高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（帶答案）

第第頁(yè)P(yáng)AGE高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（帶答案）試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分?？荚囉脮r(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)茲。3．考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知，則A． B． C． D．2．已知集合，則A． B． C． D．3．已知事件互斥,且滿足，則A． B． C． D．4．向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為A． B．C．D．5．已知底面半徑為的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為平角的扇形，則該圓錐的體積為 A． B． C． D．6．已知橢圓的離心率為，焦點(diǎn)為，一個(gè)短軸頂點(diǎn)為則A． B． C． D．7．已知函數(shù)圖象的一個(gè)最高點(diǎn)與相鄰的對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為則A． B． C． D．8．已知為雙曲線右支上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作C的兩條漸近線的平行線與另外一條漸近線分別交于點(diǎn)則A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．為了弘揚(yáng)奧運(yùn)會(huì)中我國(guó)射擊隊(duì)員頑強(qiáng)拼搏的奮斗精神，某校射擊興趣小組組織了校內(nèi)射擊比賽,得到8名同學(xué)的射擊環(huán)數(shù)如下：9，8，6，10，9，7，6，9（單位：環(huán)），則這組樣本數(shù)據(jù)的A．極差為4 B．平均數(shù)是8C．上四分位數(shù)是9 D．方差為410．已知函數(shù)不是常函數(shù)，且圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，記的導(dǎo)函數(shù)為則A．存在和實(shí)數(shù)t,使得B．不存在和實(shí)數(shù)滿足C．存在和實(shí)數(shù)滿足D．若存在實(shí)數(shù)t滿足，則只能是指數(shù)函數(shù)11．已知F(l，0)，圓，點(diǎn)P為圓M上一動(dòng)點(diǎn)，以PF為直徑的圓N交y軸于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，則A．當(dāng)點(diǎn)N在y軸上時(shí)， B．的取值范圍是C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．小明去超市從4種功能性提神飲料和5種電解質(zhì)飲料中選3瓶進(jìn)行購(gòu)買(mǎi)，若每種飲料至多買(mǎi)一瓶，則功能性提神飲料和電解質(zhì)飲料都至少買(mǎi)1瓶的買(mǎi)法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）13．已知正數(shù)滿足則的最小值為.14．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù).四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15．（13分）已知的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是且(1)求C；(2)若求外接同的半徑．16．（15分）已知函數(shù)(l)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，證明：17．(15分)已知拋物線的焦點(diǎn)為和C的準(zhǔn)線上的兩點(diǎn)為頂點(diǎn)可以構(gòu)成邊長(zhǎng)為的等邊三角形．(1)求C的方程；(2)討論過(guò)點(diǎn)的直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)18．(17分)在三棱錐中，底面分別為的中點(diǎn)，E為線段PA上一點(diǎn)，平面底面ABC．(1)若求二面角的余弦值；(2)求.19．（17分）已知數(shù)列一共有項(xiàng)，成公差不為0的等差數(shù)列,對(duì)任意的成等差數(shù)列，且對(duì)于不同的其公差為同一個(gè)非零常數(shù).(1)若求數(shù)列的各項(xiàng)之和;(2)證明：成等差數(shù)列；(3)從中任取三個(gè)數(shù)，記成等差數(shù)列且也成等差數(shù)列的概率為，證明：.參考答案1．【答案】A【解析】由，故故選A．2．【答案】C【解析】，或.故選C．3.【答案】D【解析】由全概率公式可得故選D．4．【答案】B【解析】因?yàn)樗栽谏系耐队跋蛄繛楣蔬xB．5．【答案】C【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，高為h，底面半徑為,由,得故，所以圓錐的體積故選C．6．【答案】D【解析】設(shè)C的中心為O，長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為2a，2b，2c，則在等腰三角形中，因?yàn)镃的離心率為，所以在直角三角形中，故.故選D．7．【答案】C【解析】設(shè)的最小正周期為，依題意，得解得所以解得，所以所以故選C．8．【答案】C【解析】設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為0，易知C的漸近線的方程為聯(lián)立解得不妨取同理可得則=,因?yàn)樗倪呅蜲ADB是平行四邊形，于是由于點(diǎn)D在C上，所以因此故選C．9．【答案】ABC（每選對(duì)1個(gè)得2分）【解析】將這組數(shù)據(jù)從小到大排序得6，6，7，8，9，9，9，10，對(duì)于A，這組數(shù)據(jù)的極差為故A正確；對(duì)于B，平均數(shù)為故B正確；對(duì)于C，因?yàn)樗陨纤姆治粩?shù)為故C正確；對(duì)于D，方差為故D錯(cuò)誤，故選ABC.10．【答案】AC（每選對(duì)1個(gè)得3分）【解析】令則存在實(shí)數(shù)使得A正確；存在，故B錯(cuò)誤；令則C正確；若故D錯(cuò)誤．故選AC.11．【答案】ACD（每選對(duì)1個(gè)得2分）【解析】當(dāng)在y軸上時(shí)，則，則故A正確；代入得可得N在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，又圓N交軸于A，B，故故B錯(cuò)誤；以為直徑的圓N的方程可寫(xiě)為令可得，即，則分別為方程的兩根由韋達(dá)定理得故C正確；要證,即證所以，即故D正確，故選ACD．12．【答案】70【解析】由題意可得功能性提神飲料和電解質(zhì)飲料都至少買(mǎi)1種的買(mǎi)法種數(shù)為13．【答案】【解析】由題意可得,故，故,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).14．【答案】【解析】等號(hào)左邊的分子和分母同時(shí)除以等號(hào)右邊的分子和分母同時(shí)除以分離出參數(shù),設(shè)則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減，且時(shí)，時(shí)且方程有唯一解，故15.解：(1)由題意得（2分）又（4分）（5分）化簡(jiǎn)得，（6分）又（7分）(2)在中，由余弦定理得（10分）設(shè)的外接圓半徑為故（12分）外接圓的半徑為2．（13分）【評(píng)分細(xì)則】第一問(wèn)在最終求值時(shí)，如果未說(shuō)明角C的取值范圍扣1分．16．(1)解：當(dāng)時(shí)（2分）（4分）故曲線在點(diǎn)處的切線方程為（6分）(2)證明：當(dāng)時(shí)，（8分）令則，所以在上單調(diào)遞增，（11分）又所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；（12分）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，（13分）故（15分）【評(píng)分細(xì)則】第二問(wèn)用其他方法證明酌情給分．17．解：(1)由題意得焦點(diǎn)準(zhǔn)線方程為以焦點(diǎn)和C的準(zhǔn)線上的兩點(diǎn)為頂點(diǎn)可以構(gòu)成邊長(zhǎng)為的等邊三角形，則其高為2，（3分）即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離解得（負(fù)值舍去），（5分）所以C的方程為.（6分）(2)若直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為由方程組可得（8分）(I)當(dāng)k=0時(shí)，解得此時(shí)方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)；（9分）(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，方程的根的判別式為，（10分）(i)由，解得此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)；（11分）(ii)由，解得此時(shí)方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，l與C有兩個(gè)公共點(diǎn)；（12分）(iii)由．解得此時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，l與C沒(méi)有公共點(diǎn)；（13分）若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為易知l與C沒(méi)有公共點(diǎn)．（14分）綜上，當(dāng)l的方程為的斜率時(shí)，l與C的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)l的斜率時(shí),l與C的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)l的斜率時(shí)，l與C的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．（15分）【評(píng)分細(xì)則】第二問(wèn)如果考生設(shè)的直線方程為其他形式，按步驟酌情給分18．解：(1)因?yàn)椋室訟為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在的直線分別為軸，過(guò)點(diǎn)A作垂直于平面ABC的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（1分）則（2分）因?yàn)槠矫娴酌嬉椎闷矫娴囊粋€(gè)法向量為（4分）設(shè)平面的法向量為則可得令可得，（6分）設(shè)二面角為則（8分）故二面角的余弦值為（9分）(2)連接AM交BN于點(diǎn)O，則而.（11分）故從而從而又平面底面ABC，平面底面（14分）故平面EBN，故故（17分）【評(píng)分細(xì)則】其他解法酌情給分．19.首先構(gòu)造如圖的數(shù)表M:a1a2a3…amam+1am+2am+3…a2m……………am(m-1)+1am(m-1)+2am(m-1)+3…(1)解：由題意得又由數(shù)列的定義知?jiǎng)t可補(bǔ)全數(shù)表M如圖所示．135357579（3分）則數(shù)列的各項(xiàng)之和為45.（5分）(2)證明：如數(shù)表M所示，即證明左上至右下的對(duì)角線（記為l）上的數(shù)成等差數(shù)列由該數(shù)表中的數(shù)的定義可知，該數(shù)表每行均為等差數(shù)列且公差相同，設(shè)公差為每列也為等差數(shù)列且公差相同，設(shè)公差為，那么那么數(shù)列是以為首項(xiàng)為公差的等差數(shù)列．（9分）(3)證明：不妨將數(shù)表M的每個(gè)數(shù)看作一個(gè)點(diǎn)，若P，Q，R三點(diǎn)共線，且關(guān)于中間的一點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，則顯然這三個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列．（11分）在該數(shù)表中，只需要橫