陜西省漢中市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考試題 數(shù)學(xué)（含解析）

大市聯(lián)考卷（三）數(shù)學(xué)滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.2.已知命題，，命題，，則（）A.和都是真命題 B.和都是真命題C.和都是真命題 D.和都是真命題3.已知，為全集的非空真子集，且，不相等，若，則（）A. B. C. D.4.已知為奇函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）A. B. C. D.5.法國(guó)當(dāng)?shù)貢r(shí)間2024年7月26日晚，第三十三屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在巴黎舉行開(kāi)幕式.“奧林匹克之父”顧拜旦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，奧運(yùn)會(huì)最重要的不是勝利，而是參與；對(duì)人生而言，重要的不是凱旋，而是拼搏.為弘揚(yáng)奧運(yùn)精神，某學(xué)校組織高一年級(jí)學(xué)生進(jìn)行奧運(yùn)專(zhuān)題的答題活動(dòng).為了調(diào)查男生和女生對(duì)奧運(yùn)會(huì)的關(guān)注程度，在高一年級(jí)隨機(jī)抽取10名男生和10名女生的競(jìng)賽成績(jī)（滿(mǎn)分100分），按從低到高的順序排列，得到下表中的樣本數(shù)據(jù)：男生82858687889090929496女生82848587878788889092則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是86B.男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)C.女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變D.女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后所得數(shù)據(jù)的方差不變6.已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則（）A. B. C. D.7.已知體積為的球與正四棱錐的底面和4個(gè)側(cè)面均相切，已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為.則該正四棱錐體積是（）A. B. C. D.8.已知雙曲線(xiàn)，在雙曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)處作雙曲線(xiàn)的切線(xiàn)，交在第一、四象限的漸近線(xiàn)分別干，兩點(diǎn).當(dāng)時(shí).該雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.是數(shù)列的最小項(xiàng) B.是數(shù)列的最大項(xiàng)C.是數(shù)列的最大項(xiàng) D.當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減10.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn).若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B.C. D.的取值范圍是11.若函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則函數(shù)的最大值為2B.若，則函數(shù)為奇函數(shù)C.存在，使得D.若，則，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，則________.13.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則________.14.以表示數(shù)集中最大（?。┑臄?shù).設(shè)，，，已知，則________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，.（1）求角的大?。唬?）為的重心，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，且，求的面積.16.（15分）已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，其中，.是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值.17.（15分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在上，，過(guò)點(diǎn)作兩條斜率互為相反數(shù)的直線(xiàn)，分別交于不同的兩點(diǎn)，.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）證明：直線(xiàn)的斜率為定值，并求出該值.18.（17分）已知函數(shù).（1）函數(shù)與的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，求的解析式；（2）在定義域內(nèi)恒成立，求的值；（3）求證：，.19.（17分）有編號(hào)為的個(gè)空盒子（，），另有編號(hào)為的個(gè)球（，）將個(gè)球分別放入個(gè)盒子中，每個(gè)盒子最多放入一個(gè)球.放球時(shí)，先將1號(hào)球隨機(jī)放入個(gè)盒子中的其中一個(gè)，剩下的球按照球編號(hào)從小到大的順序依次放置，規(guī)則如下：若球的編號(hào)對(duì)應(yīng)的盒子為空，則將該球放入對(duì)應(yīng)編號(hào)的盒子中；若球的編號(hào)對(duì)應(yīng)的盒子為非空，則將該球隨機(jī)放入剩余空盒子中的其中一個(gè).記號(hào)球能放入號(hào)盒子的概率為.（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，求；（3）求.

大市聯(lián)考卷（三）數(shù)學(xué)答案1.A[命題立意]本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算，意在考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科素養(yǎng).[解題思路]，故選A.2.C[命題立意]本題考查判斷全稱(chēng)量詞命題的真假，判斷存在量詞命題的真假，全稱(chēng)量詞命題的否定及其真假判斷，存在量詞命題的否定及其真假判斷，意在考查邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng).[解題思路]對(duì)于命題，因?yàn)椋?，所以命題為真命題，為假命題；對(duì)于命題，當(dāng)時(shí)，，，不成立，所以命題為假命題，為真命題.故選C.3.B[命題立意]本題考查判斷兩個(gè)集合的包含關(guān)系，交并補(bǔ)混合運(yùn)算，利用Venn圖求集合，意在考查數(shù)形結(jié)合等學(xué)科素養(yǎng).[解題思路]因?yàn)椋葍r(jià)于，等價(jià)于，且，不相等，可知集合是集合的真子集，故A錯(cuò)誤；且，故B正確；據(jù)此作出韋恩圖，可知，，故CD錯(cuò)誤.故選B.4.D[命題立意]本題考查求在曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程（斜率），基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，由奇偶性求參數(shù)，意在考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科素養(yǎng).[解題思路]因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且定義域?yàn)?，所以，即，所以，?jīng)檢驗(yàn)符合題意，則，曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，又，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即.故選D.5.D[命題立意]本題考查計(jì)算幾個(gè)數(shù)的中位數(shù)、平均數(shù)、極差、方差，總體百分位數(shù)的估計(jì)，意在考查數(shù)據(jù)分析等學(xué)科素養(yǎng).[解題思路]，所以男生樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)是86，故A正確；男生樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，男生樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為90，故B正確；女生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故C正確；女生樣本數(shù)據(jù)中去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后所得數(shù)據(jù)的平均數(shù)不變，但是極差變小，所以方差變小，故D錯(cuò)誤.故選D.6.C[命題立意]本題考查平面向量的混合運(yùn)算，利用平面向量基本定理求參數(shù)，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸等學(xué)科素養(yǎng).[解題思路]因?yàn)?，所以，即，即，又，，不共線(xiàn)，所以所以.故選C.7.A[命題立意]本題考查球的體積的有關(guān)計(jì)算，多面體與球體內(nèi)切外接問(wèn)題，意在考查數(shù)形結(jié)合、直觀(guān)想象等學(xué)科素養(yǎng).[解題思路]設(shè)正四棱錐的內(nèi)切球的半徑為，為底面中心，由體積為得，連接，平面，球心在上，，取的中點(diǎn)，連接，，設(shè)點(diǎn)在側(cè)面上的投影為點(diǎn)，則點(diǎn)在上，且，，設(shè)球心到四棱錐頂點(diǎn)的距離為，所以，，解得，所以.故選A.8.A[命題立意]本題考查求直線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)，已知雙曲線(xiàn)的方程求雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，求雙曲線(xiàn)的離心率或離心率的取值范圍，意在考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科素養(yǎng).[解題思路]如圖，設(shè)雙曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)為，切線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，根據(jù)題意點(diǎn)在雙曲線(xiàn)第一象限，由，得，所以，則在點(diǎn)的切線(xiàn)斜率為，所以在點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，令，得，所以點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，，漸近線(xiàn)方程為，聯(lián)立解得所以點(diǎn)，同理可得，又，，所以點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以，即得，即，解得.又，所以，即，所以雙曲線(xiàn)的離心率.故選A.9.BCD[命題立意]本題考查判斷數(shù)列的增減性，確定數(shù)列中的最大（?。╉?xiàng)，意在考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科素養(yǎng).[解題思路]設(shè)第項(xiàng)為的最大項(xiàng)，則即所以又，所以或，故數(shù)列中與均為最大項(xiàng)，且，當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，故BCD正確；當(dāng)趨向正無(wú)窮大時(shí)，無(wú)限趨向于0且大于0，且，所以不是數(shù)列的最小項(xiàng)，且數(shù)列無(wú)最小值，故A錯(cuò)誤.故選BCD.10.ABD[命題立意]本題考查拋物線(xiàn)中的參數(shù)范圍問(wèn)題，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題，根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)，意在考查數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科素養(yǎng).[解題思路]因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為，且直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，則，解得：，故A正確；所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為：，則，設(shè)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線(xiàn)的方程為：，聯(lián)立消去可得：，顯然，，解得或，故C錯(cuò)誤；由韋達(dá)定理可得：，，故B正確；因?yàn)椋?，令，則，則，所以的取值范圍是，故D正確.故選ABD.11.ACD[命題立意]本題考查已知求解析式，函數(shù)奇偶性的定義與判斷，求含（型）函數(shù)的值域和最值，三角恒等變換的化簡(jiǎn)問(wèn)題.意在考查轉(zhuǎn)化與化歸、知識(shí)遷移與創(chuàng)新應(yīng)用等學(xué)科素養(yǎng).[解題思路]因?yàn)?，可知的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以函數(shù)的最大值為2，故A正確；當(dāng)時(shí)，則，令，則，可得，所以函數(shù)不為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，，且對(duì)任意，，所以，故C正確；因?yàn)?，若，可得，，則，，解得，，故D正確.故選ACD.12.[命題立意]本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值——同角三角函數(shù)基本關(guān)系，用和、差角的正弦公式化簡(jiǎn)、求值，意在考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科素養(yǎng).[解題思路]由，得解得，，所以.[答案]13.[命題立意]本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用，求等比數(shù)列前項(xiàng)和，意在考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科素養(yǎng).[解題思路]因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，，從而，又，所以，所?[答案]14.[命題立意]本題考查基本不等式求和的最小值，意在考查邏輯推理、轉(zhuǎn)化與化歸等學(xué)科素養(yǎng).[解題思路]由，得，設(shè)，則，，，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以.[答案]15.[命題立意]本題考查二倍角的正弦公式，正弦定理邊角互化的應(yīng)用，三角形面積公式及其應(yīng)用，余弦定理解三角形，意在考查數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科素養(yǎng).[解]（1）在中，因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，，，即，所以，，，故，?（2）因?yàn)闉榈闹匦?，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，且，所以點(diǎn)為中點(diǎn)，且，在中，，，即，在和中，，化簡(jiǎn)得，所以，故，所以的面積為.16.[命題立意]本題考查證明線(xiàn)面平行，面面角的向量求法，意在考查數(shù)形結(jié)合、直觀(guān)想象、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng).[解]（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，由是的中點(diǎn)，得，且，由是的中點(diǎn)，得，且，則有，，四邊形是平行四邊形，于是，又平面，平面，所以平面.（2）四棱柱中，平面，，則直線(xiàn)，，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線(xiàn)，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，有，，，，，，則有，，，設(shè)平面與平面的法向量分別為，，則有令，得，令，得，因此.所以平面與平面的夾角余弦值為.17.[命題立意]本題考查根據(jù)，，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓中的直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，意在考查數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)運(yùn)算等學(xué)科素養(yǎng).[解]（1）設(shè)，，且，因?yàn)椋?，又，所以，解得，又點(diǎn)在上，所以①，又②，聯(lián)立①②，解得，，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)的方程為，由消得到，所以，得到，所以，同理可得，，所以為定值，即直線(xiàn)的斜率為定值，定值為.18.[命題立意]本題考查函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題，意在考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、轉(zhuǎn)化與化歸、邏輯推理等學(xué)科素養(yǎng).[解]（1）依題意，設(shè)圖象上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，則其關(guān)于對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在圖象上，則，則，，故，.（2）令，，則在恒成立，又，且在上是連續(xù)函數(shù)，則為的一個(gè)極大值點(diǎn)，，，下證當(dāng)時(shí)，在恒成立，令，，當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，在上單調(diào)遞減，故，在上恒成立，又，則時(shí)，恒成立，綜上，.（3）證明：由（2）可知：，則，即，則.又由（2）可知：在上恒成立，則在上恒成立且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，令，，則，即，則，綜上，，得證.19.[命題立意]本題考查計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率，利用全概率公式求概率，意在考查知識(shí)遷移與創(chuàng)新應(yīng)用、邏輯推理、轉(zhuǎn)化與化歸等學(xué)科素養(yǎng).[解]（1）1號(hào)球放入1號(hào)盒中的概率為，此時(shí)2，3號(hào)球分別放入2，3號(hào)盒中；1號(hào)球放入2號(hào)盒中的概率為，欲使3號(hào)球放入3號(hào)盒中，則2號(hào)球需放入1號(hào)盒中，概率為，1號(hào)球放入3號(hào)盒中時(shí)，此時(shí)3號(hào)球不能放入3號(hào)盒中.綜上所述，.（2）1號(hào)球放入1號(hào)，4號(hào)，5號(hào)，…，號(hào)盒中的概率為，此時(shí)3號(hào)球可放入3號(hào)盒中；1號(hào)球放入2號(hào)盒中的概率為，欲使3號(hào)球放入3號(hào)盒中，則2號(hào)球需放入1號(hào)，4號(hào)，5號(hào)，…，號(hào)盒中，概率為，1號(hào)球放入3號(hào)盒中時(shí)，此時(shí)3號(hào)球不能放入3號(hào)盒中；綜上所述，.（3）1號(hào)球