第1章 多元函數(shù)微分學(xué)

第1章多元函數(shù)微分學(xué)1.1空間解析幾何基本知識(shí)1.2二元函數(shù)的基本概念1.3偏導(dǎo)數(shù)1.4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則1.5全微分1.6多元函數(shù)的極值與最值返回1.1空間解析幾何基本知識(shí)在實(shí)際生活中有很多問(wèn)題與多種因素有關(guān)，反映到數(shù)學(xué)上就是多元函數(shù)問(wèn)題，本章主要討論多元函數(shù)的微分及其應(yīng)用.

學(xué)習(xí)多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)、微分的概念和方法，要與一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)、微分進(jìn)行類比，注意它們的異同之處.1.1空間解析幾何基本知識(shí)「先行問(wèn)題]多元函數(shù)的概念、圖像等，還是要以空間直角坐標(biāo)系為基礎(chǔ)，相應(yīng)還有多元函數(shù)的圖像，如空間平面、曲面以及用向量工具來(lái)表示等問(wèn)題.1.1.1空間解析幾何的有關(guān)概念

我們?cè)趯W(xué)習(xí)空間解析幾何時(shí)，應(yīng)該與平面解析幾何進(jìn)行類比，找到相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，加深理解，提高學(xué)習(xí)效率.下一頁(yè)返回1.1空間解析幾何基本知識(shí)1.空間直角坐標(biāo)系在空間任取一點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)作三條互相垂直的數(shù)軸，這三條坐標(biāo)軸分別稱為x軸(橫軸),y軸(縱軸)、z軸(豎軸)，統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸.通常把x軸和y軸配置在水平面上，z軸則是垂直線;按照右手定則規(guī)定Ox、Oy、Oz軸的正方向，即以右手握住z軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指從x軸正向以π/2的角度轉(zhuǎn)向y軸正向時(shí)，大拇指的指向就是z軸的正向(圖1.1),這樣的三條坐標(biāo)軸就組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.空間直角坐標(biāo)系中任意兩條坐標(biāo)軸都可以確定一個(gè)平面，稱為坐標(biāo)平面.由x軸和y軸所確定的平面稱為xOy平面;由y軸和z軸所確定的平面稱為yOz平面;由x軸和z軸所確定的平面稱為xOz平面.三個(gè)坐標(biāo)平面把整個(gè)空間分成八個(gè)部分，依次稱為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.1空間解析幾何基本知識(shí)

Ⅷ卦限(圖1.2),坐標(biāo)平面不屬于任何卦限.建立空間直角坐標(biāo)系后，如果點(diǎn)M的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)分別為x,y,z(圖1.3)，則記作M(x,y,z).這樣可以建立起空間的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.顯然，原點(diǎn)的坐標(biāo)為。O(0,0,0);x軸、y軸和z軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x,0,0)、(0,y,0)、(0,0,z);xOy、yOz、zOx三個(gè)坐標(biāo)面上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x,y,0),(0,y,z),(x,0,z).[課堂練習(xí)]在空間直角坐標(biāo)系中，求點(diǎn)P(1,-2,3)關(guān)于x軸，原點(diǎn)，xOz平面的對(duì)稱點(diǎn).上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.1空間解析幾何基本知識(shí)2.空間兩點(diǎn)間的距離設(shè)為空間兩點(diǎn)，

我們可用這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表達(dá)它們之間的距離d.假設(shè)線段在xOy坐標(biāo)面上的投影是.如(圖1.4)所示，過(guò)點(diǎn)在平面內(nèi)作

//AB得直角三角形.由勾股定理，有又由圖示關(guān)系可得,即有上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.1空間解析幾何基本知識(shí)即空間兩點(diǎn)間的距離公式.特別地，點(diǎn)M（x，y，z）到原點(diǎn)O（0，0，0，）的距離上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.1空間解析幾何基本知識(shí)1.1.

2空間向量概念及運(yùn)算「先行問(wèn)題]與空間解析幾何和平面解析幾何的關(guān)系類似，在高中學(xué)過(guò)的平面向量知識(shí)基礎(chǔ)上，我們介紹一些空間向量的基礎(chǔ)知識(shí)，請(qǐng)大家注意異同點(diǎn)，進(jìn)行類比學(xué)習(xí).1.向量的概念在空間以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記為，有時(shí)也用一個(gè)粗體字母表示向量，例如，向量a、b等.若A、B的坐標(biāo)分別為和，則規(guī)定向量的坐標(biāo)為,向量的大小稱為向量的模，向量的模記為若向量a的坐標(biāo)為a=(x，y，z)則上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.1空間解析幾何基本知識(shí)2.向量的加法與減法以及向量與數(shù)量的乘積利用向量的坐標(biāo)，可得向量的加、減法及向量與數(shù)量乘積的運(yùn)算法則:設(shè)

，，則（1）;（2）.3.兩向量的數(shù)量積（1）向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì).

定義1.1設(shè)向量a、b的夾角為θ(0≤θ≤π)，則稱

為向量a、b的數(shù)量積，一也稱為內(nèi)積.（2）數(shù)量積的坐標(biāo)計(jì)算式.

設(shè)a、b的坐標(biāo)分別為

、

，可經(jīng)推導(dǎo)(本書(shū)上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.1空間解析幾何基本知識(shí)不推導(dǎo))，把數(shù)量積寫(xiě)成坐標(biāo)形式：而

，于是當(dāng)a、b不是零向量時(shí)，可得由此可得

，即

例1-1已知向量a={1,1,-4},b={1,-2,2}，求向量a與b的內(nèi)積及夾角<a，b>.解由公式得上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.1空間解析幾何基本知識(shí)

，所以.4.兩向量的向量積（1）向量積的定義及其性質(zhì)定義設(shè)有兩向量a、b，若向量c滿足:① ;②c垂直于向量a、b所決定的平面，它的正方向由右手法則確定.則稱向量c為a與b的向量積，記為a×b,即c=a×b.由向量積的定義可知:上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.1空間解析幾何基本知識(shí)兩個(gè)非零向量a、b相互平行的充分必要條件是ab=0.（2）向量積的坐標(biāo)計(jì)算式設(shè) , ，可經(jīng)推導(dǎo)(本書(shū)不推導(dǎo))，把向量積寫(xiě)成坐標(biāo)形式:由于兩個(gè)非零向量a、b平行的充要條件是a×b=0，因此，可將a×b平行的充要條件表示為上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.1空間解析幾何基本知識(shí)1.1.3平面1.平面方程的一般式一般地，在空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于x，y，z的一次方程Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不全為零)表示空間平面，一也就是說(shuō)滿足方程Ax+By+Cz+D=0的點(diǎn)在平面上，平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程.(1)當(dāng)D=0時(shí)，方程Ax+By+Cz=0表示過(guò)原點(diǎn)的平面.(2)當(dāng)C=0時(shí)，方程Ax+By+D=0表示平行于z軸的平面.

類似地，方程Ax+Cz+D=0和By+Cz+D=o分別表示平行于y軸和z軸的平面.(3)當(dāng)A=B=O時(shí)，方程Cz+D=0表示平行于xOy面的平面.

類似地，方程Ax+D=0和By+D=0分別表示平行于yOz平面和上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.1空間解析幾何基本知識(shí) xOz平面的方程.

特別地，當(dāng)D=0時(shí)，z=0,x=0和y=0分別表示xOy為平面，yOz平面和xOz平面.2.平面方程的點(diǎn)法式在空間直角坐標(biāo)系中，方程Ax+By+Cz+D=0(其中A,B,C不全為0)稱為平面的一般式.

如果非零向量n垂直于平面π，則稱n為平面π的法向量，設(shè)M(x，y，z)為平面π上的任一點(diǎn)，平面π過(guò)點(diǎn)

,n={A,B,C}為其一法向量，因?yàn)? ,即，所以稱此方程為平面方程的點(diǎn)法式.上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.1空間解析幾何基本知識(shí)1.1.4簡(jiǎn)單的二次曲面1.球面方程空間中一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定值的點(diǎn)的軌跡稱為球面.例1-2求以點(diǎn)

為球心，R為半徑的球面的方程.解設(shè)M(x，y，z)為球面上任意一點(diǎn)，依題意，有

由空間兩點(diǎn)間距離公式，有

即

此即為所求之球面方程，其圖形如圖1.5所示.上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.1空間解析幾何基本知識(shí)特別地，如果球心就是坐標(biāo)原點(diǎn)，則球面方程為可見(jiàn)，球面方程是關(guān)于x、y、z的二次方程.2.柱面方程設(shè)有一動(dòng)直線l沿一定曲線c移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)始終保持與定直線l′平行，則由l形成的曲面稱為柱面，而動(dòng)直線l稱為該柱面的母線，定曲線c稱為該柱面的準(zhǔn)線.

現(xiàn)在來(lái)建立母線平行于z軸的柱面方程(見(jiàn)圖1.6).設(shè)柱面的準(zhǔn)線c是xOy為面上的曲線，其方程為F(x，y)=0設(shè)M(x，y，z)為柱面上任意一點(diǎn)，過(guò)M作柱面的母線MM′，這時(shí)母上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.1空間解析幾何基本知識(shí)線上全部點(diǎn)在xOy面上的投影都是準(zhǔn)線c上的點(diǎn)M′，所以柱面上點(diǎn)的豎坐標(biāo)是任意的，而x、y坐標(biāo)則滿足準(zhǔn)線方程，從而點(diǎn)M的坐標(biāo)x、y、z也滿足準(zhǔn)線方程.以xOy面上的曲線F(x，y}=0為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程，就是不含變量z的準(zhǔn)線方程F(x，y}=0，也就是說(shuō)，在空間直角坐標(biāo)系中，不含z的方程F(x，y}=0表示母線平行于z軸的柱面.同理，在空間直角坐標(biāo)系中，不含y(或不含x)的方程G(x，y)=0或H(y，z)=0表示母線平行于y軸(或x軸)的柱面.現(xiàn)在寫(xiě)出幾個(gè)母線平行于z軸的柱面方程:圓柱面方程:橢圓柱面方程:

(見(jiàn)圖1.7)上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.1空間解析幾何基本知識(shí)拋物柱面方程:雙曲柱面方程:在空間解析幾何中，如果曲面方程F(x，y，z)=0的x、y、z都是一次的，則它對(duì)應(yīng)的曲面就是一個(gè)平面;如果方程是二次的，則它所對(duì)應(yīng)的曲面稱為二次曲面.3.以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面方程一條平面曲線c繞著同一平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面(簡(jiǎn)稱旋轉(zhuǎn)面)，曲線c稱為旋轉(zhuǎn)面的母線，直線l稱為旋轉(zhuǎn)面的軸.設(shè)平面x=0上的曲線c:f(x,y)=o，繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，現(xiàn)在來(lái)建立這個(gè)旋轉(zhuǎn)面的方程(見(jiàn)圖1.8).上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.1空間解析幾何基本知識(shí)在旋轉(zhuǎn)面上任取一點(diǎn)M(x，y，x)，設(shè)M是由曲線c上的點(diǎn)

繞z軸旋轉(zhuǎn)而得到，容易看出，點(diǎn)M與點(diǎn)具有相同的豎坐標(biāo)，點(diǎn)M與點(diǎn)與轉(zhuǎn)軸等遠(yuǎn)(同在一個(gè)圓周上).即已知母線c在yOz面上的方程為f(y，z)=0，點(diǎn)在曲線c上，將其代入上式，即得由此可見(jiàn)，要求平面X=0上的曲線f(y,z)=0繞z軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)面的方程，只需在母線方程中把y換成

即可.同理，平面x=0上的曲線f(y,z)=0繞y軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)面的方程為上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.1空間解析幾何基本知識(shí)例1-3求yOz面上的直線z=ky,繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的圖形(圓錐面)的方程.解在方程z=ky中，把y換成

，得到以z軸為旋轉(zhuǎn)軸的圓

錐面的方程

，即 .上一頁(yè)返回1.2二元函數(shù)的基本概念1.2.1

多元函數(shù)概念【先行問(wèn)題】在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)試驗(yàn)中，所研究的問(wèn)題常常要考慮多種因素，它反映到數(shù)學(xué)上就是一個(gè)變量依賴于多個(gè)變量的問(wèn)題，這就是多元函數(shù).引例1圓柱體的體積V與它的半徑r，高h(yuǎn)之間的關(guān)系為V=，其中，體積V是隨r、h的變化而變化的，當(dāng)r、h在一定范圍(r>0，h>0)內(nèi)取定一對(duì)值時(shí)，V的值就隨之而定.引例2物體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能W與物體的質(zhì)量m和運(yùn)動(dòng)的速度v兩個(gè)量有關(guān)系.其中，動(dòng)能W是隨m、v的變化而變化的，m、v取定一對(duì)值，就由W= 對(duì)應(yīng)著唯一一個(gè)動(dòng)能W.下一頁(yè)返回1.2二元函數(shù)的基本概念分析:上面兩個(gè)例子的具體意義雖然各不相同，但它們具有共性:對(duì)于某一范圍內(nèi)的一對(duì)數(shù)，按照一定的對(duì)應(yīng)規(guī)律，都有確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng).1.多元函數(shù)概念定義1.3設(shè)有三個(gè)變量x、y、z.如果當(dāng)變量x、y在一定范圍內(nèi)任意取定一對(duì)值時(shí)，變量z按照一定的規(guī)律，總有確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量z為變量x、y的二元函數(shù)，記為z=f(x,y)或z=z(x,y).其中，變量x和y稱為自變量，而變量z稱為因變量;自變量x和y的變化范圍稱為函數(shù)的定義域.類似地，可以定義三元函數(shù)u=f(x,y,z)，以及三元以上的函數(shù).二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.2二元函數(shù)的基本概念求二元函數(shù)定義域的方法與求一元函數(shù)的類似:對(duì)于用解析式z=f(x,y)表達(dá)的二元函數(shù)，使這個(gè)解析式有確定值的自變量x、y的變化范圍就是這個(gè)函數(shù)的定義域.

例如，函數(shù)z=In(x+y)只在x+y>0(或y>-x)時(shí)有定義.它的定義域是位于直線y=-x上方的半平面而不包括這直線在內(nèi)的平面點(diǎn)集.例1-4求函數(shù)z= 的定義域.解要使函數(shù)有意義，則必須使

即 .

所以函數(shù)的定義域?yàn)閧(x,y)I }.它的定義域是以原點(diǎn)為圓心，半徑為4的圓內(nèi)和圓上的點(diǎn)在內(nèi)的平面點(diǎn)集.1.2.2二元函數(shù)的極限定義1.4設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)

的附近有定義(點(diǎn)

可除外)，上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.2二元函數(shù)的基本概念如果當(dāng)點(diǎn)P(x,y}以任何方式趨近于點(diǎn)

時(shí)，函數(shù)f(x，y)

無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱A為函數(shù)z=f(x，y)當(dāng) ,

時(shí)的極限，記為

，也可記為f(x，y).

應(yīng)該指出:二元函數(shù)的極限存在，是指P(x,y)以任何方式趨近于

時(shí)，函數(shù)都無(wú)限接近于A.因此，如果P(x,y)以某一特定方式(如沿著一條定直線或定曲線)趨近于

時(shí),即使函數(shù)無(wú)限接近于某一確定值，也不能確定函數(shù)此時(shí)的極限存在.如果當(dāng)P(x,y)以不同方式趨近于

時(shí)，函數(shù)無(wú)限接近于不同的值，則可確定函數(shù)此時(shí)的極限不存在.上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.2二元函數(shù)的基本概念例1-5求

當(dāng)

時(shí)的極限.

解函數(shù)f(x,y）在點(diǎn)(0,0)處沒(méi)有定義，記

，當(dāng)

時(shí)，

于是

例1-6討論極限

是否存在.解因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)P(x，y）沿直線y=0趨近于點(diǎn)(0,0)時(shí)，有

，而當(dāng)點(diǎn)P(x，y)沿直線y=x趨近于點(diǎn)(0,0)時(shí)，有上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.2二元函數(shù)的基本概念

，所以，極限

不存在.上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.2二元函數(shù)的基本概念1.2.3二元函數(shù)的連續(xù)性定義1.5設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)

附近有定義，P(x，y)是該鄰域內(nèi)任一點(diǎn)，如果

則稱函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)

處連續(xù).如果f（x，y）在區(qū)域D的每一點(diǎn)都連續(xù)，那么就稱函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù).與一元函數(shù)一樣，二元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)及復(fù)合函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)仍是連續(xù)的.上一頁(yè)返回1.3偏導(dǎo)數(shù)1.3.1偏導(dǎo)數(shù)的定義「先行問(wèn)題]某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種不同的產(chǎn)品，當(dāng)每月產(chǎn)量分別是x，y時(shí)，總成本為.我們想知道:當(dāng)產(chǎn)量分別為

時(shí)，以后每月乙產(chǎn)品產(chǎn)量保持穩(wěn)定，甲產(chǎn)品產(chǎn)量發(fā)生變化，這時(shí)總成本對(duì)甲產(chǎn)品產(chǎn)量的變化率是什么?分析當(dāng)甲、乙產(chǎn)品產(chǎn)量分別為

時(shí)，以后每月乙產(chǎn)品產(chǎn)量保持穩(wěn)定，即每月乙產(chǎn)品產(chǎn)量不會(huì)發(fā)生改變.若甲產(chǎn)品產(chǎn)量的增量為△x，那么總成本的增量下一頁(yè)返回1.3偏導(dǎo)數(shù)于是，總成本對(duì)甲產(chǎn)品產(chǎn)量的變化率為

（1）這個(gè)問(wèn)題就是二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，式(1)的極限值稱為C=C(x，y)在點(diǎn)

對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù).定義1.6設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)

的某鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)y固定在且x在處有增量△x時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量(稱為對(duì)x的偏增量)如果極限上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.3偏導(dǎo)數(shù)

存在，則稱此極限值為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)

處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),記為

或

，即類似地，函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)

處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)定義為記為

或

，.上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.3偏導(dǎo)數(shù)我們這里用字符?代替d，以區(qū)別于一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù).如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在，則這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù)，稱為函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記為

或類似地，可以定義函數(shù)z=f(x,y)對(duì)自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)，記為

或像一元函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)一樣，我們以后在不至于混淆的地方一也把偏導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù).上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.3偏導(dǎo)數(shù)由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，求多元函數(shù)一個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只需將其他自變量看成常數(shù)，用一元函數(shù)求導(dǎo)法即可求得.例1-7求

在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).解將x=1,y=2代入上式得

上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.3偏導(dǎo)數(shù)

上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.3偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)當(dāng)指出，在一元函數(shù)y=f（x）中，導(dǎo)數(shù)可看做函數(shù)的微分dy與自變量微分dx之商，但對(duì)二元函數(shù)z=f（x，y）（多元函數(shù)）來(lái)說(shuō)，，

是一個(gè)整體記號(hào)，不能看做分子與分母之商.1.3.2高階偏導(dǎo)數(shù)如果二元函數(shù)z=f（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)

仍然可導(dǎo)，那么它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)z=f(x，y)的二階偏導(dǎo)數(shù).相對(duì)于二階偏導(dǎo)數(shù)，就稱

為一階偏導(dǎo)數(shù).依照對(duì)變量求導(dǎo)數(shù)的次序不同，有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù).上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.3偏導(dǎo)數(shù)其中第三、第四兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù).這里

與

的區(qū)別在于前一個(gè)是先對(duì)x、后對(duì)y求導(dǎo)，而后一個(gè)是先對(duì)y、后對(duì)x求導(dǎo).一般說(shuō)來(lái)，這樣兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)當(dāng)然是有區(qū)別的.但是我們可以證明(從略):當(dāng)

與

都連續(xù)時(shí)，求導(dǎo)的結(jié)果與先后次序無(wú)關(guān)，即.例1-10求函數(shù)

的二階偏導(dǎo)數(shù).

解

，上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.3偏導(dǎo)數(shù)根據(jù)二階偏導(dǎo)數(shù)的定義，可以定義更高階偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).上一頁(yè)返回1.4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則「先行問(wèn)題]例如

等較復(fù)雜的多元復(fù)合函數(shù)的

偏導(dǎo)數(shù)如何求解?多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則是一元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的推廣.下面先就二元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)進(jìn)行討論.設(shè)函數(shù)z=f(u，v), 為x，y的復(fù)合函數(shù)

我們給出一個(gè)類似于一元函數(shù)那樣的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式(證略):定理1.1如果函數(shù)

在點(diǎn)(x，y)處有偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（u，v）處有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

在對(duì)（x，y）處有對(duì)x和y的偏導(dǎo)數(shù)，下一頁(yè)返回1.4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則且這個(gè)公式稱為求復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t.例1-11設(shè)z=e“sinv，而u=xy，v=x+y，求解上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

以上定理中的鏈?zhǔn)椒▌t可以推廣到中間變量或自變量不只兩個(gè)的情

形.例如:設(shè)z=f（u，v，w）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且

，w=w（x，y）都具有偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)

有對(duì)自變量x，y的偏導(dǎo)數(shù)，且又如，只有一個(gè)中間變量的情形：z=f（u，x，y），上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則它們都滿足所需的條件，則復(fù)合函數(shù)

有對(duì)自變量x和y的偏導(dǎo)數(shù)，且應(yīng)當(dāng)指出，這里

是不同的，是把

中的y看做常量而對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，是把f（u，x，y）中的u，y看做

常量而對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù). 也有類似區(qū)別。上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則更特別地，在只有一個(gè)自變量的情形下，例如:

設(shè)z=f(u，v，w)且

，

，

，則復(fù)合函數(shù)

是只有一個(gè)變量t的函數(shù)，這個(gè)復(fù)

合函數(shù)對(duì)t的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù)·若各函數(shù)都滿足所需要的條件，

則全導(dǎo)數(shù)存在，

并且例1-12設(shè) , ，求解上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例1-13設(shè) ,而x=sint，y=cost，求全導(dǎo)數(shù).

解例1-14設(shè)

，而y=sinx，求全導(dǎo)數(shù). 解上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則例1-15設(shè)

，且f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

求.解設(shè)，則u=f（s，t），于是上一頁(yè)返回1.5全微分「先行問(wèn)題]我們知道一元函數(shù)微分為，那么多元函數(shù)的微分如何定義?1.5.1全微分的概念「先行問(wèn)題]若x表示邊長(zhǎng)分別是x與y的矩形面積，即z=xy.如果邊長(zhǎng)x與y分別取得增量△x與△y,則面積z相應(yīng)地有全增量：如果設(shè)

則當(dāng)ρ→0時(shí)，△x△y是P的高階無(wú)窮小，即△x△y=o(ρ).于是面積的全增量可以表示為下一頁(yè)返回1.5全微分分析在一元函數(shù)的微分學(xué)中，函數(shù)的微分是函數(shù)增量的線性主部，用函數(shù)的微分來(lái)近似地代替函數(shù)的增量，其誤差是一個(gè)較△x高階的無(wú)窮小，對(duì)于多元函數(shù)，一也有類似的情況.定義1.7設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)p(x，y)及其附近有定義，分別給自變量x，Y的增量△x、△y，函數(shù)在點(diǎn)p處對(duì)應(yīng)的全增量為如果

，其中A、B與△x、△Y無(wú)關(guān)，而o(ρ)是ρ= 趨于0的高階無(wú)窮小，則稱函數(shù)z=f(x,y)在p(x，y)是可微的.并將dz=Adx+Bdy稱為二元函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)p(x，y)的全微分.事實(shí)上，可以證明上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.5全微分若將△x、△y分別記為dx、dy，于是函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)p(x，y)的全微分可寫(xiě)成注意:對(duì)一元函數(shù)來(lái)說(shuō)，函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)與可微是等價(jià)的，但對(duì)多元函數(shù)來(lái)說(shuō)，就不是這樣了·當(dāng)函數(shù)z=f(x,y)的各偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí)，雖然形

式上可以寫(xiě)成

，但它與△z之差并不一定是ρ的高

階無(wú)窮小，即它不一定存在全微分，這就是說(shuō)，各偏導(dǎo)數(shù)存在只是全微分存在的必要條件，不是它的充分條件.上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.5全微分

所以

上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.5全微分1.5.2全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用在一元函數(shù)中，可以用函數(shù)的微分作為函數(shù)增量的近似值，在多元函數(shù)中也有類似的公式，以二元函數(shù)z=f(x,y)為例，設(shè)它的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)

連續(xù)，并且

都較小時(shí)，由全微分的定義，可得下面近似公式:例1-18有一金屬制成的圓柱體，受熱后發(fā)生變形，它的半徑由20cm增大到20.05cm，高由50cm增加到50.09cm，求此圓柱體體積變化的近似值.解設(shè)圓柱體的半徑、高和體積分別為r、h和V，它們的增量分別記為△r、△h和△V，于是有上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.5全微分其中，r=20,h=50,△r=0.05,△h=0.09，運(yùn)用公式得上一頁(yè)返回1.6多元函數(shù)的極值與最值1.6.1二元函數(shù)的極值的定義定義1.8設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)

及其附近有定義，對(duì)于點(diǎn)

附近的不同于的點(diǎn)P(x，y):如果總有f(x，y)≤ 則稱函數(shù)在點(diǎn)

處有極大值 ;如總有f(x，y)≥ 則稱函數(shù)在點(diǎn)

處有極小值 .極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).例如，函數(shù)

，在點(diǎn)(0,0)處有極大值z(mì)=a，由圖1.9(a).可見(jiàn)，點(diǎn)(0,0,a)是半球

的最高點(diǎn).又如，函數(shù)

在點(diǎn)(0,0)處有極小值，因?yàn)樵邳c(diǎn)(0,0)的任下一頁(yè)返回1.6多元函數(shù)的極值與最值一鄰域內(nèi)異于點(diǎn)(0,0)的點(diǎn)的函數(shù)值都為正，而點(diǎn)(0,0)處函數(shù)值為零.從幾何圖形上看是顯然的，因?yàn)辄c(diǎn)(0,0)是開(kāi)口向上的旋轉(zhuǎn)拋物面

的頂點(diǎn)(如圖1.9(b)).1.6.2二元函數(shù)極值存在的必要條件定理1.2(必要條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)

可微分，且在點(diǎn)

處有極值，則若點(diǎn)

能使函數(shù)z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)

同時(shí)為零，則稱點(diǎn)

為函數(shù)z=f(x,y)上的駐點(diǎn).由定理1.2知，可微函數(shù)的極值點(diǎn)必是駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).定理1.3(充分條件)設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)

及其附近有一階及上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.6多元函數(shù)的極值與最值二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，

是它的駐點(diǎn)，令

則:(1)當(dāng)

時(shí)，函數(shù)z=f(x,y)具有極值，當(dāng)A＜0時(shí)，有極大值

，當(dāng)A>0時(shí)，有極小值 ;(2)當(dāng)

時(shí)，函數(shù)z=f(x,y)沒(méi)有極值;(3)當(dāng)

時(shí)，

是否為極值，需另行判別.(證明從略)由定理1.2,1.3可得，求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x,y)的極值的步驟如下:(1)確定函數(shù)z=f(x,y)的定義域D;上一頁(yè)下一頁(yè)返回1.6多元函數(shù)的極值與最值(2)求使

同時(shí)成立的全部實(shí)數(shù)解，即得全部駐點(diǎn);(3)對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)

，求出二階