.11

設(shè)

X

為離散型隨機(jī)變量,其可能取值為x1,x2,…,且

稱上式為隨機(jī)變量

X

的概率分布或分布列.

隨機(jī)變量

X的概率分布可用如下形式的表格來表示:

離散型隨機(jī)變量的概率分布有如下的性質(zhì):

例6.21

設(shè)隨機(jī)變量的

X

的概率分布為

試確定常數(shù)a。

三、

連續(xù)型隨機(jī)變量的分布

定義6.12如果對(duì)于隨機(jī)變量X

的分布函數(shù)F(x),存在函數(shù)f(x)≥0(-∞<x<+∞),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有

則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,函

數(shù)f(x)稱為

X的概率密度函數(shù)(簡(jiǎn)稱密度函數(shù))。

密度函數(shù)的性質(zhì)和意義:

定義6.13

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量,g(x)為連續(xù)實(shí)函數(shù),則Y=g(X)稱為一維隨機(jī)變量的函數(shù),顯然Y

也是一個(gè)隨機(jī)變量。

離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布的求法如下:首先將

X

的取值代入函數(shù)關(guān)系式,求出隨機(jī)變量Y

相應(yīng)的取值yi=g(xi)(i=1,2,…)。如果yi(i=1,2,…)的值各不相等,則Y

的概

率分布為

如果yi=g(xi)(i=1,2,…)中出現(xiàn)相同的函數(shù)值,如yi=g(xi)=g(xk)(i≠k),則在Y

的概率分布列中,Y

取yi

的概率為

例6.23

設(shè)隨機(jī)變量X

的概率分布為

求Y=2X+1和Z=X2的概率分布。

由Y=2X+1和

X

可能的取值,得Y

相應(yīng)的取值為-3,-1,1,3,5,7,又由Y=2X+1中Y與X

是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系可得Y

的概率分布為

Z=X2

可能取的值為0,1,4,9,相應(yīng)的概率值為

即Z

的概率分布為

第6節(jié)

數(shù)學(xué)期望與方差

一、

數(shù)學(xué)期望的概念分布函數(shù)在概率意義上給隨機(jī)變量以完整的刻畫,但在許多實(shí)際問題的研究中,要確定某一隨機(jī)變量的概率分布往往并不容易。就某些實(shí)際問題而言,我們更關(guān)心隨機(jī)變量的某些特征。例如:在研究水稻品種的優(yōu)劣時(shí),往往關(guān)心的是稻穗的平均稻谷粒數(shù);在評(píng)價(jià)兩名射手的射擊水平時(shí),通常是通過比較兩名射手在多次射擊試驗(yàn)中命中環(huán)數(shù)的平均值來區(qū)別水平高低。

例6.25

某商店從工廠進(jìn)貨,該貨物有四個(gè)等級(jí):一等、二等、三等和等外,產(chǎn)品屬于這些等級(jí)的概率依次是:0.5、0.3、0.15、0.05.若商店每銷出一件一等品獲利10.5元,銷出一件二、三等品分別獲利8元和3元,而銷出一件等外品則虧損6元,問平均銷出一件產(chǎn)品獲利多少元?

二、

離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

三、

連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

例6.28

設(shè)

X

的概率分布為

求E[X-E(X)]2。

五、

數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)

1.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

(1)設(shè)c為任意一個(gè)常數(shù),則E(c)=c;

(2)設(shè)

X

為一隨機(jī)變量,且E(X)存在,c為常數(shù),則有E(cX)=cE(X)。

由(1)、(2)可得E(aX+b)=aE(X)+b(a,b

為任意常數(shù))。

2.方差的性質(zhì)

(1)設(shè)c為常數(shù),則D(c)=0;

(2)如果

X

為隨機(jī)變量,c為常數(shù),則D(cX)=c2D(X);

(3)如果

X

為隨機(jī)變量,c為常數(shù),則有D(X+c)=D(X)。

由(2)、(3)可得

D(aX+b)=a2D(X)(a,b

為任意常數(shù))。

第7節(jié)

常見隨機(jī)變量的分布

一、

離散型隨機(jī)變量的分布

1.一點(diǎn)分布(退化分布)一個(gè)隨機(jī)變量

X

以概率1取某一常數(shù)a,即P{X=a}=1,則稱X服從點(diǎn)a

處的一點(diǎn)分布(退化分布)。數(shù)學(xué)期望E(X)=a,方差D(X)=0。

2.兩點(diǎn)分布(伯努利分布)

若隨機(jī)變量X只有兩個(gè)可能的取值0和1,其概率分布為

則稱

X

服從參數(shù)為p(p>0)的兩點(diǎn)分布(也稱0-1分布)。

數(shù)學(xué)期望E(X)=p,方差D(X)=p(1-p)=pq(q=1-p)。

3.二項(xiàng)分布

設(shè)X

表示n

重伯努利試驗(yàn)中事件A

發(fā)生的次數(shù),則X

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