第7講向量的應(yīng)用（知識點串講）原卷版

第7講向量的應(yīng)用（滬教版2020必修二）【知識講練】1、平面向量分解定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不平行向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量有且只有一對實數(shù)，使．我們把不平行的向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基．注意：（1）基底不共線；（2）將任一向量在給出基底的條件下進行分解；（3）基底給定時，分解形式唯一，是被唯一確定的數(shù)量幾何角度證明：如圖，在平面內(nèi)取一點O，作，，，再作直線OA、OB．設(shè)點C不在直線OA和OB上，過點C分別作直線OA、OB的平行線，由于向量不平行，可知所作兩直線分別與直線OB、OA有唯一的交點，記為N、M．作向量、．因為，所以存在唯一的實數(shù)，使．因為，所以存在唯一的實數(shù)，使．而四邊形OMCN是平行四邊形，因此．即=．如果點C在直線OA或OB上，那么或．這時得或．所以關(guān)于、的分解式總是確定的．代數(shù)角度：證明唯一性：（1）當(dāng)時，（2）當(dāng)時，假設(shè)，則有=,．由于不平行，故，即．2、重要結(jié)論設(shè)不平行，點在上存在實數(shù)使得證明：如圖，設(shè)向量，【的正負(fù)可以給學(xué)生講一下】3、平面向量和三角形四心（1）是的重心．證法1：設(shè)是的重心．證法2：如圖三點共線，且分為2：1是的重心（2）設(shè),,是三角形的三條邊長，I是ABC的內(nèi)心為的內(nèi)心．證明：（)分別為方向上的單位向量，平分,IA為ABC中的角平分線，同理可證IB為ABC中的角平分線，IC為ABC中的角平分線。點I為ABC的內(nèi)心。（3）為的垂心．證明：如圖所示是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足．同理，（4）為的外心。（5）四心重要的結(jié)論：Ⅰ、外心（外接圓圓心O中垂線的交點）①．（R為外接圓半徑）．②．．③．推廣：（D為BC的中點，G為△ABC的重心）．④．*圓心角是圓周角的兩倍．⑤．*Ⅱ、重心（G中線的交點）①．．②．or．③．若，則其重心的坐標(biāo)為．④．重心分每條中線分為2：1的兩短．Ⅲ、內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心I角平分線的交點）①．注：表示為∠A的角平分線．②．．Ⅳ、垂心（H角平分線的交點）①．．②．*4、運用向量方法解決平面幾何問題可以分哪幾個步驟？“三步曲”：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；(3)把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．一、單選題1．（2021·上海高一課時練習(xí)）有關(guān)向量和向量，下列四個說法中：①若，則；②若，則或；③若，則；④若，則.其中的正確有（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2021·上海高一課時練習(xí)）平行四邊形ABCD中，等于（）A． B． C． D．3．（2021·上海高一課時練習(xí)）下列命題正確的是A．若都是單位向量，則B．兩個向量相等的充要條件是它們的起點和終點都相同C．向量與是兩個平行向量D．若，則四點是平行四邊形的四個頂點4．（2021·上海高一課時練習(xí)）已知為兩個單位向量，那么下列四個命題中正確的是A． B．若，則 C． D．5．（2021·上海高一課時練習(xí)）設(shè)A，B，C為直線l上不同的三點，O為直線l外一點．若，則（）A．－1 B．0 C．1 D．36．（2021·上海高一課時練習(xí)）若直線l上不同的三個點A，B，C與直線l外一點O，使得成立，則滿足條件的實數(shù)x的集合為（）A．{－1，0} B．C． D．{－1}7．（2021·上海高一課時練習(xí)），為非零向量，且|＋|＝||＋||，則（）A．∥，且與方向相同 B．，是共線向量且方向相反C．＝ D．，無論什么關(guān)系均可8．（2021·上海高一課時練習(xí)）已知點為所在平面內(nèi)一點，若動點滿足，則點一定經(jīng)過的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心9．（2021·上海高一課時練習(xí)）下列各式中不能化簡為的是（）A． B．C． D．10．（2021·上海高一課時練習(xí)）在中，是邊上一定點，滿足，且對于邊上任一點，恒有，則（）A． B． C． D．11．（2021·上海高一課時練習(xí)）在中，，，若，則與的夾角大小為（）A． B． C． D．12．（2021·上海高一課時練習(xí)）已知，則與的夾角為（）A． B． C． D．13．（2021·上海高一課時練習(xí)）下列命題中，正確的是A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則14．（2021·上海高一課時練習(xí)）在中，“”是“為鈍角三角形”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件15．（2021·上海高一課時練習(xí)）在邊長為的正三角形中，的值為A． B． C． D．二、填空題16．（2021·上海高一課時練習(xí)）___________.17．（2021·上海高一課時練習(xí)）如圖所示，已知AD=3，B，C是線段AD的兩個三等分點，分別以圖中各點為起點和終點，模長度大于1的向量有___________.18．（2021·上海高一課時練習(xí)）已知A、B兩地間的距離為10km，B、C兩地間的距離為20km，現(xiàn)測得∠ABC＝120°，則A、C兩地間的距離為________．19．（2021·上海高一課時練習(xí)）菱形ABCD中，∠BAD＝60°，||＝1，則＝_____．20．（2021·上海高一課時練習(xí)）已知向量，，若，則________.21．（2021·上海高一課時練習(xí)）向量，.若向量，則實數(shù)的值是________.22．（2021·上海高一課時練習(xí)）若，則__________23．（2021·上海高一課時練習(xí)）已知向量，則________.24．（2021·上海高一課時練習(xí)）若向量和都是單位向量，并且夾角大小為，則以和為鄰邊的平行四邊形的較長的對角線的長度為____________.25．（2021·上海高一課時練習(xí)）已知向量＝(1，1)，＝(1，－1)，＝(cosα，sinα)(α∈R)，實數(shù)m，n滿足m＋n＝，則(m－3)2＋n2的最大值為________．26．（2021·全國高一課時練習(xí)）已知在中，點滿足，若存在實數(shù)使得成立，則________.27．（2021·上海高一課時練習(xí)）如圖，在中，點在上，且；點在上，且與交點為，若設(shè)，于是可得出：于是由，可求出_____28．（2021·上海高一課時練習(xí)）已知?是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若滿足，則的最大值為___________.29．（2021·上海高一課時練習(xí)）已，，，則向量與的夾角為________．30．（2021·上海高一課時練習(xí)）已知點，，點分向量的比是，則向量在向量方向上的投影為______．31．（2021·上海高一課時練習(xí)）有一山坡傾斜角為30°，若在斜坡平面內(nèi)沿著一條與斜坡線成45°角的直路前進了100米，則升高了________米.32．（2021·上海高一課時練習(xí)）已知，，則的同向單位向量為____________________.33．（2021·上海高一課時練習(xí)）已知中，，，是重心，且，則______．34．（2021·上海高一課時練習(xí)）在中，已知，當(dāng)時，的面積為________.三、解答題35．（2021·上海高一課時練習(xí)）如圖，在△中，點是的中點，過點的直線分別交直線，于不同的兩點，，若，求的值．36．（2021·上海高一課時練習(xí)）（1）