2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-3含解析

1.3.2二項式定理(二)

課前導(dǎo)引

問題導(dǎo)入

今天是星期一，再過351天是星期幾？

思路分析：35田7=(28-1)17

17|6

-28-C'7-28+-+^-28-(-1)+C；；

=28[Cp-2816-Cp-28I5+-+C27-(-1)]+1

前邊是7的整數(shù)倍，故再過351天是星期二.

知識預(yù)覽

1.在近似計算中，對于二項展開式各項的取值要按精確度的要求處理；

2.利用二項式定理證明不等式時，要注意利用數(shù)列求和及放縮的方法；

3.解決整除性問題，即是把其中一個式子展開，使其展開后的各項均能被另一個式子整除即

可.

1.3.3“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì)

課前導(dǎo)引

問題導(dǎo)入

問題：某城市的街道縱橫織成方格網(wǎng)（如圖），行人只能在街道上行走，方向規(guī)定朝東

或朝南前行，某同學(xué)欲從A處前往B處，試問有多少種走法？

思路分析：將圖中的最小正方形的每一邊看作一個小段，顯然學(xué)生從A到B無論怎么走都

必須走完8個小段，其中向東走過4個小段，向南走過4個小段，至于是先向東還是先向南,

抑或忽東忽南，但憑興之所致.于是問題轉(zhuǎn)化為“從8個不同元素（8個小段）中選出4個（向

東的4段）不同元素的組合有多少個？”故知有走法C4g=70種.

B

如果把從A處出發(fā)到方格網(wǎng)的每一個結(jié)點處的走法標(biāo)在圖上，并將方格網(wǎng)繞A點按順時針

方向旋轉(zhuǎn)45。，觀察新的網(wǎng)格圖，你從中發(fā)現(xiàn)了什么？如果把方格網(wǎng)數(shù)進(jìn)一步擴(kuò)大，你能得

到從A到B的走法嗎？

知識預(yù)覽

1.對稱性.源于組合數(shù)的性質(zhì)"C："=C；'"”.從"C：=C：=1”開始，然后左右向中間靠攏，便有

2.增值性與最大值.當(dāng)n為偶數(shù)時，（a+b）11的展開式有n+1項，n+1是奇數(shù)，這時展開式的形

式是

△

前2項后一項

22

中間一項是第^fi+i項，它的二項式系數(shù)是它-是所有的二項式系數(shù)中的最大者?

2

當(dāng)n為奇數(shù)時，（a+b）”的展開式共有n+1項，n+1是偶數(shù)，這時展開式的形式是

△△……△

乂〃+1.「g〃+1H

前——+1項第——項

22

九△……△△

T'''

第4士1+1項前四」項

22

中間兩項是第C"+1、/上?+」1+1項，它們的二項式系數(shù)是C—J、c,2,這兩個系數(shù)相等，并

22

且是所有二項式系數(shù)中的最大者.

3.在(a+b)n展開式中令a=b=l得C：+C：+…+C；=2n；令a=l,b=-l得C，-C；+C；-C：+…

=0,二C°+C：+C：+???=C'?+C；+2"-'這種由一般到特殊的方法是“賦值法”.

4.楊輝三角中蘊含的規(guī)律：+c：,c：=c;r等.

2.1離散型隨機變量及其分布列

2.1.1離散型隨機變量

課前導(dǎo)引

問題導(dǎo)入

兩位同學(xué)做拋硬幣試驗，同時拋兩枚.若兩枚硬幣都正面向上，則甲勝；若兩枚硬幣一

枚正面向上，一枚反面向上，則乙勝.你認(rèn)為誰能取勝？

思路分析：同時拋兩枚硬幣有正、正，正、反，反、正和反、反四種不同的結(jié)果，而甲只占

其中一種，乙占兩種.因此，乙取勝的可能性更大.

知識預(yù)覽

1.隨機變量：隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量.隨機變量常用字母x,y￡，n來表

示.

2.所謂隨機變量，那是隨機試驗的試驗結(jié)果和實數(shù)之間的一個對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系是人

為建立起來的，但又是客觀存在的.這與小數(shù)概念的本質(zhì)是一樣的，只不過在函數(shù)概念中，

函數(shù)f(x)的自變量x是實數(shù)，而在隨機變量的概念中，隨機變量&的自變量是試驗結(jié)果.

3.離散型隨機變量

如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫離散型隨

機變量.

4.連續(xù)型隨機變量

如果隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機變量叫做連續(xù)型隨機變量.

2.1.2離散型隨機變量的分布列

課前導(dǎo)引

問題導(dǎo)入

南方某氣象局對本地7月份的氣溫進(jìn)行統(tǒng)計

對日平均氣溫出現(xiàn)的概率列表如下：

自(℃)323334353637383940

P0.10.20.250.150.10.080.070.030.02

你能發(fā)現(xiàn)表中數(shù)據(jù)的規(guī)律嗎？

思路分析：表中數(shù)據(jù)有兩個規(guī)律:

(1)第二行中的每個數(shù)都大于0;

(2)第二行各數(shù)據(jù)之和等于1.

(1)pi>0i=l,2…;

(2)pi+p2+…=1.

3.兩點分布列

像

X01

P1-PP

這樣的分布列叫做兩點分布列,如果隨機變量x的分布列為兩點分布列，就稱x服從兩點分

布，而稱p=P(X=l)為成功概率.

4.超幾何分布列

一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件｛X=k｝發(fā)

生的概率為

%?-用

P(X=k)=k=0,l,2,…,m,其中m=min{M,n},S.n<N,M<N,n,M,NeN*.

~cT

稱分布列

X01???m

/~>\「八-1

P???

為超幾何分布列.如果隨機變量X的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量X服從超幾何分

布.

2.2二項分布及其應(yīng)用

2.2.1條件概率

課前導(dǎo)引

問題導(dǎo)入

為了了解某地區(qū)參加會計資格考試的1005名考生的成績，打算從中抽取一個容量為50的

樣本，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法，需要從總體中剔除5個個體，在整個抽樣過程中，求

(1)每個個體被剔除的概率；

(2)每個個體不被剔除的概率；

(3)每個個體被抽取的概率分別是多少？

思路分析：(1)由于每個個體被剔除的概率是相等的，于是每個個體被剔除的概率為51005.

(2)每個個體不被剔除的概率為1一二一=幽.(3)一個個體被抽到等價于這個個體不

10051005

被剔除，并且被抽到.因此每個個體被抽到的概率為U她xWL=.

100510001005

解析：設(shè)事件A：考生a被剔除；事件B：考生a不被剔除；事件C：考生a被抽取.從1005

中隨機抽取5個共有G盆5種結(jié)果，每一種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.

(1)事件A包含種結(jié)果，由等可能事件的概率公式得：P(A)=@=H—;

G0051005

(2)由對立事件的概率的公式得:

1000

P(B)=1-P(A)=

1005

(3)從不被剔除的1000個考生中抽取50個個體，由等可能事件的概率公式得每個個體被

45

抽取的概率：P(C)=cT~C^'=__,考生a被抽到是在不被剔除的條件下從1000個考

CfoooI。。。

生中被抽到.

知識預(yù)覽

1.條件概率的定義：

一般地，設(shè)A,B為兩個事件，且P(A)>0,稱

/(AB)

P(B|A)

P(A)

為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率.

2.條件概率的性質(zhì):0<P(B|A)<1

3.如果B和C是兩個互斥事件，則P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)

2.2.2事件的相互獨立性

課前導(dǎo)引

問題導(dǎo)入

有A,B兩個盒子，A中有3個黑球，2個白球，B中有4個紅球，5個白球，從這兩個盒

子中分別摸出1個球，它們都是臼球的概率是多少？

思路分析:因為。中含45個基本事件,而事件“兩個球都是白球”含10個基本事件.因而p=W.

如果我們從另外一個角度分析，從A中摸出1白球的概率為p尸士，從B中摸出一白球的

5

概率P2=^，則PlXp2=^.這時plXp2=p,這兩個計算結(jié)果相等！這難道是巧合嗎？如何解

釋？

思路分析：從A中摸出1個球有5種等可能的結(jié)果，從B中摸出1個球有9種等可能的結(jié)

果，于是從兩個盒子中各摸出1個球，共有5x9=2種等可能的結(jié)果，而從兩個盒子中各摸

5

出1個白球共有2x5=10種結(jié)果，故由古典概率公式有所求概率P=120=W2.

459

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1.事件的相互獨立性：

設(shè)A、B為兩個事件，如果P(AB)=P(A)P(B),則稱事

件A與事件B相互獨立.可能證明，如果A與B相互獨

立，那么A與B,A與B,A與8也都相互獨立.

2.說明：

判斷兩個事件的相互獨立性時.，常常通過對事物本質(zhì)進(jìn)行分析就能知道，而無需用定義判斷.

2.2.3獨立重復(fù)試驗與二項分布

課前導(dǎo)引

問題導(dǎo)入

甲、乙兩名圍棋手進(jìn)行比賽，已知每一局甲獲勝的概率是0.6,乙獲勝的概率是0.4,比賽

時可采用三局兩勝或五局三勝制，問在哪一種比賽制度下，甲獲勝的可能性較大？

思路分析:在三局兩勝下：甲獲勝的情況有：兩局全勝：三局中前兩局一勝一負(fù)、第三局勝.

則甲獲勝的概率為Pi=0.62+C\x0.6x0.4x0.6=0.648.

在五局三勝中：甲獲勝的情況有：三局全勝；四局中前三局二勝一負(fù)，第四局勝；5局中前

4局二勝二負(fù)，第五局勝，則甲獲勝的概率為：

3222

P2=0.6+C；0.6X0.4X0.6+C：X0.6X0.4X0.6=0.68256.

,?,Pi<P2,

五局三勝的情況下，甲獲勝的可能性大.

知識預(yù)覽

l.n次獨立重復(fù)試驗：

一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗.

說明:在n次獨立重復(fù)試驗中，“在相同條件下''等價于各次試驗的結(jié)果不會受其他試驗的影

響，即

P(AlA2-An)=P(Ai)-P(A2)

-P(An)

其中Ai(i=l,2,…,n)是第i次試驗的結(jié)果.

2.二項分布

一般地，在n次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗中事件A發(fā)生

的概率為P，那么在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為：

p(x=k)=C*pk(l-p)nk,(k=0,l,2,-,n).

此時稱隨機變量Xio及從二項分布，記作X-B(n,p),

并稱p為成功概率.

2.3離散型隨機變量的均值與方差

2.3.1離散型隨機變量的均值

課前導(dǎo)引

問題導(dǎo)入

設(shè)有m升水，其中含有大腸桿菌n個，今取1升進(jìn)行化驗，設(shè)其中含有大腸桿菌的個數(shù)為

X,求X的均值.

思路分析：任取1升水，此升水中含一個大腸桿菌的概率是,，事件“X=k”發(fā)生，即n個

m

大腸桿菌中恰有k個在此升水中，由n次獨立重復(fù)試驗中事件A(在此升水中含一個大腸桿

菌)恰好發(fā)生k次的概率計算解法可求出P(x=k),進(jìn)而可求EX.

解析：記事件A：“在所取的1升水中含一個大腸桿菌”，則P(A)

m

；.P(X=k)=C^(—)k-(l--)n-k(k=0,l,2,…,n)

mm

.1,,1n

XB(n,—)，故EX=nx—二—

mmm

知識預(yù)覽

1.均值：

一般地，若離散型隨機變量X的分布列為

??????

XxiX2XiXn

??????

pPiP2PiPn

則稱EX=X|P1+X2P2+…+XiPi+…+XnPn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望.

若Y=aX+b淇中a,b為常數(shù)，則Y也是隨機變量，E(aX+b)=aEX+b.

2.兩點分布的均值

一般地，如果隨機變量X服從兩點分布，那么EX=1xp+Ox(1-p)=p.

于是若X服從兩點分布，則EX=p.

3.二項分布的均值

若X—B(n,p),貝EX=np.

2.3.2離散型隨機變量的方差

課前導(dǎo)引

問題導(dǎo)入

隨機變量的期望顯示了隨機變量取值的平均水平，但這還不足以描述隨機變量的其它特

征.在許多實際問題中，除了考慮隨機變量的期望，還要研究它的各個值與平均值之間的離

散程度.而方差就反映出了隨機變量與平均值之間的差別程度.

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1.方差、標(biāo)準(zhǔn)差.

設(shè)離散型隨力機變量X的分布列為

.?????

XX1X2XiXn

??????

PPlP2PiPn

則(Xi-EX＞描述了Xi(i=l,2，…,n)相對于均值EX的偏離程度.而DX=￡(X,-歐尸耳為這

N=1

些偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機變量X與其均值EX的平均偏離程度，我們稱DX為隨

機變量X的方差，其算術(shù)平方根J萬7為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記作?X.

2.隨機變量函數(shù)的方差

對隨機變量函數(shù)丫=2*+g、b的常數(shù))而言，EY=E(ax+b尸aEX+b,則DY=a?DX

3.兩點分布與二項分布的方差

⑴若X服從兩點分布,則DX=p(p-p)

⑵若X一B(n,p),則DX=npq(q=l-p).

2.4正態(tài)分布

課前導(dǎo)引

問題導(dǎo)入

正態(tài)分布在實際生產(chǎn)、生活中有著廣泛的應(yīng)用，很多變量，如測量的誤差、產(chǎn)品的尺過

等服從或近似服從正態(tài)分布，利用正態(tài)分布的有關(guān)性質(zhì)可以對產(chǎn)品進(jìn)行假設(shè)檢驗.

知識預(yù)覽

1.正態(tài)分布密度曲線與正態(tài)分布

1"7)2

我們稱<Pu,3(8尸2〃[xG(-oo,+oo),其實實數(shù)口和6(6>0)為參數(shù)]的圖象(如圖)

后§

為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.

一般地，如果對于任何實數(shù)a<b,隨機變量X滿足P(aVXSb)=f夕“，(x)dx,則稱X的分布

為正態(tài)分布.正態(tài)分布完全由參數(shù)H和3確定，因此正態(tài)分布常記作N(u,82).

如果隨機變量X服從正態(tài)分布，

則記為X—N(山￥),

若X—NM52),則X的均值與方差分別為EX寸,DX=￡

2.正態(tài)曲線的性質(zhì)

(1)曲線在x軸上方，與x軸不相交.

(2)曲線關(guān)于直線x=p對稱.

(3)當(dāng)x寸時曲線處于最高點，當(dāng)x向左、向右無限延伸時，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出“中

間高、兩邊低”的鐘形曲線.

(4)當(dāng)x<p時，曲線上升；當(dāng)x>R時，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左、右兩邊無限延伸時，

以x軸為漸近線，向x軸無限靠近.

(5)當(dāng)N一定時，曲線的形狀由3確定，3越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散;

3越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中.

(6)當(dāng)3相同時，正態(tài)分布曲線的位置由均值H所決定.設(shè)x是一個服從正態(tài)分布的隨機變

量，則對任意的數(shù)a>0及b,ax+b仍舊是一個服從正態(tài)分布的隨機變量.

3.正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

(1)正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

?

①如果隨機變量X的概率函數(shù)為(p(x)=-=e2(-8<x<+oo),則稱X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，

即X—N(0>1).

②正態(tài)分布的密度函數(shù)

若X—N(O,1),則X的分布函數(shù),通常用(p(x)表示,且有<p(x)=P(X3o).

對于一,切xNO,(p(x)的值可在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中查到；對于x<0的甲(x)值，可用<p(x)=l-<p

(-x)求出.

若X—N⑺，S2)則X的分布函數(shù)通常用F(x)表示，且有P(X<oo)=F(x)=(p(^—

5

③P(a<xWb)的計算

若X一N(0,1),則P(aVX￡b)=(p(b)-<p(a),即通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中x=a,x=b時的s(x)

值，可計算概率P(a<X@).

(2)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與一般正態(tài)分布的關(guān)系

①若X—N(n，<?),則Y=^^—N(0』).

(7

…/b-ua-u

②若X—N(%(?),則p(a<X<b)=F(b)-F(a)=0>(—竺)-0)(一二)，

(J(J

即通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中x=9二幺,x=e上的<p(x)值，可計算服從N(H，。2)的隨機

aa

變量X取值在a與b之間的概率.

4.假設(shè)檢驗的基本思想與生產(chǎn)過程中質(zhì)量控制圖

(1)假設(shè)檢驗

假設(shè)檢驗是就正態(tài)總體而言的，進(jìn)行假設(shè)檢驗可歸結(jié)為如下三步：

①提出統(tǒng)計假設(shè)，統(tǒng)計假設(shè)里的變量服從正態(tài)分成N(g,o2).

②確定一次試驗中的取值a是否落入范圍(N-3G，N+3G).

③作出推斷：

如果ae(n-3(j，n+3G),接受統(tǒng)計假設(shè).

如果ae"3w+3。),由于這是小概率事件，就拒絕統(tǒng)計假設(shè).

(2)生產(chǎn)過程中質(zhì)量控制圖及其原理.

質(zhì)量控制圖是進(jìn)行質(zhì)量管理的有力工具，是根據(jù)假設(shè)檢驗的基本思想制作的將正態(tài)分布曲線

(如圖1)順時針旋轉(zhuǎn)90。即可得到控制圖，如圖2所示.

圖1中的直線X=H，X=|>3C,X=N+3G分別成為圖2中的中心線.控制下界和控制上界.在生產(chǎn)過

程中，從某一時刻(例如凌晨1時)起，每隔1小時，對檢驗對象任取1個進(jìn)行檢查，并把

結(jié)果用圓點在圖2上表示出來，為了便于考查圓點的變動趨勢，常用折線把它們連接起來，

考點在控制界內(nèi)，服從假設(shè);否則，要拒絕假設(shè).

3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

課前導(dǎo)引

問題導(dǎo)入

函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系則是一種非確定性關(guān)系.回歸分析是對具有相

關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用方法.本節(jié)我們將在數(shù)學(xué)3模塊的基礎(chǔ)上進(jìn)一步

討論回歸分析的基本思想及初步應(yīng)用.

知識預(yù)覽

1.樣本點的中心

對于一但具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(xi,力),(x2,y2),-,(xn,yn),我們知道其回歸方程的截

距和斜率的最小二乘估計公式分別有：

a=y-bx

_

—x)(y,.—y)

b/=1_______________

t(七-才

/=l

其中嚏

(8,y)稱為____________

注：回歸直線過樣本點的中心.

2.線性回歸模型

y=bx+a+e

這里a和b為模型的未知參數(shù)，e是y與亍=bx+a之間的誤差.通常e為隨機變量，稱為隨機

誤差，它的均值E(e)=0,方差D(e)=W>0.這樣線性回歸模型的完整表達(dá)式為：

y=by+a+e

〈2⑶

E(e)=0,D(e)=<J~

說明：在線性回歸模型(3)中，隨機誤差e的方差，越小，通過回歸直線$=bx+a預(yù)報真

實值y的精度越高.隨機誤差是引起預(yù)報值￡與真實值y之間的誤差的原因之一，其大小取

決于隨機誤差的方差.

另一方面，由于公式(1)和(2)中6和3為截距和斜率的估計值，它們與真實值a和b之

間也存在誤差，這種誤差是引起預(yù)報值y與真實值y之間誤差的另一個原因.

3.殘差(residual)

皂i=yi-y^yi-bXj-a,i=l,2,—,n,

自稱為相應(yīng)于點3,y。的殘差.類比樣本方差估計總體方差的思想，可以用3?=

1",1八

——?,=——Q",")(n>2)作為的估計量，其中&和〃由公式(1)(2)給出，Q

幾一2Mn-2

(a,b)稱為殘差平方和(residualsumofsquares).可以用a2衡量回歸方程的預(yù)報精度.通

常，I?越小，預(yù)報精度越高.

4.殘差分析

在研究兩個變量間的關(guān)系時，首先要根據(jù)散點圖來精略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可

以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù).然后，可以通過殘差

來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù).這方面的分析工作稱為殘差分

析.

5.殘差圖

我們可以利用圖形來分析殘差特性.作圖時縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號，

或身高數(shù)據(jù)，或體重的估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖.下圖是以樣本編號為橫坐標(biāo)

的殘差圖.

從圖中可以看出，第1個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這兩個

樣本點的過程中是否有人為的錯誤.如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線

性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因.另外，殘差點比較

均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適.這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說

明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報精度越高.

另外，我們還可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計算公式是:

少）2

R2=l+

/=1

顯然，R2取值越大，意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好.在線性回歸模

型中，R2表示解釋變量對于預(yù)報變量變化的貢獻(xiàn)率.R2越接近于1,表示回歸的效果越好(因

為R2越接近于1,表示解釋變量和預(yù)報變量的線性相關(guān)性越強).如果對某組數(shù)據(jù)可能采取

幾種不同的回歸方程進(jìn)行回歸分析，也可以通過比較幾個R?,選擇R2大的模型作為這組數(shù)

據(jù)的模型.

6.建立回歸模型的基本步驟

(1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量的散點圖，觀察它們之間的關(guān)系(如是否存

在線性關(guān)系等)；

(2)畫出確定好的解釋變量和預(yù)報變量，哪個變量是預(yù)報變量；

(3)由經(jīng)驗確定回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈現(xiàn)線性關(guān)系，則選用線性回歸方程

y=bx+a)；

(4)按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法)；

(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(個別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)

律性等等)；若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等.

7.比較擬合效果的基本步驟

一(1)

對于給定的樣本點(xi,yi),(X2,y2),…,(Xn,yn)，兩個含有未知參數(shù)的模型y=f(x,a)和

其中a和b都是未知參數(shù).可以按如下的步驟來比較它們的擬合效果：

(1)分別建立對應(yīng)于兩個模型的回歸方程V)=f(x,4)與5^)=g(x,/；)，其中6和3分別是參

數(shù)a和b的估計值；

(2)分別計算兩個回歸方程的殘差平方和。⑴=f(%-亞))2與。⑵=￡(%一少⑵)2；

z=lJ=1

(3)若0⑴<02),則V)=f(x,4)的效果比W2)=g(x,3)的好；反之，5^=f(x,&)的效果不

如夕2)=g(X,5)的好.

3.2獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用

課前導(dǎo)引

問題導(dǎo)入

在現(xiàn)實生活中，存在大量分類變量，它們之間到底存在什么關(guān)系？兩個變量之間是否有

影響，這是我們所關(guān)心的問題，解決這類問題可用獨立性檢驗的基本思想.

知識預(yù)覽

1.分類變量

對于性別變量，其取值為男和女兩種.這種變量的不同”值”表示個體所屬的不同類別，

像這類變量稱為分類變量.

2.列聯(lián)表

為調(diào)查吸煙是否對患肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果

（單位：人）：

吸煙與患肺癌列聯(lián)表

不患肺癌患肺癌總計

不吸煙7775427817

吸煙2099492148

總計9874919965

像上表這樣列出的兩個分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.

3.獨立性檢驗

這種利用隨機變量K2來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個

分類變量的獨立性檢驗.

獨立性檢驗的基本思想類似于反證法.要確認(rèn)“兩個分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信程

度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下構(gòu)造的

隨機變量片應(yīng)該很小.如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的片的觀測值k很大，則在一定程度上說

明假設(shè)不合理.

4.判斷結(jié)論成立的可能性的步驟

一般地，假設(shè)有兩個分類變量X和Y,它們的值域分別為［xi,xj和［yi，y”，其樣本頻數(shù)列

聯(lián)表（稱為2x2列聯(lián)表）為：2x2列聯(lián)表

yiY2總計

X1aba+b

X2cdc+d

總計a+cb+da+b+c+d

若要推斷的論述為

Hi：“X與Y有關(guān)系”，

可以按如下步驟判斷結(jié)論H,成立的可能性：

（1）通過三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個分類變量是否有關(guān)系，但是這種

判斷無法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度.

①在三維柱形圖中，主對角線上兩個柱形高度的乘積ad與副對角線上的兩個柱形高度的乘

積be相差越大，Hi成立的可能性就越大.

②在二維條形圖中，可以估計滿足條件X=xi的個體中具有Y=yi的個體所占的比例一3一，

a+b

也可以估計滿足條件X=X2的個體中具有Y=yi的個體所占的比例一^.兩個比例的值相差

c+d

越大，X成立的可能性就越大.

(2)可以利用獨立性檢驗來考察兩個分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷

的可靠程度.具體做法是：根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計算由K2=---------------------------------------給出的檢驗

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

隨機變量K2的值k,其值越大，說明“X與Y有關(guān)系”.成立的可能性越大.當(dāng)?shù)玫降挠^測數(shù)據(jù)

a,b,c,d都不小于5時，可以通過查閱下表來確定結(jié)論“X與Y有關(guān)系”的可信程度.

P(K2>k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

說明：當(dāng)觀測數(shù)據(jù)a,b,c,d中有小于5時，需采用很復(fù)雜的精確的檢驗方法.

數(shù)學(xué)人教版A2-3模塊測試

（時間：120分鐘，滿分：150分）

一、選擇題（每小題5分，共60分）

1.某次語文考試中考生的分?jǐn)?shù)X?N（80,100），則分?jǐn)?shù)在60?100分的考生占總考生數(shù)

的百分比是（）.

A.68.26%B.95.44%C.99.74%D.31.74%

2.已知x,y之間的一組數(shù)據(jù)

X1.081.121.191.28

y2.252.372.402.55

x與y之間的線性回歸方程&+必過（）.

A.（0,0）B.（1.1675,0）C.（0,2.3925）D.（1.1675,2.3925）

3.由數(shù)字0,1,2,3,5組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個數(shù)為（）.

A.60B.48C.36D.27

4.12名同學(xué)分別到三個不同的路口進(jìn)行車流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分

配方案有（）種.

A.C〉"B.3CiC;C：C.C〉C；.C：.A；D..fC

A3

5（?+蛾）展開式中只有第六項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是（）.

A.180B.90C.45D.360

6.已知(x+5/2嚴(yán)=〃0+。述+〃2?+…則(。0+〃2+〃4+〃6+〃8+。10)2—(。］+〃3

+的+。7+。9）2的值為（）.

A.0B.1C.-1D.2

7.小明同學(xué)在網(wǎng)易上申請了一個電子信箱，密碼由4位數(shù)字組成，現(xiàn)在小明只記得密

碼是由2個6』個3,1個9組成，但忘記了它們的順序.那么小明試著輸入由這樣4個數(shù)組

成的一個密碼，則他恰好能輸入正確進(jìn)入郵箱的概率是（）.

1111

A.-B.一CD.—

68n24

8.已知隨機變量X服從二項分布，X?B[6,‘

，則P（X=2）等于（).

\3）

341380

A.—B.C.-----D.-----

16243243243

9.將三顆骰子各擲一次，設(shè)事件A=“三個點數(shù)都不相同"，B=“至少出現(xiàn)一個6

點”,則概率尸（A|3）等于（）.

10.6個電子產(chǎn)品中有2個次品，4個合格品，每次從中任取一個測試，測試完后不放

回，直到兩個次品都找到為止，那么測試次數(shù)X的均值為（）.

1711514

A.—B.——c.D.——

151533

3|

11.設(shè)某批電子手表正品率為巳，次品率為一,現(xiàn)對該批電子手表進(jìn)行測試，設(shè)第X

44

次首次測到正品，則P（X=3）等于（）.

3

A.C；xC-D

Q'I)7-?4

12.拋一枚均勻硬幣，正反面出現(xiàn)的概率都是反復(fù)這樣投擲,數(shù)列｛斯｝定義如下:

2

1,第〃次投擲出現(xiàn)正面，

7、金幾L一工n｝=若S,尸G+Z+…+m（〃eN*）,則事件“S8=2”的概率,

-1,第〃次投擲出現(xiàn)反面，

事件“S2#0,&=2”的概率分別是（）.

1137137111

A.---,---B.—,---C.—,---D.---,----

2561283212832256256256

二、填空題（每小題4分，共16分）

13.設(shè)隨機變量4的概率分布列為4^=?=上，無=0,1,2,3,則P《=2）=.

k+l

14.有4名男生，3名女生排成一排，若3名女生中有2名站在一起，但3名女生不能

全排在一起，則不同的排法種數(shù)有.

15.（2012課標(biāo)全國高考，理15）某一部件由三個電子元件按下圖方式連接而成，元件1

或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作.設(shè)三個電子元件的使用壽命（單

位：小時）均服從正態(tài)分布Ml000,5（）2）,且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的

使用壽命超過1000小時的概率為.

i-TxW-|.,

—_1兀件31—

4W2]-1

2

16.甲、乙兩隊進(jìn)行排球比賽，已知在一局比賽中甲隊獲勝的概率是一，沒有平局，

3

若采用三局兩勝制比賽，即先勝兩局者獲勝且比賽結(jié)束，則甲隊獲勝的概率等于.

三、解答題（共6小題，共74分）

17.（12分）已知G蛙）的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所

有的有理項.

18.（12分）在研究某種新藥對小白兔的治療效果時，得到如下數(shù)據(jù)：

存活數(shù)死亡數(shù)合計

未用新藥10138139

用新藥12920149

合計23058288

試分析新藥對治療小白兔是否有效？

19.（12分）某休閑場館舉行圣誕酬賓活動，每位會員交會員費50元，可享受20元的消

費，并參加一次抽獎活動，從一個裝有標(biāo)號分別為123,4,5,6的6只均勻小球的抽獎箱中，

有放回的抽兩次球，抽得的兩球標(biāo)號之和為12,則獲一等獎價值〃元的禮品，標(biāo)號之和為

11或10,獲二等獎價值100元的禮品，標(biāo)號之和小于10不得獎.

(1)求各會員獲獎的概率；

(2)設(shè)場館收益為X元，求X的分布列；假如場館打算不賺錢，”值可設(shè)為多少元？

20.(12分)假設(shè)關(guān)于某設(shè)備使用年限x(年)和所支出的維修費用)(萬元)有如下統(tǒng)計資料:

X23456

y2.23.85.56.57.0

若由資料知，＞對x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：

(1)回歸直線方程；

(2)估計使用年限為10年時，維修費用約是多少？

21.(12分)現(xiàn)在要對某個學(xué)校今年將要畢業(yè)的900名高三畢業(yè)生進(jìn)行乙型肝炎病毒檢驗，

可以利用兩種方法.①對每個人的血樣分別化驗，這時共需要化驗900次；②把每個人的血

樣分成兩份，取其中m個人的血樣各一份混合在一起作為一組進(jìn)行化驗，結(jié)果為陰性，那

么對這〃，個人只需這一次檢驗就夠了；結(jié)果為陽性，那么再對這，"個人的另一份血樣逐個

化驗，這時對這根個人一共需要加+1次檢驗.據(jù)統(tǒng)計報道，對所有人來說，化驗結(jié)果為陽

性的概率為0.1.

(1)求當(dāng)機=3時，一個小組經(jīng)過一次檢驗就能確定化驗結(jié)果的概率是多少？

(2)試比較在第二種方法中，朋=4和m=6哪種分組方法所需要的化驗次數(shù)更少一些？

22.(14分)一次小測驗共有3道選擇題和2道填空題，每答對一道題得20分，答錯或

不答得0分.某同學(xué)答對每道選擇題的概率均為0.8,答對每道填空題的概率均為0.5,各道

題答對與否互不影響.

(1)求該同學(xué)恰好答對2道選擇題和1道填空題的概率；

(2)求該同學(xué)至多答對4道題的概率；

(3)若該同學(xué)已經(jīng)答對了兩道填空題，把他這次測驗的得分記為X,求X的概率分布列

及數(shù)學(xué)期望.

參考答案

1答案：B解析：由題意得幺=80,<7=10,//-2<7=60,/Z+2<7=100,

二60~100分之間的考生占總考生數(shù)的百分比是95.44%.

2答案：D解析：回歸直線過樣本中心點丘，y).

Vx=1.1675,y=2.3925,

1=&+晟必過點(1.1675,2.3925).

3答案：D解析：先從1,3,5選一個排在末位數(shù)，再從剩余的除0之外的3個數(shù)中選一

個排在首位，最后從剩余的3個數(shù)中選一個排在十位上，共有C；?C；?C；=27個三位奇

數(shù).

4答案：A解析：第一個路口需要4人，有C：2種方案，再從剩下的8人中送4人到

第2個路口，有C；種方案，剩下的4人到第3個路口，，共有C：2-C；?C：種分配方案.

n

5答案:A解析：由題意〃為偶數(shù)，且一+1=6,.\?=10.

2

5—r

=C；°-2F2

的展開式的通項為.?.當(dāng)r=2時,

得常數(shù)項為C；。22=180.

6答案：B解析：令x=l,得俏+ai+a2H-----Faio=(l+V2)10.

令x=-1,得如一0+痣-a3H------49+aio=(、Q-I)10.

二(的+俏+田+熊+制+0。)？一(0+/+/+的+內(nèi))？

=(如+。］+。2+…+。10)3()—41+。2—的+…+。8一〃9+。10)=(1+5/2)10-(1—)1°=1.

7答案：C解析：由2個6,1個3,1個9這4個數(shù)字一共可以組成—=12種不同的

A；

密碼順序，因此小明試著輸入由這樣4個數(shù)組成的一個密碼，他恰好能輸入正確進(jìn)入郵箱的

概率是尸=―