數(shù)學(xué)學(xué)案：函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精2。1.1函數(shù)1．函數(shù)的定義傳統(tǒng)定義在一個(gè)變化過(guò)程中，有兩個(gè)變量x和y，如果給定了一個(gè)x值，相應(yīng)地就確定唯一的一個(gè)y值，那么我們稱(chēng)y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量近代定義設(shè)集合A是一個(gè)非空的數(shù)集，對(duì)A中的任意數(shù)x，按照確定的法則f，都有唯一確定的數(shù)y與它對(duì)應(yīng),則這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做集合A上的一個(gè)函數(shù),記作y＝f(x),x∈A，其中x叫做自變量,自變量的取值范圍（數(shù)集A)叫做這個(gè)函數(shù)的定義域．所有函數(shù)值構(gòu)成的集合{y|y＝f(x)，x∈A｝叫做這個(gè)函數(shù)的值域．函數(shù)y＝f(x)也經(jīng)常寫(xiě)作函數(shù)f或函數(shù)f（x)(1)如果自變量取a，則把由對(duì)應(yīng)法則f確定的值y稱(chēng)為函數(shù)在a處的函數(shù)值，記作y＝f（a)或y｜x＝a；（2)由函數(shù)的定義，我們要檢驗(yàn)兩個(gè)變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系，只要檢驗(yàn)：①定義域和對(duì)應(yīng)法則是否給出;②根據(jù)給出的對(duì)應(yīng)法則，自變量x在其定義域中的每一個(gè)值,是否都能確定唯一的函數(shù)值y。（3)函數(shù)的三要素：由函數(shù)的定義可知，一個(gè)函數(shù)的構(gòu)成要素為:定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域，這三個(gè)要素又稱(chēng)為函數(shù)的三要素．初中所學(xué)的函數(shù)的三要素如下表：函數(shù)定義域?qū)?yīng)法則值域正比例函數(shù)Rf（x)＝kx（k≠0)R反比例函數(shù){x|x≠0｝f（x）＝eq\f(k，x）(k≠0）｛y｜y≠0}一次函數(shù)Rf（x）＝kx＋b（k≠0)R二次函數(shù)Rf（x）＝ax2＋bx＋c(a≠0）當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí),（4)由于函數(shù)的值域被函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則完全確定,這樣確定一個(gè)函數(shù)就只需兩個(gè)要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則．因此，定義域和對(duì)應(yīng)法則為“y是x的函數(shù)”的兩個(gè)基本條件，缺一不可．（5)對(duì)符號(hào)f（x)的理解①f(x）表示關(guān)于x的函數(shù),又可以理解為自變量x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，是一個(gè)整體符號(hào)，不能分開(kāi)寫(xiě)．符號(hào)f可以看作是對(duì)“x”施加的某種法則或運(yùn)算，例如f（x)＝x2－x＋5,當(dāng)x＝2時(shí),看作對(duì)“2”施加了這樣的運(yùn)算法則：先平方，再減去2,最后加上5;②對(duì)于f（x）中x的理解，雖然f（x)＝3x與f（x＋1)＝3x從等號(hào)右邊的表達(dá)式來(lái)看是一樣的，但由于f施加法則的對(duì)象不一樣(一個(gè)為x,而另一個(gè)為x＋1），因此函數(shù)解析式也是不一樣的；③函數(shù)f（x)并不一定是解析式,它可以是其他任意的一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，如圖象、表格、文字、描述等;④f（x)與f（a）的關(guān)系:f（x)表示自變量為x的函數(shù)，表示的是變量，f(a）表示當(dāng)x＝a時(shí)的函數(shù)值，是值域內(nèi)的一個(gè)值，是常量，如f（x)＝x＋1，當(dāng)x＝3時(shí)，f（3）＝3＋1＝4.【例1－1】下列式子能確定y是x的函數(shù)的是（)①x2＋y2＝2；②;③.A．①②B．②③C．②D．①③解析：對(duì)某一范圍內(nèi)的任意一個(gè)x，按照某種對(duì)應(yīng)法則，都有唯一確定的y值和它對(duì)應(yīng),則稱(chēng)y是x的函數(shù)．①由x2＋y2＝2,得，因此由它不能確定y是x的函數(shù)．②由知，當(dāng)x在｛x|x≠1}中任取一個(gè)值時(shí)，由它可以確定唯一的y值與之對(duì)應(yīng),故由它可以確定y是x的函數(shù)．③由得x不存在，故由它不能確定y是x的函數(shù)．答案：C【例1－2】判斷下列對(duì)應(yīng)f是否為集合A到集合B的函數(shù)？(1）A＝{1，2,3}，B＝{7，8，9｝，f(1)＝f（2)＝7,f(3)＝8；(2)A＝Z，B＝{－1，1}，n為奇數(shù)時(shí)，f（n)＝－1；n為偶數(shù)時(shí)，f（n)＝1；（3）A＝B＝{1，2,3}，f(x）＝2x－1.分析：判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)f是否為集合A到集合B的函數(shù)，首先要判斷它是否滿(mǎn)足A中的任意一個(gè)元素在B中都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)．若滿(mǎn)足，且A，B又是兩個(gè)非空數(shù)集,則該對(duì)應(yīng)是函數(shù)；若不滿(mǎn)足，則它一定不是函數(shù)．解:(1）集合A中的元素沒(méi)有剩余，即A中的任何一個(gè)元素在B中都有唯一確定的元素與之對(duì)應(yīng)，同時(shí)集合A和B都是數(shù)集，故對(duì)應(yīng)f是集合A到集合B的函數(shù)．同理，(2)中的對(duì)應(yīng)f也是集合A到集合B的函數(shù)．（3）由于f(3)＝2×3－1＝5B，即集合A中的元素3在集合B中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，所以對(duì)應(yīng)f不是集合A到集合B的函數(shù)．點(diǎn)技巧判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)法則是否是函數(shù)關(guān)系的方法從以下三個(gè)方面判斷：（1）A,B必須都是非空數(shù)集;（2)A中任一實(shí)數(shù)在B中必須有實(shí)數(shù)和它對(duì)應(yīng);（3)A中任一實(shí)數(shù)在B中和它對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)是唯一的．注意：A中元素?zé)o剩余，B中元素允許有剩余．2．函數(shù)的定義域和值域定義域(1)函數(shù)的定義域是函數(shù)y＝f（x）的自變量x的取值范圍．(2)對(duì)于函數(shù)的定義域，要從以下兩方面考慮：①定義域不同，而對(duì)應(yīng)法則相同的函數(shù),應(yīng)看作兩個(gè)不同的函數(shù)，如y＝x2（x∈R）與y＝x2(x＞0）;②若未加以特別說(shuō)明，函數(shù)的定義域就是指使這個(gè)式子有意義的所有實(shí)數(shù)x的取值集合，在實(shí)際問(wèn)題中，還必須使x所代表的具體量符合實(shí)際意義．(3）求函數(shù)定義域的原則:①求函數(shù)的定義域之前,盡量不要對(duì)函數(shù)的解析式變形，以免引起定義域的變化；②求函數(shù)的定義域就是求使得函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍．a(chǎn)．當(dāng)f（x)是整式時(shí)，其定義域?yàn)镽；b．當(dāng)f（x)是分式時(shí)，其定義域是使分母不為0的實(shí)數(shù)的集合；c．當(dāng)f（x)是偶次根式時(shí)，其定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于0的實(shí)數(shù)的集合;d．由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù),其定義域要受實(shí)際問(wèn)題的制約．【例2－1】求函數(shù)y＝（x－1)0＋的定義域．解:要使函數(shù)有意義，則要解得x＞－1，且x≠1。所以這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸｜x＞－1，且x≠1}．值域求函數(shù)的值域問(wèn)題首先必須明確兩點(diǎn)：一是值域的概念，即對(duì)于定義域A上的函數(shù)y＝f(x)，其值域就是指集合C＝｛y|y＝f(x）,x∈A}；二是函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)法則是確定函數(shù)的依據(jù)．【例2－2】求下列函數(shù)的值域:（1)（x≥4）；（2）y＝2x＋1，x∈｛1，2,3，4，5}．解：（1)∵x≥4，∴.∴，即y≥1。∴函數(shù)y＝－1（x≥4)的值域?yàn)閧y｜y≥1｝．（2)∵y＝2x＋1，且x∈｛1，2,3,4，5}，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝2時(shí)，y＝5；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝7；當(dāng)x＝4時(shí)，y＝9;當(dāng)x＝5時(shí),y＝11?！嗪瘮?shù)的值域是｛3,5,7，9,11}．辨誤區(qū)求函數(shù)值域易疏忽的問(wèn)題（1）求值域時(shí)一定要注意定義域，如函數(shù)y＝x2－4x＋6的值域與函數(shù)y＝x2－4x＋6（x∈[1,5））的值域是不同的；(2）在利用換元法求函數(shù)的值域時(shí),一定要注意換元后新元取值范圍的變化，例如求函數(shù)y＝x＋eq\r（2x－1）的值域時(shí)，令t＝eq\r（2x－1）,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量為t的二次函數(shù)后，自變量t的取值范圍是t≥0。3．函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的三要素相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)是相等的．由于函數(shù)的值域是由函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則決定的，因此兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則相同,那么這兩個(gè)函數(shù)的值域就相同．即確定一個(gè)函數(shù)只需要兩個(gè)要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則．因此判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)，只需判斷它們的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否相同即可．判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等的步驟是:(1）求定義域；（2）判斷定義域是否相同，若定義域不同,則這兩個(gè)函數(shù)不相等，若定義域相同，再繼續(xù)下一步；(3)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式,若解析式相同即對(duì)應(yīng)法則相同，則這兩個(gè)函數(shù)相等，否則這兩個(gè)函數(shù)不相等．注意：上面的步驟（2)和（3)的順序不能顛倒，否則就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤．比如，函數(shù)y＝eq\f（x3,x）的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞),函數(shù)y＝x2的定義域是R，由于這兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，則這兩個(gè)函數(shù)不相等．但是若化簡(jiǎn)函數(shù)y＝eq\f(x3,x)的解析式為y＝x2，則會(huì)錯(cuò)得函數(shù)y＝eq\f(x3,x)與函數(shù)y＝x2相等．【例3－1】下列函數(shù)與函數(shù)g(x)＝2x－1(x＞2）相等的是（)A．f（m)＝2m－1(m＞2)B．f（x)＝2x－1(x∈R）C．f（x)＝2x＋1（x＞2）D．f(x)＝x－2（x＜－1)解析:對(duì)于A，y＝f（m）與y＝g（x）的定義域與對(duì)應(yīng)法則均相同，所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)相等;對(duì)于B，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)不相等；對(duì)于C，兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則不同,所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)不相等；對(duì)于D，兩個(gè)函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則都不相同，所以?xún)蓚€(gè)函數(shù)不相等．答案：A【例3－2】判斷下列各組中的函數(shù)f（x）與g（x）是否相等，并說(shuō)明理由:(1）f(x）＝x2，g（x)＝（x＋1）2；（2）f(x)＝(x－1)0,g（x）＝1；(3）f(x)＝x，g（x)＝；(4）f(x）＝｜x|,g（x)＝.分析：解：(1）定義域相同都是R,但是它們的解析式不同，也就是對(duì)應(yīng)法則不同,故兩個(gè)函數(shù)不相等．（2）f(x)的定義域是｛x｜x≠1}，g（x)的定義域?yàn)镽，它們的定義域不同，故兩個(gè)函數(shù)不相等．(3）定義域相同都是R.但是f(x)＝x，g(x)＝|x｜，即它們的解析式不同，也就是對(duì)應(yīng)法則不同，故兩個(gè)函數(shù)不相等．（4)定義域相同都是R，解析式化簡(jiǎn)后都是y＝｜x|,即對(duì)應(yīng)法則相同,那么值域必相同，這兩個(gè)函數(shù)的三要素完全相同，故兩個(gè)函數(shù)相等．釋疑點(diǎn)滿(mǎn)足什么條件的兩個(gè)函數(shù)相等（1)只要兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)法則完全一致，那么這兩個(gè)函數(shù)就相等；(2）當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的定義域和值域分別相同時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)也不一定是同一函數(shù),因?yàn)楹瘮?shù)的定義域和值域不能唯一確定函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則,例如:函數(shù)f(x）＝x和函數(shù)f(x）＝－x的定義域相同，均為R;值域也相同,均為R，但這兩個(gè)函數(shù)不相等．4．區(qū)間區(qū)間是數(shù)學(xué)中表示“連續(xù)”的數(shù)集的一種形式．設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a＜b。我們規(guī)定：（1)滿(mǎn)足a≤x≤b的全體實(shí)數(shù)x的集合，叫做閉區(qū)間,記作［a，b]；（2）滿(mǎn)足a＜x＜b的全體實(shí)數(shù)x的集合,叫做開(kāi)區(qū)間，記作（a，b);（3）滿(mǎn)足a≤x＜b或a＜x≤b的全體實(shí)數(shù)x的集合，都叫做半開(kāi)半閉區(qū)間,分別記作[a，b），（a，b］．這里的實(shí)數(shù)a與b叫做區(qū)間的端點(diǎn)．實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間（－∞，＋∞)表示，符號(hào)“∞”讀作“無(wú)窮大”，“－∞”讀作“負(fù)無(wú)窮大”，“＋∞”讀作“正無(wú)窮大"．我們可以把滿(mǎn)足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的全體實(shí)數(shù)x的集合分別表示為[a,＋∞），(a,＋∞)，(－∞，b]，（－∞，b）．區(qū)間的幾何表示如下表所示：定義名稱(chēng)符號(hào)數(shù)軸表示{x｜a≤x≤b}閉區(qū)間[a,b］{x|a＜x＜b｝開(kāi)區(qū)間(a，b)｛x｜a≤x＜b}半開(kāi)半閉區(qū)間[a,b)｛x｜a＜x≤b｝半開(kāi)半閉區(qū)間（a，b］{x｜x≥a}半開(kāi)半閉區(qū)間[a,＋∞）{x｜x＞a}開(kāi)區(qū)間(a,＋∞){x｜x≤a｝半開(kāi)半閉區(qū)間(－∞，a］{x|x＜a}開(kāi)區(qū)間（－∞,a)談重點(diǎn)對(duì)區(qū)間的理解(1)a與b叫做區(qū)間的端點(diǎn),在數(shù)軸上表示區(qū)間時(shí)，若端點(diǎn)屬于這個(gè)區(qū)間,則端點(diǎn)用實(shí)心點(diǎn)表示；若端點(diǎn)不屬于這個(gè)區(qū)間，則端點(diǎn)用空心點(diǎn)表示．（2）區(qū)間是數(shù)軸上某一條線段或射線或直線上的所有點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合,這是一種符號(hào)語(yǔ)言，即用端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)、＋∞、－∞、方括號(hào)及圓括號(hào)等符號(hào)來(lái)表示數(shù)集．(3）區(qū)間符號(hào)內(nèi)的兩個(gè)字母(或數(shù))之間要用“，”隔開(kāi)．（4）“＋∞”和“－∞”是符號(hào),不是數(shù)，它們表示數(shù)的變化趨勢(shì)．(5）區(qū)間的形式必須是前面的數(shù)小，后面的數(shù)大，如(3,2)就不是區(qū)間，（2,2）也不是區(qū)間,即區(qū)間［a，b］隱含著a＜b這一條件．(6)在平面直角坐標(biāo)系中，(2,3）可表示點(diǎn)，也可表示區(qū)間，在應(yīng)用時(shí)要注意區(qū)分，不要混淆．【例4－1】將下列集合用區(qū)間表示出來(lái)：（1）｛x|x≥－1｝；（2)｛x|x＜0｝；（3）{x｜－1＜x≤5｝;（4)｛x|0＜x＜1或2≤x≤4｝．解:（1）{x｜x≥－1}＝[－1，＋∞)．(2）｛x｜x＜0}＝（－∞，0）．(3){x|－1＜x≤5}＝（－1,5]．（4）｛x｜0＜x＜1或2≤x≤4｝＝(0,1）∪[2,4］．【例4－2】已知區(qū)間［－2a,3a＋5]，求a的取值范圍．解：由題意可知3a＋5＞－2a，解之，得a＞－1。所以a的取值范圍是(－1，＋∞)．5．映射(1)映射的概念設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f,對(duì)A中的任意一個(gè)元素x,在B中有一個(gè)且僅有一個(gè)元素y與x對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)f是集合A到集合B的映射．這時(shí)，稱(chēng)y是x在映射f的作用下的象,記作f(x)．于是y＝f(x),x稱(chēng)作y的原象．映射f也可記為f:A→B，x→f（x）．其中A叫做映射f的定義域(函數(shù)定義域的推廣）,由所有象f（x）構(gòu)成的集合叫做映射f的值域，通常記作f(A)．如果映射f是集合A到集合B的映射，并且對(duì)于集合B中的任意一個(gè)元素,在集合A中都有且只有一個(gè)原象，這時(shí)我們說(shuō)這兩個(gè)集合的元素之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并把這個(gè)映射叫做從集合A到集合B的一一映射．析規(guī)律對(duì)映射定義的理解應(yīng)掌握五點(diǎn)1．映射中的兩個(gè)集合A和B可以是數(shù)集、點(diǎn)集或由圖形組成的集合等；2．映射是有方向的，A到B的映射與B到A的映射往往是不相同的;3．映射要求對(duì)集合A中的每一個(gè)元素在集合B中都有元素與之對(duì)應(yīng)，而這個(gè)與之對(duì)應(yīng)的元素是唯一的，這樣集合A中元素的任意性和在集合B中對(duì)應(yīng)的元素的唯一性構(gòu)成了映射的核心;4．映射允許集合B中存在元素在集合A中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)；5．映射允許集合A中不同的元素在集合B中對(duì)應(yīng)相同的元素，即映射只能是“多對(duì)一”或“一對(duì)一”,不能是“一對(duì)多"．（2）映射與函數(shù)的關(guān)系函數(shù)是特殊的映射，即當(dāng)兩個(gè)集合A,B均為非空數(shù)集時(shí)，則從A到B的映射就是函數(shù)，所以函數(shù)一定是映射，而映射不一定是函數(shù)，映射是函數(shù)的推廣．【例5－1】下列對(duì)應(yīng)是A到B上的映射的是（)A．A＝N＋，B＝N＋f：x→|x－3｜B．A＝N＋，B＝｛－1，1，－2}f：x→(－1）xC．A＝Z，B＝Qf：x→D．A＝N＋,B＝Rf:x→x的平方根解析：A×A中的元素3在B中沒(méi)有與之對(duì)應(yīng)的元素B√對(duì)任意正整數(shù)，（－1）x均為1或－1，在B中都有唯一的1或－1與之對(duì)應(yīng)C×A中的元素0在f作用下無(wú)意義D×正整數(shù)在實(shí)數(shù)集R中有兩個(gè)平方根與之對(duì)應(yīng)答案：B【例5－2】設(shè)f:A→B是A到B的一個(gè)映射，其中A＝B＝{（x，y)|x,y∈R}，f：(x，y）→(x－y，x＋y）．求：（1)A中元素（－1,2）在B中的象；（2）B中元素(－1,2)的原象．解:（1)A中元素（－1，2）在B中的象為（－1－2,－1＋2)，即（－3，1)．（2）設(shè)(x,y)為B中元素（－1，2)的原象，則解得所以B中元素（－1，2)的原象為。6．具體函數(shù)的定義域的求法已知函數(shù)的解析式，求函數(shù)的定義域，就是求使得函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常有以下幾種情況：函數(shù)y＝f（x）y＝f（x）的定義域f（x)是整式定義域?yàn)镽.f（x）是分式定義域?yàn)槭狗帜覆粸?的實(shí)數(shù)集合．f(x)是偶次根式定義域?yàn)槭垢?hào)內(nèi)的式子大于或等于0的實(shí)數(shù)集合．f(x)＝x0定義域?yàn)椋鹸|x≠0｝．f(x）由幾部分?jǐn)?shù)學(xué)式子構(gòu)成定義域是使各部分?jǐn)?shù)學(xué)式子都有意義的實(shí)數(shù)集合，即使每個(gè)部分都有意義的實(shí)數(shù)集合的交集．f(x)是由實(shí)際問(wèn)題列出定義域是使解析式本身有意義且符合實(shí)際意義的實(shí)數(shù)集合。注意：1．求函數(shù)定義域的一個(gè)基本原則是解析式不能化簡(jiǎn)．2．函數(shù)的定義域是一個(gè)集合，必須用集合或區(qū)間表示出來(lái)．【例6】求下列函數(shù)的定義域：（1）;(2）；(3)；(4)。解:（1)由，得所以x≥1。故函數(shù)的定義域?yàn)閇1，＋∞）．（2）由得x≠0，且x≠－1。故函數(shù)的定義域?yàn)閧x｜x≠0，且x≠－1｝．（3）由得所以故函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸|x＜0,且x≠－1}．(4)由得.所以x≤0,且.故函數(shù)的定義域?yàn)椤?．抽象函數(shù)的定義域的求法求抽象函數(shù)的定義域是學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題，常見(jiàn)的題型有如下兩種:①已知f(x)的定義域，求f(g(x））的定義域；②已知f（g（x）)的定義域，求f（x）的定義域．下面介紹一下這兩種題型的解法．（1)已知f(x）的定義域,求f（g（x）)的定義域．一般地，若f（x)的定義域?yàn)閇a，b］，則f[g（x)]的定義域是指滿(mǎn)足不等式a≤g（x)≤b的x的取值范圍．其實(shí)質(zhì)是由g（x）的取值范圍，求x的取值范圍．(2)已知f［g（x)]的定義域，求f（x）的定義域．函數(shù)f［g（x)］的定義域?yàn)閇a，b],指的是自變量x∈［a，b]．一般地，若f［g（x)]的定義域?yàn)閇a，b］，則f（x）的定義域就是g(x）在區(qū)間［a,b］上的取值范圍（即g(x）的值域)．其實(shí)質(zhì)是由x的取值范圍，求g（x)的取值范圍．【例7－1】若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－2,1］，求g(x）＝f(x)＋f(－x）的定義域．分析：由f（x)的定義域?yàn)椋郏?，1］,知對(duì)應(yīng)法則f作用的范圍是[－2，1]，而f（x）＋f(－x)的定義域是指當(dāng)x在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，才能使x，－x都在[－2，1]這個(gè)區(qū)間內(nèi)，從而f(x)＋f(－x）有意義．解：∵由題意,得∴－1≤x≤1.∴g(x)＝f(x）＋f(－x)的定義域?yàn)椋郏?,1]．【例7－2】(1）已知f（x）的定義域?yàn)椋?，1］,求函數(shù)f(x2＋1）的定義域；（2)已知f(2x－1）的定義域?yàn)椋?，1］，求f（x）的定義域．分析：準(zhǔn)確理解定義域的概念，弄清f（x)與f（g（x))中x的區(qū)別是解題關(guān)鍵．解:（1）∵f(x2＋1）中的x2＋1的范圍與f（x）中的x的取值范圍相同，∴0≤x2＋1≤1?！鄕＝0，即f(x2＋1）的定義域?yàn)閧0}．（2）∵由題意知f（2x－1)中,x∈[0,1]，∴－1≤2x－1≤1.又∵f(2x－1)中2x－1的取值范圍與f（x)中的x的取值范圍相同,∴f(x）的定義域?yàn)閇－1，1]．8．求函數(shù)的值域求函數(shù)的值域是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題,雖然在給定了函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則以后，值域就應(yīng)該完全確定了，但求值域要注意方法．常用的方法有:(1)分離常數(shù)法（2)反解法從y＝f(x）的解析式中求出x,得x＝g(y），通過(guò)求g(y)的定義域而得到原函數(shù)f（x）的值域．形如y＝eq\f（cx＋d,ax＋b）（a≠0)的函數(shù)求值域可用此法．(3）換元法通過(guò)換元簡(jiǎn)化函數(shù)解析式，從而順利地求出函數(shù)的值域．(4)判別式法利用一元二次方程根的判別式求函數(shù)值域的方法．若一個(gè)函數(shù)式y(tǒng)＝f(x）能化為關(guān)于x的一元二次方程，則可利用Δ＝b2－4ac≥0求得函數(shù)的值域．點(diǎn)技巧應(yīng)用換元法和判別式法時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題1．對(duì)于一些含根式的函數(shù)的值域問(wèn)題，可以通過(guò)換元法轉(zhuǎn)化成易于求解的整式函數(shù)（如二次函數(shù)）來(lái)解決．特別值得注意的是，利用換元法求函數(shù)值域時(shí),一定要注意輔助元的取值范圍,否則可能會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤．2．形如y＝eq\f(ax2＋bx＋c,dx2＋ex＋f）(ad≠0）的函數(shù)求值域都可用判別式法，將原式轉(zhuǎn)化得到關(guān)于x的整式方程，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時(shí)，必須分成二次項(xiàng)系數(shù)為零和不為零兩種情況進(jìn)行討論,只有當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí)，才能用判別式，但當(dāng)原函數(shù)的定義域不為R時(shí)，慎用判別式．【例8－1】求函數(shù)的值域．解：＝＝。∵2x＋5≠0,∴。∴函數(shù)的值域?yàn)?。【?－2】求函數(shù)的值域．解法一：.∵x2≥0，∴x2＋1≥1。∴0＜≤2?！啵?≤y＜1?！嗪瘮?shù)的值域?yàn)閇－1,1）．解法二：由,得.∵x2≥0，∴，即?！嘟獾茫?≤y＜1.∴函數(shù)的值域?yàn)椋郏?，1）．【例8－3】求函數(shù)的值域．分析：本題中含有根號(hào),需要設(shè)法去掉根號(hào)，方法就是換元，將用t代替，則t≥0，x＝1－t2.解：∵令＝t(t≥0），則x＝1－t2.∴y＝2(1－t2)＋4t＝－2（t－1）2＋4≤4.∴所求函數(shù)的值域是（－∞，4]．【例8－4】求函數(shù)的值域．分析：把函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x