四川省成都市石室陽安學校2024−2025學年高二上學期9月月考數學試題含答案

四川省成都市石室陽安學校2024?2025學年高二上學期9月月考數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．某校高一年級有810名學生，現用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取一個容量為72的樣本，則抽取男生和女生的人數分別為40，32，則該校高一年級的女生人數為（

）.A．450 B．360 C．400 D．3202．已知平面，直線，直線不在平面內，下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則3．某高校對中文系新生進行體測，利用隨機數表對650名學生進行抽樣，先將650名學生進行編號，001，002，，649，650．從中抽取50個樣本，如圖提供隨機數表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數據，則得到的第4個樣本編號是（

）32

21

18

34

29

78

64

54

07

32

52

42

06

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12

23

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77

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4284

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77

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23

45A．007 B．253 C．328 D．8604．某校高一年級個班參加藝術節(jié)合唱比賽，通過簡單隨機抽樣，抽得個班的比賽得分如下：，則這組數據的分位數為（

）A． B． C． D．5．已知向量，若，則（

）A． B．0 C．1 D．26．已知某運動員每次投籃命中的概率都為，現采用隨機模擬的方式估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算機產生0到9之間取整數值的隨機數，指定表示命中，表示不命中；再以三個隨機數為一組，代表三次投籃結果，經隨機模擬產生了如下12組隨機數：

，據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（

）A． B． C． D．7．裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③8．已知事件A，B互斥，它們都不發(fā)生的概率為，且，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．某高中舉行的數學史知識答題比賽，對參賽的2000名考生的成績進行統(tǒng)計，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，若同一組中數據用該組區(qū)間中間值作為代表值，則下列說法中正確的是（

）A．考生參賽成績的平均分約為72.8分B．考生參賽成績的第75百分位數約為82.5分C．分數在區(qū)間內的頻率為0.2D．用分層抽樣的方法從該校學生中抽取一個容量為200的樣本，則成績在區(qū)間應抽取30人10．根據不同年齡段學生身心發(fā)展特點，小學生每天睡眠時間應達到10小時，初中生應達到9小時，高中生應達到8小時．某機構調查了1萬個學生時間利用信息得出如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則以下判斷錯誤的有（

）A．高三年級學生平均學習時間最長B．中小學生的平均睡眠時間都沒有達到標準，其中高中生平均睡眠時間最接近標準C．大多數年齡段學生平均睡眠時間長于學習時間D．與高中生相比，大學生平均學習時間大幅下降，釋放出的時間基本是在睡眠11．不透明盒子里裝有除顏色外完全相同的2個黑球、3個白球，現從盒子里隨機取出2個小球，記事件“取出的兩個球是一個黑球、一個白球”，事件“兩個球中至多一個黑球”，事件“兩個球均為白球”，則（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．體育課上甲、乙兩名同學進行投籃比賽（甲、乙各投籃一次），甲投中的概率為0.7，乙投中的概率為0.8，則甲、乙兩人恰好有一人投中的概率為.13．某公司為了調查員工的健康狀況，由于女員工所占比重大，按性別分層，用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取樣本，樣本中有39名女員工，女員工的平均體重為，標準差為6；有21名男員工，男員工的平均體重為，標準差為4.則樣本中所有員工的體重的標準差為.14．已知函數，其中系數a、，任取一個函數有零點的概率是.四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在正方體中，是棱的中點．(1)證明：平面；(2)若正方體棱長為2，求三棱錐的體積．16．已知不透明的盒子中裝有標號為1，2，3的小球各2個（小球除顏色?標號外均相同）.(1)若一次取出3個小球，求取出的3個小球上標號均不相同的概率；(2)若有放回地先后取出2個小球，求取出的2個小球上標號不相同的概率.17．為了落實習主席提出“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求，重慶市政府積極鼓勵居民節(jié)約用水．計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準（噸），一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年200位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照，，…，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中．(1)求直方圖中，的值，并由頻率分布直方圖估計該市居民用水的平均數（每組數據用該組區(qū)間中點值作為代表）；(2)設該市有40萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于2噸的人數，并說明理由；(3)若該市政府希望使的居民每月的用水量不超過標準（噸），估計的值，并說明理由．18．如圖，平面，為圓O的直徑，分別為棱的中點．

(1)證明：平面．(2)證明：平面平面．19．某校高一年級有男生200人，女生100人.為了解該校全體高一學生的身高信息，按性別比例進行分層隨機抽樣，抽取總樣本為30的樣本，并觀測樣本的指標價（單位：cm），計算得男生樣本的身高平均數為169，方差為39.下表是抽取的女生樣本的數據；抽取次序12345678910身高155158156157160161159162169163記抽取的第i個女生的身高為（，2，3，…，10），樣本平均數，方差.參考數據：，，.(1)若用女生樣本的身高頻率分布情況代替該校高一女生總體的身高頻率分布情況，試估計該校高一女生身高在范圍內的人數；(2)用總樣本的平均數和標準差分別估計該校高一學生總體身高的平均數和標準差，求，的值；(3)如果女生樣本數據在之外的數據稱為離群值，試剔除離群值后，計算剩余女生樣本身高的平均數與方差.

參考答案1．【答案】B【詳解】由分層抽樣可得高一年級的女生人數為.故選：B.2．【答案】D【詳解】因為，對于A，若，則有可能在平面內，故A錯誤；對于B，若，又，則，又，所以或在平面內，故B錯誤；對于C，若，則有可能與平面相交但不垂直，故C錯誤；對于D，若，則，又，則，故D正確．故選：D3．【答案】A【詳解】從第5行第6列開始向右讀取數據，第一個數為253，第二個數是313，第三個數是457，下一個數是860，不符合要求，下一個數是736，不符合要求，下一個是253，重復，第四個是007，故A正確.故選：A.4．【答案】A【詳解】將比賽得分從小到大重新排列：，因為，所以這組數據的分位數是第個數93.故選：A.5．【答案】D【詳解】，.因為，所以，則，解得.故選：D.6．【答案】A【詳解】依題意在12組隨機數中三次投籃恰有兩次命中的有：，，共個，所以該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率.故選：A.7．【答案】B【詳解】解：設事件=｛裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內一次取出2個球｝，則所以包含的基本事件為：{(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，事件=｛兩球都不是白球｝={(紅，紅)，(紅，黑)，(黑，黑)}；事件｛兩球恰有一個白球｝=｛(紅，白)，(白，黑)}，事件｛兩球至少有一個白球｝={(紅，白)，(白，白)，(白，黑)}，事件｛兩球都為白球｝=｛(白，白)｝，由互斥事件及對立事的定義可知事件與事件與是互斥而非對立的事件.故選：B8．【答案】D【詳解】由題可知，，又，所以，解得，所以.故選：D.9．【答案】BC【詳解】對于A，平均成績?yōu)?，A錯誤；對于B，由頻率分布直方圖知，分數在內的頻率為0.7，在內的頻率為0.9，因此第75百分位數位于內，第75百分位數為，B正確；對于C，分數在區(qū)間內的頻率為，C正確；對于D，區(qū)間應抽取人，D錯誤.故選：BC10．【答案】AD【詳解】對于選項A：根據圖象可知，高三年級學生平均學習時間沒有高二年級學生平均學習時間長，故A錯誤；對于選項B：根據圖象可知，中小學生的平均睡眠時間都沒有達到標準，其中高中生平均睡眠時間最接近標準，故B正確；對于選項C：根據圖象可知，學習時間長于睡眠時間的有初二、初三、高一、高二、高三，占比為，睡眠時間長于學習時間的占比為，所以大多數年齡段學生平均睡眠時間長于學習時間，故C正確；對于選項D：從高三到大學一年級，學習時間減少了（小時/天），睡眠時間增加了（小時/天），故D錯誤．故選：AD.11．【答案】AB【詳解】記個白球為，個黑球為，隨機取出個小球的事件如下，，事件對應的基本事件有，所以，故A正確；事件對應的基本事件有，所以，事件對應的基本事件有，所以，又，故D錯誤；其中對應的基本事件有，所以，故B正確；對應的基本事件有，所以，故C錯誤.故選：AB12．【答案】/【詳解】記“甲投中”，“乙投中”，則,所以甲、乙兩人恰好有一人投中的概率為.故答案為：0.38.13．【答案】【詳解】依題意樣本中所有員工的體重的平均值為，則樣本中所有員工的體重的方差，所以樣本中所有員工的體重的方差為120，標準差為.故答案為：14．【答案】【詳解】由已知，函數解析式一共有種不同的情況，若函數有零點，則相應的一元二次方程的，即，所以有；；；；；共6種情況，由古典概型概率公式可得.故答案為：.15．【答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）連接交于，連接，如圖，因為在正方體中，底面是正方形，則是的中點，又是的中點，則是的中位線，故，又面，面，所以平面．（2）因為正方體中，平面，所以．16．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）分別記6個小球為，從中任取3個小球有：，共20種.3個小球上標號均不相同的有：共8種，所以取出的3個小球上標號均不相同的概率為.（2）每次取球都有6種取法，所以總的取法有種取法.2個小球上標號相同的取法有：共12種取法，所以2個小球上標號相同的概率為，所以取出的2個小球上標號不相同的概率.17．【答案】(1)，，平均數為(2)萬，理由見解析(3)5.8噸，理由見解析【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得，又，則，，該市居民用水的平均數估計為：；（2）由頻率分布直方圖可得，月均用水量不超過2噸的頻率為：，則月均用水量不低于2噸的頻率為：，所以全市40萬居民中月均用水量不低于2噸的人數為：（萬）；（3）由頻率分布直方圖知月均用水量不超過6噸的頻率為：0.88，月均用水量不超過5噸的頻率為0.73，則85%的居民每月的用水量不超過標準（噸），，，解得，即標準為5.8噸．18．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）因為分別為棱的中點，所以．因為平面，平面，所以平面．（2）因為為圓O的直徑，所以．因為平面，平面，所以．又，平面，所以平面