廣東省佛山市S6高質量發(fā)展聯(lián)盟2024−2025學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試卷含答案

廣東省佛山市S6高質量發(fā)展聯(lián)盟2024?2025學年高二上學期期中聯(lián)考數(shù)學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．經過，兩點的直線的方向向量可以為（

）A． B． C． D．2．某人打靶時連續(xù)射擊兩次，下列事件與事件“至多一次中靶”互為對立的是（

）A．至少一次中靶 B．兩次都中靶C．只有一次中靶 D．兩次都沒有中靶3．若點關于平面和軸對稱的點分別為，，則（

）A． B． C．1 D．94．如圖，四面體中，點為中點，為中點，為中點，設，，，若可用，，表示為（

）

A． B．C． D．5．已知直線與垂直，則實數(shù)的值是（

）A．0或3 B．3 C．0或 D．-36．已知二面角的棱上兩點，，線段與分別在這個二面角內的兩個半平面內，并且都垂直于棱.若，，，.則這兩個平面的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．由甲、乙、丙組成“星隊”參加猜成語活動，每輪活動由其中一人猜一個成語，已知甲猜對乙未猜對的概率為，乙猜對丙未猜對的概率為，丙猜對甲也猜對的概率為，在每輪活動中，三人猜對與否互不影響，各輪結果也互不影響，則乙、丙都猜對的概率是（

）A． B． C． D．8．在空間直角坐標系中，定義：經過點且一個方向向量為的直線l方程為，經過點且法向量為的平面方程為，已知：在空間直角坐標系中，經過點的直線l方程為，經過點的平面的方程為，則直線l與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，，則事件，相互獨立與，互斥不能同時成立C．為坐標原點，向量，，其中線段的中點的坐標為D．已知為任意實數(shù)，當變化時，方程表示過點的所有直線方程10．伯努利試驗是在同樣的條件下重復地、相互獨立地進行的一種隨機試驗，其特點是每次試驗只有兩種可能結果．若連續(xù)拋鄭一枚質地均勻的硬幣次，記錄這次實驗的結果，設事件表示“次實驗結果中，既出現(xiàn)正面又出現(xiàn)反面”，事件表示“次實驗結果中，最多只出現(xiàn)一次反面”，則下列結論正確的是（

）．A．若，則與不互斥 B．若，則與不相互獨立C．若，則與相互獨立 D．若，則與互斥11．數(shù)學探究課上，小王從世界名畫《記憶的永恒》中獲得靈感，創(chuàng)作出了如圖1所示的《垂直時光》.已知《垂直時光》是由兩塊半圓形鐘組件和三根指針組成的，它如同一個標準的圓形鐘沿著直徑折成了直二面角（其中對應鐘上數(shù)字對應鐘上數(shù)字9）.設的中點為，若長度為2的時針指向了鐘上數(shù)字8，長度為3的分針指向了鐘上數(shù)字12.現(xiàn)在小王準備安裝長度為3的秒針（安裝完秒針后，不考慮時針與分針可能產生的偏移，不考慮三根指針的粗細），則下列說法正確的是（

）A．若秒針指向了鐘上數(shù)字5，如圖2，則B．若秒針指向了鐘上數(shù)字5，如圖2，則平面C．若秒針指向了鐘上數(shù)字4，如圖3，則與所成角的余弦值為D．若秒針指向了鐘上數(shù)字4，如圖3，則四面體的外接球的表面積為三、填空題（本大題共3小題）12．從編號為，，，的張卡片中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.13．已知平面內一點，點在平面外，若的一個法向量為，則到平面的距離為．14．設，過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值．四、解答題（本大題共5小題）15．柜子里有3雙不同的鞋，分別用，，，，，表示6只鞋．如果從中隨機地取出2只，那么(1)寫出試驗的樣本空間；(2)設事件“取出的鞋不成雙”；“取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋”，求出與．16．已知向量，，．(1)當時，若向量與垂直，求實數(shù)和的值；(2)若向量與向量，共面，求實數(shù)的值．17．如圖所示，面積為8的平行四邊形，為坐標原點，坐標為，、均在第一象限．(1)求直線的方程；(2)若，求點的坐標．18．新高考數(shù)學試卷出現(xiàn)多項選擇題，即每小題的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分．若正確答案為兩項，每對一項得3分；若正確答案為三項，每對一項得2分；(1)學生甲在作答某題時，對四個選項作出正確判斷、判斷不了（不選）和錯誤判斷的概率如下表：選項作出正確判斷判斷不了（不選）作出錯誤判斷A0.80.10.1B0.70.10.2C0.60.30.1D0.50.30.2若此題的正確選項為AC．求學生甲答此題得6分的概率；(2)某數(shù)學小組研究發(fā)現(xiàn)，多選題正確答案是兩個選項的概率為，正確答案是三個選項的概率為．現(xiàn)有一道多選題，學生乙完全不會，此時他有兩種答題方案：Ⅰ．隨機選一個選項；Ⅱ．隨機選兩個選項．①若，且學生乙選擇方案Ⅰ，求學生乙本題得0分的概率．②若，且學生乙選擇方案Ⅱ，求學生乙本題得4分的概率．19．如圖1，已知正方形的邊長為，分別為，的中點，將正方形沿折成如圖2所示的二面角，且二面角的大小為，點在線段上(包含端點)運動，連接.（1）若為的中點，直線與平面的交點為，試確定點的位置，并證明直線平面.（2）是否存在點，使得直線與平面所成的角為？若存在，求此時平面與平面的夾角的余弦值；若不存在，請說明理由

參考答案1．【答案】C【詳解】經過，兩點的直線的方向向量為，所以，則．故選：C2．【答案】B【詳解】由已知條件得∵事件“至多一次中靶”包含事件兩次都未中靶和兩次只有一次中靶，∴事件“至多一次中靶”的對立事件為“兩次都中靶”，故選：.3．【答案】A【詳解】點關于平面對稱的點為，關于軸對稱的點為，所以，，故．故選：A．4．【答案】B【詳解】由題意可得，而.故選：B5．【答案】D【詳解】因為直線與垂直，所以，解得，實數(shù)的值是.故選：D.6．【答案】A【詳解】由題可知，、在直線上，，，且，，如下圖，故，，，，，，因為，故，故，解得，所以平面和平面的夾角的余弦值是.故選：A7．【答案】B【詳解】設事件“甲猜對”，事件“乙猜對”，事件“丙猜對”，由題意，解得故乙、丙都猜對的概率為．故選：B8．【答案】A【詳解】經過點的直線l方程為，即，故直線l的一個方向向量為，又經過點的平面的方程為，即，故的一個法向量為．設直線l與平面所成角為，則．故選：A．9．【答案】BC【詳解】對于A選項，當時，，成立，但是與不一定共線，即不一定成立，故A選項錯誤．對于B選項，因為，，所以若事件，相互獨立，則，即事件與事件能同時發(fā)生，故此時事件與事件不互斥；同理，當事件，互斥時，，即此時事件，不相互獨立．故B選項正確．對于C選項，因為為線段的中點，所以，又是坐標原點，故點的坐標為．故C選項正確．對于D選項，聯(lián)立解得所以當變化時，直線恒經過點．但是當時，必有，因此方程表示過點，除了直線的所有直線．故D選項錯誤．故選：BC．10．【答案】ABC【分析】根據已知條件，分析和時所有的基本事件的結果，利用事件互斥和兩事件相互獨立的定義分別判斷即可.【詳解】A選項：時，若兩次實驗中結果為一次正面，一次反面，則事件與同時發(fā)生，由互斥事件定義，與不互斥，A正確；B選項：時，兩次實驗的結果有（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）種，，，，，所以與不相互獨立，B正確；C選項：時，三次實驗的結果有（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（反，反，反）種情況，，，，，所以與相互獨立，C正確；D選項：時，若三次實驗結果為（正，正，反），則事件與同時發(fā)生，由互斥事件定義，與不互斥，D錯誤.故選：ABC11．【答案】ACD【分析】分別用立體幾何中空間向量法判斷A，B，C，求出四面體的外接球的表面積，判斷D.【詳解】如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.若秒針指向了鐘上數(shù)字5，則，則，，所以，A正確.，故是平面的一個法向量.因為，所以，所以與不垂直，從而與平面不平行，B不正確.若秒針指向了鐘上數(shù)字4，則，，，C正確.由，得.因為，所以外接圓的半徑，則四面體的外接球的半徑，則，故四面體的外接球的表面積為，D正確.故選：ACD.12．【答案】【解析】基本事件總數(shù)，第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個，由此能求出概率.【詳解】解：從編號為，，，的張卡片中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，基本事件總數(shù)，第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個，分別為：，，，，，，，.所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.故答案為.13．【答案】1【分析】依題意求得，再利用點到平面的距離公式即可得解.【詳解】因為，點，所以，又的一個法向量為，所以到平面的距離為.故答案為：1．14．【答案】9【詳解】由題意，動直線過定點，直線可化為，令，可得，又，所以兩動直線互相垂直，且交點為P，所以，因為，所以，當且僅當時取等號．15．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）從6只鞋中任取2只，共有15種等可能的結果，樣本空間為．（2）因為，所以．因為，所以．16．【答案】(1)實數(shù)和的值分別為和；(2).【詳解】（1）由，得，解得，向量，，則，由向量與垂直，得，則，當時，有，矛盾；當時，有，解得，所以實數(shù)和的值分別為和.（2）由向量與向量，共面，設，則，即，解得，所以實數(shù)的值為.17．【答案】(1)；(2)或．【詳解】（1）因為是平行四邊形，所以，所以，設直線的方程為，即．因為四邊形的面積為8，，所以與的距離為，即點到的距離為，于是，所以，由圖知，，所以，直線的方程為．（2）設坐標為，因為，所以．所以，解得，或，．所以點的坐標為或2,3．18．【答案】(1)0.3072(2)①；②.【詳解】（1）設事件M表示“學生答此題得6分”，即對于選項A、C作出正確的判斷，且對于選項B、D作出正確的判斷或判斷不了，所以；（2）①記為“從四個選項中隨機選擇一個選項的得分”，對于方案I，若正確答案是兩個選項，選錯的概率是，若正確答案是三個選項，選錯的概率是，則.②記事件為“學生乙本題得分”，對于方案Ⅱ：應該正確答案是三個選項里選對兩題，假設ABC為正確項.故而所有可能為：AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種，滿足條件的有AB，AC，BC，有3種.則.19．【答案】（1）答案見解析；（2）存在，平面與平面的夾角的余弦值為.【詳解】（1）因為直線MF?平面ABFE，故點O在平面ABFE內，也在平面ADE內，所以點O在平面ABFE與平面ADE的交線(即直線AE)上，延長EA，F(xiàn)M交于點O，連接OD，如圖所示．因為，M為AB的中點，所以△OAM≌△FBM，所以OM＝MF，AO＝BF＝1.故點O在EA的延長線上且與點A間的距離為1.

連接DF，交EC于點N，因為四邊形CDEF為矩形，所以N是EC的中點．連接MN，則MN為△DOF的中位線，所以MN∥OD，又MN?平面EMC，OD?平面EMC，所以直線OD∥平面EMC.（2）如圖，由已知可得EF⊥AE，EF⊥DE，又AE∩DE＝E，所以EF⊥平面ADE，由于平面，所以平面ABFE⊥平面ADE.易知△ADE為等邊三角形，取AE的中點H，連接DH，則,根據面面垂直的性質定理可知：DH⊥平面ABFE.以H為坐標原點，建立如圖所示