湖南省沅澧共同體2024−2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

湖南省沅澧共同體2024?2025學(xué)年高三上學(xué)期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)命題，，則為（

）A．， B．，C．， D．，3．設(shè)，則的大小順序為（

）A． B． C． D．4．已知，則（）A．1 B． C．2 D．5．若，向量與向量的夾角為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．已知，則（

）A． B．C． D．7．關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．8．設(shè)函數(shù)，則曲線在點處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．若滿足對定義域內(nèi)任意的，都有，則稱為“優(yōu)美函數(shù)”，則下列函數(shù)不是“優(yōu)美函數(shù)”的是（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）

A．B．的圖象關(guān)于直線對稱C．是偶函數(shù)D．將圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象11．已知函數(shù)是奇函數(shù)，下列選項正確的是（

）A．B．，且，恒有C．函數(shù)在上的值域為D．若，恒有的一個充分不必要條件是三、填空題（本大題共3小題）12．函數(shù)的最小值是．13．用半徑為的半圓形紙片卷成一個圓錐筒，則這個圓錐筒的體積為．14．函數(shù)，已知在區(qū)間恰有三個零點，則的范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知分別為的三個內(nèi)角的對邊，且，，．(1)求及的面積；(2)若為邊上一點，且，求的正弦值．16．已知數(shù)列an的前項和為，且，數(shù)列bn滿足.(1)求；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求.17．如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)棱底面，，，，，是棱的中點．(1)求證：面；(2)求異面直線與所成角的余弦值；(3)在線段上是否存在一點，使得直線和平面所成角為？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．18．如圖，已知橢圓過點，焦距為，斜率為的直線與橢圓相交于異于點的兩點，且直線均不與軸垂直.(1)求橢圓的方程；(2)若，求的方程；(3)記直線的斜率為，直線的斜率為，證明:為定值.19．已知是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的方程有兩個不等實根，求的取值范圍；(3)當(dāng)時，若滿足，求證：．

參考答案1．【答案】B【詳解】由題意，，則，所以.故選：B.2．【答案】A【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，命題“，”的否定“，”.故選：A.3．【答案】A【詳解】由函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，可得，.因函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則.故，即.故選：A4．【答案】B【詳解】，則，所以.故選：B.5．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量定義計算即可.【詳解】由投影向量定義可知，在上的投影向量為.故選C.6．【答案】C【詳解】因為，所以.故選：C.7．【答案】A【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示．若關(guān)于x的一元二次不等式的解集中有且僅有3個整數(shù)，則即解得.故選：A．8．【答案】A【分析】求導(dǎo)后求出切線的斜率，再由點斜式得到切線方程，然后求出與坐標(biāo)軸的交點，最后求出三角形面積即可；【詳解】因為由題意可得，所以，所以切線方程為，因為令，則，令，則，所以三角形的面積為，故選A.9．【答案】ACD【詳解】對于A，函數(shù)定義域為R，取，則，則存在，使得，故A滿足題意；對于B，函數(shù)的定義域為，對于定義域內(nèi)任意的，故B不滿足題意；對于C，函數(shù)定義域為R，取，則，則存在，使得故C滿足題意；對于D，函數(shù)定義域R，取，則，則存在，使得故D滿足題意.故選：ACD.10．【答案】ABD【詳解】A．由圖可得，，，解得，又函數(shù)圖象經(jīng)過點，所以，即，因為，所以，解得，故，故A正確；B．當(dāng)時，，此時函數(shù)取得最小值，的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；C．是奇函數(shù)，故C錯誤；D．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，故D正確，故選：ABD．11．【答案】AD【詳解】對于A：∵函數(shù)是奇函數(shù)，其定義域為，則，解得，故A正確；對于B：由選項A可得：，對，且，則，可得，故，可得，則，即，故在上單調(diào)遞增，∴，且，恒有，故B錯誤；對于C：∵，，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，∴函數(shù)在上的值域為，故C錯誤；對于D：∵，恒有，且在上單調(diào)遞增，∴，恒成立，即，恒成立，當(dāng)時，則不恒成立，不合題意；當(dāng)時，則，解得；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.∵，∴，恒有的一個充分不必要條件是，故D正確；故選：AD．12．【答案】/【詳解】解：因為，所以，所以，．當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．所以，最小值為．故答案為：13．【答案】【詳解】由題意知圓錐筒的母線長為2，設(shè)圓錐筒的底面半徑等于,則，，圓錐筒的高為：，這個圓錐筒的體積為;.故答案為：14．【答案】【詳解】由題意可得，令，即恰有三個實根，三根為：①，k，∵，∴，∴無解；或，當(dāng)時，解得的范圍為，故答案為：15．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用余弦定理可得出關(guān)于的二次方程，可解出的值，進而可求得的面積；（2）在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，進而可求得的正弦值.【詳解】（1）由余弦定理得，整理得，即，因為，解得，所以.（2）由正弦定理得：，所以，在三角形中，因為，則，所以.16．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由與的關(guān)系，再結(jié)合即可求解；（2）由錯位相減法即可求解.【詳解】（1）由，當(dāng)時，.當(dāng)時，，也適合.綜上可得，由，所以.（2）由（1）知①①②得②，所以.17．【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在；或【詳解】（1）以為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，,,，且平面平面（2）由（1）得，，異面直線與所成角的余弦值為．（3）由（1）得，,．設(shè)平面的法向量n=x,y,z由得，，令，則，設(shè)，．整理得，，解得或存在點或．18．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）由題意得解得，故橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，由得，由，得，則.，解得或當(dāng)時，直線經(jīng)過點，不符合題意，舍去；當(dāng)時，直線的方程為.（3）直線，均不與軸垂直，所以，則且，所以為定值.19．【答案】(1)答案見解析；(2)；(3)證明見解析.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為R，求導(dǎo)得，當(dāng)時，恒有，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由，得；由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)的遞增區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）方程，當(dāng)時，方程不成立，則，令，依題意，方程有兩個不等實根，即直線與的圖象有2個交點，求導(dǎo)得，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而當(dāng)時