數(shù)學(xué)素材：教材梳理第二講四弦切角的性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)一、弦切角1。定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。2.弦切角的特點(diǎn)：（1)頂點(diǎn)在圓周上;(2)一邊與圓相交；(3）一邊與圓相切.誤區(qū)警示弦切角定義中的三個(gè)條件缺一不可。圖2-圖23。如圖2-圖2二、弦切角定理1。弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角.2。定理的證明:由于弦切角可分為三類，即圖2-4-3所示的情況，所以在證明定理時(shí)分三種情況加以討論：當(dāng)弦切角一邊通過圓心時(shí)〔圖2-4—4（1）〕，顯然弦切角與其所夾弧所對(duì)的圓周角都是直角；當(dāng)圓心O在∠CAB外時(shí)〔圖2—4—4(2）〕，作⊙O的直徑AQ，連結(jié)PQ，則∠BAC=∠BAQ—∠1=∠APQ—∠2=∠APC；當(dāng)圓心O在∠CAB內(nèi)時(shí)〔圖2圖23。在證明弦切角定理的過程中,我們從特殊情況入手，通過猜想、分析、證明和歸納，從而證明了弦切角定理。通過弦切角定理的證明過程，要學(xué)會(huì)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)觀察問題,進(jìn)而理解從一般到特殊,從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律。知識(shí)拓展由弦切角定理，可以直接得出一個(gè)結(jié)論：若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個(gè)弦切角也相等，我們把這一結(jié)論稱為弦切角定理的推論，它也是角的變換的依據(jù).弦切角定理也可以表述為弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。這就建立了弦切角與弧的數(shù)量之間的關(guān)系，它為直接依據(jù)弧進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換確立了基礎(chǔ)。問題·探究問題到目前為止，對(duì)于圓中有關(guān)的角我們已學(xué)過圓心角、圓周角、弦切角，它們各自有定義、定理及和它所對(duì)的弧的度數(shù)關(guān)系，這三種角在證明題和計(jì)算題中經(jīng)常用到，它們是幾何綜合題中不可缺少的知識(shí)點(diǎn)。它們相互之間有哪些聯(lián)系和區(qū)別？如何把握這些聯(lián)系和區(qū)別？思路:從理解圓心角、圓周角、弦切角的定義、定理及與所對(duì)、所夾的弧的關(guān)系入手思考.探究:圓心角、圓周角、弦切角是圓中三類重要的角，準(zhǔn)確理解它們的定義、定理及與所對(duì)、所夾的弧的關(guān)系，對(duì)于我們在圓中的計(jì)算、證明，起著舉足輕重的作用,將這些知識(shí)總結(jié)對(duì)比列表如下，你可以在比較中把握其異同點(diǎn)，從而快速、準(zhǔn)確地應(yīng)用于解決問題。名稱圓心角圓周角弦切角定義頂點(diǎn)在圓心的角頂點(diǎn)在圓上；兩邊和圓相交頂點(diǎn)在圓上;一邊和圓相交;另一邊和圓相切圖形有關(guān)定理①圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)②在同圓或等圓中相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等,所對(duì)弦的弦心距相等同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半弦切角等于它所夾弧所對(duì)的圓周角有關(guān)推論四者關(guān)系定理的推論圓周角定理推論①、②、③弦切角定理的推論角與弧的關(guān)系∠AOB的度數(shù)=的度數(shù)∠ACB的度數(shù)=的度∠ACB的度數(shù)=的度典題·熱題例1如圖2—J圖2思路分析：∠BAE為弦切角，于是∠BAE=∠C，再由AE平分∠CAB和△ABC是直角三角形可得∠C的度數(shù)，進(jìn)而解直角三角形即可。解：∵AD為⊙O的切線，∴∠BAE=∠C.∵AE平分∠CAB，∴∠BAC=2∠BAE。又∵∠C+∠BAC=90°，∴∠BAE=∠C=30°.則有BE=1,AB=,BC=3,AC=.深化升華本題應(yīng)用弦切角、解直角三角形的知識(shí),為基礎(chǔ)題型,求解此類題時(shí)，要注意弦切角在角的轉(zhuǎn)換中的作用，本題正是由于這一條件，溝通了角之間的數(shù)量關(guān)系。例2如圖2—圖2思路分析：連結(jié)DF，構(gòu)造弦切角,于是∠FDC=∠DAC，根據(jù)AD是△ABC中∠BAC的平分線,得∠BAD=∠DAC,而∠BAD與∠EFD對(duì)著同一段弧,所以相等，由此建立∠EFD與∠FDC的相等關(guān)系,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，可以斷定兩直線平行.證明:連結(jié)DF。∵AD是∠BAC的平分線,∴∠BAD=∠DAC.∵∠EFD=∠BAD，∴∠EFD=∠DAC。∵⊙O切BC于D，∴∠FDC=∠DAC?！唷螮FD=∠FDC?！郋F∥BC。方法歸納證明兩條直線平行的方法有：（1）內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；（2）同位角相等，兩直線平行；(3）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行等。證題時(shí)可以根據(jù)圖形與已知合理選擇.本題由于有切線，所以考慮弦切角和它所對(duì)的圓周角.例3如圖2-圖2(1)求證:△ABE≌△ACD；（2）若AB=6cm，BC=4cm，求AE的長。思路分析：第（1）問中的全等已經(jīng)具備了AB=AC,再利用弦切角定理與圓周角定理可以得角的相等關(guān)系；對(duì)于（2），則利用△BCE∽△ACB建立比例式,解方程獲得AE的長.（1）證明:∵XY是⊙O的切線，∴∠1=∠2。∵BD∥XY，∴∠1=∠3.∴∠2=∠3?！摺?=∠4,∴∠2=∠4?！摺螦BD=∠ACD，又∵AB=AC，∴△ABE≌△ACD。(2）解：∵∠3=∠2，∠BCE=∠ACB,∴△BCE∽△ACB.∴。∴AC·CE=BC2，即AC·（AC—AE）=BC2.∵AB=AC=6，BC=4,∴6（