專題01集合常用邏輯用語不等式（選填壓軸題）-2022年高考數(shù)學(xué)高分必刷必過題

專題01集合、常用邏輯用語、不等式（選填壓軸題）一、單選題1．（2021·全國高三專題練習(xí)）用表示非空集合中的元素個數(shù)，定義＝若，，且，設(shè)實數(shù)的所有可能取值組成的集合是，則等于（）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】B【詳解】因為，，所以或，由，得，關(guān)于x的方程，當(dāng)時，即時，易知，符合題意；當(dāng)時，即或時，易知0，a不是方程的根，故，不符合題意；當(dāng)時，即時，方程無實根，若a=0，則B={0}，，符合題意，若或，則，不符合題意.所以，故.故選：B.2．（2021·上海浦東新·上外浦東附中高一月考）向量集合，對于任意，，以及任意，都有，則稱為“類集”，現(xiàn)有四個命題：①若為“類集”，則集合（為實常數(shù)）也是“類集”；②若、都是“類集”，則集合也是“類集”；③若、都是“類集”，則也是“類集”；④若、都是“類集”，且交集非空，則也是“類集”．其中正確的命題有（）A．①② B．①③④ C．②③ D．①②④【答案】D【詳解】①若為“類集”，則對于任意，，以及任意，都有，對于集合（為實常數(shù)），可得對于任意，以及任意都有，故正確；②若為“類集”，則對于任意，，以及任意，都有，若為“類集”，則對于任意，，以及任意，都有，可得對于任意，以及任意，都有，故正確；③若為“類集”，則對于任意，，以及任意，都有，若為“類集”，則對于任意，，以及任意，都有，設(shè)，為中元素的合并而得，且不重復(fù)，不符合“類集”的定義，故錯誤；④若為“類集”，則對于任意，，以及任意，都有，若為“類集”，則對于任意，，以及任意，都有，設(shè)，為中元素的公共部分，且不為空集，符合“類集”的定義，故正確；故選：D.3．（2021·河南南陽中學(xué)高一月考）在整數(shù)集中，被4除所得余數(shù)的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，．給出如下四個結(jié)論：①；②；③；④“整數(shù)，屬于同一‘類’”的充要條件是“”．其中正確的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】因為，故，故①錯誤，而，故，故②正確.若整數(shù)，屬于同一“類”，設(shè)此類為，則，故即，若，故為4的倍數(shù)，故除以4的余數(shù)相同，故，屬于同一“類”，故整數(shù)，屬于同一“類”的充要條件為，故④正確.由“類”的定義可得，任意，設(shè)除以4的余數(shù)為，則，故，所以，故，故③正確.故選：C.4．（2021·全國高一專題練習(xí)）對于非空數(shù)集M，定義表示該集合中所有元素的和.給定集合，定義集合，則集合的元素的個數(shù)為（）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【詳解】當(dāng)集合為單元素集時，可取，此時可?。划?dāng)集合為雙元素集時，可取，此時可取；當(dāng)集合為三元素集時，可取，此時可取，當(dāng)集合為四元素集時，可取，此時可取，綜上可知可取，共個值，所以的元素個數(shù)為，故選：B.5．（2021·全國）非空集合具有下列性質(zhì)：①若、，則；②若、，則，下列判斷一定成立的是（）（1）；（2）；（3）若、，則；（4）若、，則.A．（1）（3） B．（1）（2）C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）【答案】C【詳解】由①可知.對于（1），若，對任意的，，則，所以，，這與矛盾，（1）正確；對于（2），若且，則，，，依此類推可得知，，，，，，（2）正確；對于（3），若、，則且，由（2）可知，，則，所以，，（3）正確；對于（4），由（2）得，，取，則，所以（4）錯誤.故選：C.6．（2021·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)高一月考）設(shè)集合，，，，，中至少有兩個元素，且，滿足：①對于任意，若，都有②對于任意，若，則；下列命題正確的是（）A．若有4個元素，則有7個元素B．若有4個元素，則有6個元素C．若有3個元素，則有5個元素D．若有3個元素，則有4個元素【答案】A【詳解】首先利用排除法：若取，則，此時，包含4個元素，排除選項C；若取，則，此時，包含5個元素，排除選項D；若取，則，此時，包含7個元素，排除選項B；下面來說明選項A的正確性：設(shè)集合，且，，則，且，則，同理，，，，，若，則，則，故即，又，故，所以，故，此時，故，矛盾，舍.若，則，故即，又，故，所以，故，此時.若，則，故，故，即，故，此時即中有7個元素.故A正確.故選：A.7．（2021·上海高一期中）已知非空集合M滿足：對任意，總有，且，若，則滿足條件的的個數(shù)是A．11 B．12 C．15 D．16【答案】A【詳解】由題意，可得集合是集合的非空子集，共有個，且不能同時出現(xiàn)，同時出現(xiàn)共有4個，所以滿足題意的集合的個數(shù)為11個，故選A.8．（2021·全國高一專題練習(xí)）已知集合，，，則圖中陰影部分表示的集合為A． B． C． D．【答案】C【詳解】圖中陰影部分表示的集合為．∵，，∴，，∴．故選C．9．（2021·全國）已知集合，集合，，滿足.①每個集合都恰有5個元素②集合中元素的最大值與最小值之和稱為集合的特征數(shù)，記為，則的值不可能為A． B． C． D．【答案】A【詳解】分析：求出集合M={x∈N*|1≤x≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，由題意列舉出集合A1，A2，A3，排除選項B、C、D，由此能求出結(jié)果．詳解：由題意集合M={x∈N*|1≤x≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，當(dāng)A1={1，4，5，6，7}，A2={3，12，13，14，15}，A3={2，8，9，10，11}時，X1+X2+X3=8+18+13=39，故排除B選項；當(dāng)A1={1，4，5，6，15}，A2={2，7，8，9，14}，A3={3，10，11，12，13}時，X1+X2+X3=16+16+16=48，故排除C選項；當(dāng)A1={1，2，3，4，15}，A2={5，6，7，8，14}，A3={9，10，11，12，13}時，X1+X2+X3=16+19+22=57，故排除D選項．∴X1+X2+X3的值不可能為37．故選A．10．（2021·全國高一專題練習(xí)）對于任意兩個正整數(shù)、，定義某種運算“※”，法則如下：當(dāng)、都是正奇數(shù)時，※=；當(dāng)、不全為正奇數(shù)時，※=.則在此定義下，集合中的元素個數(shù)是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：從定義出發(fā)，抓住、的奇偶性對實行分拆是解決本題的關(guān)鍵，當(dāng)、同奇時，根據(jù)※將分拆兩個同奇數(shù)的和，有，共有對；當(dāng)、不全為奇數(shù)時，根據(jù)※將分拆兩個不全為奇數(shù)的積，再算其組數(shù)即可，此時有，共對.∴共有個，故選C.11．（2021·全國高一專題練習(xí)）集合，且、、恰有一個成立，若且,則下列選項正確的是A．, B．,C．, D．,【答案】B【詳解】試題分析：從集合的定義，，可知滿足不等關(guān)系且，或且，或且，或且，這樣可能有或或或，于是，，選B．12．（2021·江蘇高一專題練習(xí)）對于集合，定義了一種運算“”，使得集合中的元素間滿足條件：如果存在元素，使得對任意，都有，則稱元素e是集合A對運算“”的單位元素.例如：，運算“”為普通乘法；存在，使得對任意，都有，所以元素1是集合R對普通乘法的單位元素.下面給出三個集合及相應(yīng)的運算“”：①，運算“”為普通減法；②，運算“”為矩陣加法；③（其中M是任意非空集合），運算“”為求兩個集合的交集.其中對運算“”有單位元素的集合序號為（）A．①② B．①③ C．①②③ D．②③【答案】D【詳解】試題分析：①若，運算“”為普通減法，而普通減法不滿足交換律，故沒有單位元素；②{表示階矩陣，}，運算“”為矩陣加法，其單位元素為全為0的矩陣；③（其中是任意非空集合），運算“”為兩個集合的交集，其單位元素為集合，故答案為D.13．（2021·浙江省桐廬中學(xué)）已知，函若數(shù)在總有且，則取值范圍是（）A．[6，+∞) B．C．[12，+∞) D．(6，12]【答案】B【詳解】在上恒成立即在上恒成立，故在上恒成立，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，所以在上恒成立，令，令，則，而在為增函數(shù)，故，所以，故，所以在的最小值為，故.因為恒成立，故對于任意恒成立，所以即.故選：B.14．（2021·河南高三月考（理））已知點，分別為橢圓的左、右焦點，點在直線上運動，若的最大值為，則橢圓的離心率是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知，，，直線為，設(shè)直線，的傾斜角分別為，，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)為第二象限的點，即，，則，.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，又得最大值為，，即，整理得，故橢圓的的離心率是.故選：C.15．（2021·全國高三模擬預(yù)測）已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．的最小值為C． D．【答案】C【詳解】記有，則，易知時有，A錯誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以最小值為，B錯誤；記，則等價于，記，則，∴，即單調(diào)遞增，有，∴單調(diào)遞減，則有，不等式得證，C正確；取，，有，D錯誤．故選：C16．（2021·南京市第十三中學(xué)）已知若對于任意兩個不等的正實數(shù)，，都有恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)可知，令由知為增函數(shù)，所以恒成立，分離參數(shù)得，而當(dāng)時，在時有最大值為，故.故選：B17．（2021·全國高三專題練習(xí)（文））若實數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】證明不等式，令，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故證明成立；又因為≥，且僅當(dāng)a=時成立又因為故與題意聯(lián)立，得令t=，故有，解得時成立，綜上聯(lián)立：=1與a=解得a=，b=，故選：C.18．（2021·銀川三沙源上游學(xué)校高二月考（理））在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：在中，由余弦定理得，且的面積，由，得，化簡得，又，，聯(lián)立得，解得或（舍去），所以，因為為銳角三角形，所以，，所以，所以，所以，所以，設(shè)，其中，所以，由對勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，即的取值范圍是．故選：C.19．（2021·北京昌平·臨川學(xué)校高三期末）已知函數(shù)，，曲線上總存在兩點，，使曲線在兩點處的切線互相平行，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題設(shè)，且，令，要使上總存在兩點，，使曲線在兩點處的切線互相平行，∴若，，∴在上總存在有兩個解分別為、，而的對稱軸，故，而，∴，整理得，上，∴即可.故選：B二、多選題20．（2021·四川外國語大學(xué)附屬外國語學(xué)校高一月考）對任意，定義.例如，若，則，下列命題中為真命題的是（）A．若且，則 B．若且，則C．若且，則 D．若，則【答案】ABD【詳解】根據(jù)定義.對于A：若,則,,,,∴,故A正確;對于B：若,則,,,,∴,故B正確;對于C：若,則,,則.故C錯;對于D：左邊,右邊所以左=右.故D正確.故選：ABD.21．（2021·福建高三模擬預(yù)測）兩個集合和之間若存在一一對應(yīng)關(guān)系，則稱和等勢，記為．例如：若為正整數(shù)集，為正偶數(shù)集，則，因為可構(gòu)造一一映射．下列說法中正確的是（）A．兩個有限集合等勢的充分必要條件是這兩個集合的元素個數(shù)相同B．對三個無限集合、、，若，，則C．正整數(shù)集與正實數(shù)集等勢D．在空間直角坐標(biāo)系中，若表示球面：上所有點的集合，表示平面上所有點的集合，則【答案】ABD【詳解】對于A選項，設(shè)有限集合，，充分性：若，則兩個集合和之間若存在一一對應(yīng)關(guān)系，則對任意的，存在，使得與對應(yīng)，故，充分性成立.必要性：若，即集合、的元素個數(shù)相等，可構(gòu)造映射，使得，故，必要性成立，A對；對于B選項，對三個無限集合、、，若，對任意的，存在唯一的，使得與對應(yīng)，又因為，則存在唯一的，使得與對應(yīng)，故對任意的，存在唯一的，使得與對應(yīng)，故，B對；對于C選項，正整數(shù)集與正實數(shù)集不等勢，理由如下：假設(shè)正整數(shù)集與正實數(shù)集等勢，則存在與的一個一一對應(yīng)，將與中對應(yīng)的元素記為，則中的元素可以排成一列：、、、、，顯然中至少有一個單位長度的區(qū)間不包含，不妨設(shè)此區(qū)間為，將三等分，則、中至少有一個區(qū)間不含，以表示此區(qū)間，將三等分，其左、右兩個區(qū)間至少有一個不含，記為，依此類推，可得一列閉區(qū)間滿足：（i），且的長度趨于；（ii），、、、.所以，，但對任意的，，換言之，不在中，這是不可能的，這一矛盾說明，與不等勢，C錯；對于D選項，如下圖所示：球面方程為，球面與軸的正半軸交于點，對于球面上任意一點（不與點重合），設(shè)直線交平面于點，則球面上的點（不與點重合）與平面內(nèi)的點能建立一一對應(yīng)關(guān)系，假定在平面上有一理想的點稱之為無窮遠(yuǎn)點，它與點對應(yīng)，這樣，D對.故選：ABD.22．（2021·山東德州·高二期末）我們把有限集合中的元素個數(shù)用來表示，并規(guī)定，例如，則.現(xiàn)在，我們定義，已知集合，，且，則實數(shù)不可能在以下哪個范圍內(nèi)（）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】對于集合，由，可得，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：所以，函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個公共點，故.因為，所以，或.對于集合，由，顯然，由，可得，由，可得，設(shè)，，則直線與函數(shù)、在上的圖象共有個或個交點，，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，，且當(dāng)時，.，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，，作出直線與函數(shù)、在上的圖象，如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)、或時，直線與函數(shù)、在上的圖象共有個公共點.故選：BCD.23．（2021·江蘇省天一中學(xué)）設(shè)，為單位向量，滿足，，，則，的夾角為，則的可能取值為（）A． B． C． D．1【答案】CD【詳解】設(shè)單位向量，的夾角為，由，兩邊平方得，解得，又，，，同理且，令，則，，所以，即的取值范圍為故選：CD24．（2021·大名縣第一中學(xué)高二月考）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖）．給出下列四個結(jié)論，其中正確結(jié)論是（）

A．圖形關(guān)于軸對稱B．曲線恰好經(jīng)過6個整點（即橫?縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）C．曲線上存在到原點的距離超過的點D．曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3【答案】ABD【詳解】對于A，將換成方程不變，所以圖形關(guān)于軸對稱，故A正確；對于B，當(dāng)時，代入可得，解得，即曲線經(jīng)過點，當(dāng)時，方程變換為，由，解得，所以只能去整數(shù)，當(dāng)時，，解得或，即曲線經(jīng)過，根據(jù)對稱性可得曲線還經(jīng)過，故曲線一共經(jīng)過6個整點，故B正確；對于C，當(dāng)時，由可得，（當(dāng)時取等號），，，即曲線上軸右邊的點到原點的距離不超過，根據(jù)對稱性可得：曲線上任意一點到原點的距離都不超過，故C錯誤；對于D，如圖所示，在軸上圖形的面積大于矩形的面積：，軸下方的面積大于等腰三角形的面積：，所以曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于，故D正確；故選：ABD三、雙空題25．（2021·全國高二單元測試）等差數(shù)列中，且，則______；若集合中有2個元素，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】12【詳解】空1：設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，且，所以有：，因此；空2：由（1）知：由，設(shè)，，顯然當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此從第2項起，數(shù)列是遞減數(shù)列，，所以數(shù)列的最大項為，因為中有2個元素，所以不等式只有兩個不同正整數(shù)根，而數(shù)列的最大項為，因此一定是不等式的解，因此一定有：.故答案為：26．（2021·全國）設(shè)是中兩個子集，對于，定義：,，①若.則對任意，=______；②若對任意，，則的關(guān)系為______．【答案】0【詳解】解：①∵A?B．則x?A時，m=0，m（1n）=0．x∈A時，必有x∈B，∴m=n=1，m（1n）=0．綜上可得：m（1n）=0．②對任意x∈R，m+n=1，則m，n的值一個為0，另一個為1，即x∈A時，必有x?B，或x∈B時，必有x?A，∴A，B的關(guān)系為A=?RB．故答案為0，A=?RB．27．（2021·海淀·北京市八一中學(xué)）已知是的三邊長，關(guān)于的方程的解集中只有一個元素，方程的根為，則的形狀為________；若為關(guān)于的兩個實數(shù)根，則實數(shù)的值_________．【答案】等邊三角形【詳解】關(guān)于的方程的解集中只有一個元素,,即，方程的根為，，，故三角形為等邊三角形.為關(guān)于的兩個實數(shù)根,,即，解得故答案為：等邊三角形；12四、填空題28．（2021·上海桃浦中學(xué)高一月考）已知集合和，使得，，并且的元素乘積等于的元素和，寫出所有滿足條件的集合___________.【答案】或或.【詳解】，中所有元素之和為；若中僅有一個元素，設(shè)，則，解得：，不合題意；若中有且僅有兩個元素，設(shè)，則，當(dāng)，時，，；若中有且僅有三個元素，設(shè)，則；當(dāng)，，時，，若中有且僅有四個元素，設(shè)，則，當(dāng)，，，時，，；若中有且僅有五個元素，若，此時，中最多能有四個元素；綜上所述：或或.故答案為：或或.29．（2021·山東高考真題）集合，，都是非空集合，現(xiàn)規(guī)定如下運算：且．假設(shè)集合，，，其中實數(shù)，，，，，滿足：（1），；；（2）；（3）．計算____________________________________．【答案】或【詳解】，