上海市華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

華東師大一附中2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級期中考試數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，第1-6題每小題4分，第7-12題每小題5分.1.已知集合，，則__________.2.直線的傾斜角為__________.3.已知，則__________.4.雙曲線的漸近線方程是__________.5.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則__________.6.已知二項式的展開式中的系數(shù)為15，則__________.7.已知實數(shù)a，b滿足，則的最小值為__________.8.冪函數(shù)中，的取值集合是的子集，當(dāng)冪函數(shù)的值域與定義域相同時，集合__________.9.數(shù)列中，，，若，則__________.10.如圖是一種“四腳帳篷”的示意圖，其中半圓和半圓的直徑均為2.8米，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帳篷底面的平面截帳篷，假設(shè)所得截面均為正方形，則該帳篷圍成幾何體的體積為__________立方米.（精確到0.1立方米）11.已知，，，，函數(shù)和的圖像如圖所示，其中是這兩個函數(shù)共同的零點(diǎn)，是其中一個函數(shù)的零點(diǎn)，則__________.12.若三個正整數(shù)a，b，c的位數(shù)之和為8，且組成a，b，c的8個數(shù)碼能排列為2，0，2，5，0，6，0，7，則稱（a，b，c）為“幸運(yùn)數(shù)組”，例如（7，6，202500）是一個幸運(yùn)數(shù)組.則滿足的幸運(yùn)數(shù)組（a，b，c）的個數(shù)為__________.二、選擇題（本大題共4題，滿分18分）.13、14題每題4分，15、16題每題5分.13.給出下列兩個命題：：設(shè)直線a不在平面上，若直線a與平面不平行，則平面上不存在與a平行的直線；：設(shè)l，m，n均為直線，其中m，n在平面上，則“”是“且”的充分不必要條件.則（）A.是真命題，是假命題 B.是真命題，是真命題C.是假命題，是真命題 D.是假命題，是假命題14.慢走是一種簡單又優(yōu)良的鍛煉方式，它不僅可以幫助減肥，還可以增強(qiáng)心肺功能、血管彈性、肌肉力量等，小溫記錄了六周的慢走里程（單位：公里），并由小到大排列為：11，12，m，n，20，27，其中這六周的慢走里程的中位數(shù)為16，若要使這六周的慢走里程的標(biāo)準(zhǔn)差最小，則m的值為（）A.14 B.15 C.16 D.1715.已知是等比數(shù)列，，則能使不等式成立的最大正整數(shù)的值為（）A.5 B.6 C.7 D.816.定義：若拋物線的頂點(diǎn)及拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”.如圖所示，直線經(jīng)過點(diǎn)，一組拋物線的頂點(diǎn)，，，…，（為正整數(shù)），依次是直線上的點(diǎn)，這組拋物線與軸正半軸的交點(diǎn)依次是：，，…，（為正整數(shù)）.若，且這組拋物線中存在“美麗拋物線”，則d的值為（）A.或 B.或 C.或 D.三、解答題（本大題78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分7分，第2小題滿分7分.已知，，（1）若，求函數(shù)，的值域；（2）已知，且函數(shù)的最小正周期為，若函數(shù)在上恰有3個零點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍.18.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.已知四棱錐中，，，，，E是AD上一點(diǎn)，.（1）若F是PD中點(diǎn)，證明：平面；（2）若平面，求二面角的大小.19.（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分4分，第3小題滿分6分.某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)（人）x3025y10結(jié)算時間（分鐘/人）11.522.53已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55%.（1）確定x，y的值，并估計顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值；（2）若將這100位顧客分成兩類，第一類是購物量不超過8件的人群，第二類為購物量超過8件的人群，現(xiàn)采用分層抽樣的方法抽取20位顧客，進(jìn)行問卷調(diào)查，求第二類人群中應(yīng)抽取的人數(shù)；（3）若將頻率視為概率，求一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率.20.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.如圖所示，由橢圓和橢圓組合而成的曲線，由圖形特點(diǎn)，這里稱曲線為“貓眼曲線”.特別地，若兩個橢圓的離心率相等，則稱其為“優(yōu)美貓眼曲線”.（1）已知貓眼曲線滿足a，b，t成等比數(shù)列，試判斷該曲線是否為“優(yōu)美貓眼曲線”；（2）在曲線中，若，，，斜率為的直線l不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且l與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)為M，與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)為N，證明：直線OM，ON的斜率之比為定值；（3）在（2）的條件下，若直線l的斜率，且l與橢圓相切，與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，Q為橢圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，求面積的最大值.21.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.已知，.（1）若是區(qū)間上的嚴(yán)格減函數(shù)，是區(qū)間上的嚴(yán)格增函數(shù)，求的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最大值不大于1，求的取值范圍；（3）記，證明：當(dāng)時，函數(shù)有且僅有三個零點(diǎn).

數(shù)學(xué)試題答案1.答案：{4，5}2.答案：135°3.答案：5【解】.4.答案：【解】由得.5.答案：【解】余弦定理得，在中，.6.答案：【解】由知，，可得，則.7.答案：8【解】由得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值8.8.答案：【解】如圖：，，，，，，當(dāng)冪函數(shù)的值域與定義域相同時，則集合.9.答案：9【解】由題知，數(shù)列為等差數(shù)列，，則，即，故.10.答案：3.7【解】由左圖，得（其中，米，），根據(jù)“祖睢原理”，構(gòu)造一個正四棱柱（底邊為AB，高為r），并挖去一個正四棱錐，如右圖所示，用平行于底面的任意一個平面（高度為）去截中圖和右圖的兩個幾何體，所得截面的面積均為相等，所以該帳篷圍成幾何體的體積為：（立方米）. （1） （2） 圖3祖暅原理又名等冪等積原理，祖暅之《綴術(shù)》有云：“緣冪勢既同，則積不容異.”解釋：是指所有等高處橫截面積相等的兩個同高立體，其體積也必然相等的定理.西方文獻(xiàn)一般稱為卡瓦列里原理（17世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家）高中教科書《數(shù)學(xué)·必修三》11.4球——2、球的體積——高二期末數(shù)學(xué)（虹口區(qū)的統(tǒng)考）20240612-題11牟合方蓋是我國魏晉期間數(shù)學(xué)家劉徽首先發(fā)現(xiàn)并采用的一種用于計算球體體積的方法，類似于微元法.在《九章算術(shù)》的“少廣”章中有所謂“開立圓術(shù)”，其采用的模型像一個牟合的方形盒子，故稱牟合方蓋.牟合方蓋是一種幾何體，是兩個等半徑圓柱躺在平面上垂直相交的公共部分，因為像是兩個方形的蓋子合在一起，所以被稱作“牟合方蓋”，可以利用牟合方蓋推導(dǎo)計算出球體的體積.11.答案：【解】由是函數(shù)的零點(diǎn)，可得，即，，?。ㄕ胼S的第一個零點(diǎn)）可得；又是函數(shù)的零點(diǎn)，由，得，，取（正半軸的第四個零點(diǎn)）得，所以，.12.答案：591【解】因為，所以有兩類不同情形：（1）a是兩位數(shù)，b，c都是三位數(shù).先不考慮b，c的大小，由于a，b，c的首位均不能排0，所以三個0可在五個位置中選擇有種排法，兩個2有種排法，其余三個數(shù)5，6，7有種的排法，共有種不同的排法，又因為不可能有，可知與的排法各占一半，所以，有300個滿足條件的幸運(yùn)數(shù)組；（2）a，b是兩位數(shù)，C是四位數(shù).先不考慮b，c的大小，由于a，b，c的首位均不能排0，所以三個0可在五個位置中選擇有種排法，兩個2有種排法，其余三個數(shù)5，6，7有種的排法，共有種不同的排法.如果，則只有，c的四個位置上的數(shù)字為0，5，6，7，共有種排法，此外，與的排法各占一半，即，所以，有291個滿足條件的幸運(yùn)數(shù)組；綜上，所求幸運(yùn)數(shù)組的個數(shù)為591.13.答案：B【解】：由條件知，，即“平面上不存在與平行的直線”，則真命題；：由條件知，且，反之，時不成立，即充分不必要條件，則真命題；故選：B14.答案：C【解】由題知，得，則均值，要使得標(biāo)準(zhǔn)差取得最小值，由得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值，故選：C.15.答案：C【解】由題知，成立，設(shè)等比數(shù)列的公比為，得為等比數(shù)列且公比為，則，由，得且，以及，可得，即，則，故選：C.16.答案：A【解】因為直線經(jīng)過點(diǎn)，所以，又拋物線的頂點(diǎn)，，，…，（為正整數(shù)），依次是直線上的點(diǎn)，所以，記為頂點(diǎn)是的拋物線，若為“美麗拋物線”，則；若為“美麗拋物線”，因為，則；若為“美麗拋物線”，因為，這時，這不可能，顯然當(dāng)時，均不能為“美麗拋物線”.故選：A.三、解答題（本大題78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.17.【解】（1）若，則，因為，所以，所以當(dāng)，即時，函數(shù)，取最大值；當(dāng)，即時，函數(shù)，取最小值，所以，函數(shù)，的值域為；（2）由，因為最小正周期為，所以，即，，令，，于是函數(shù)在上恰有3個零點(diǎn)，等價于函數(shù)在上恰有3個零點(diǎn)，作出函數(shù)的圖像可得，解得，所以，的取值范圍為.18.【解】（1）取PE的中點(diǎn)為K，聯(lián)結(jié)BK，KF，則，，而，，得，，則四邊形為平行四邊形，由此可得：，而CF不在平面，又平面，所以，平面.（2）方法1（坐標(biāo)法）：因為，知，即有，，則四邊形為平行四邊形，得，所以，平面，而，平面，可得，，而，由此，以E為原點(diǎn)，以EC、ED、EP為x、y、z軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，，，即，，設(shè)平面的法向量為，由，可得取，得，又因為平面的一個法向量為，（或），解得，從圖中可以看出二面角是銳二面角，所以，二面角的大小為.方法2（立幾法）：因為，知，即有，，則四邊形為平行四邊形，得，所以平面，聯(lián)結(jié)FE，F(xiàn)C，則EF是直線FC在平面上的射影，，F(xiàn)是PD中點(diǎn)，得，由三垂線定理知，所以是二面角的平面角，在中，，，則，得，所以，二面角的大小為.19.【解】（1）由題知，可得，，，，該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時間組成一個總體，所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時間可視為一個容量為100的簡單隨機(jī)樣本，顧客一次購物的結(jié)算時間的平均值可用樣本平均數(shù)估計，其估計值為：（分鐘）.（2）設(shè)第一類和第二類人群中抽取的人數(shù)分別為m，n，則，所以，，即第二類人群中應(yīng)抽取的人數(shù)為11.（3）記A為事件“一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘”，，，分別表示事件“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1分鐘”，“該顧客一次購物的結(jié)算時間為1.5分鐘”，“該顧客一次購物的結(jié)算時間為2分鐘”.將頻率視為概率，得，，.因為，且，，是互斥事件，所以.故一位顧客一次購物的結(jié)算時間不超過2分鐘的概率為.20.【解】（1）由a，b，t成等比數(shù)列，得，則橢圓的離心率為，橢圓的離心率為，因為，所以，即，所以，該曲線是“優(yōu)美貓眼曲線”.（2）設(shè)直線與橢圓相交于，，線段CD的中點(diǎn)，則，，兩式相減，得，，即，由已知，，所以，即，同理可得，所以，為定值.解2：由題知，可設(shè)直線，聯(lián)立，得，則中點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得；同理可得：，所以，為定值.（3）設(shè)直線的方程為，代入，得，因為與橢圓相切，所以，，不妨取，則將直線的方程代入橢圓的方程，得，設(shè)，，則，，所以，設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離（其中，，），當(dāng)，時，取最大值，所以，面積取最大值.若取，根據(jù)圖形的對稱性可得相同的結(jié)論.21.【解】（1）由題知，，因為是上的嚴(yán)格減函數(shù)，是上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以，所以.當(dāng)時，，，顯然時，，時，，則在區(qū)間上嚴(yán)格減，在區(qū)間上的嚴(yán)格增，所以，滿足要求.（2）因為，，當(dāng)，即時，，是上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以，不滿足要求；當(dāng)，即時，，是上的嚴(yán)格減函數(shù)，所以，滿足要求；當(dāng)，