陜西省“西中教育聯(lián)合體”2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年陜西省“西中教育聯(lián)合體”高一年級(jí)第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.命題“每一個(gè)四邊形的對(duì)角線都互相垂直”的否定是(

)A.每一個(gè)四邊形的對(duì)角線都不互相垂直B.存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線不垂直C.所有對(duì)角線互相垂直的四邊形是平行四邊形D.存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線互相垂直2.已知集合，，若，則(

)A. B.0 C.1 D.23.設(shè)，，，則(

)A. B. C. D.4.已知關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，其中a，b，c為常數(shù)，則不等式的解集是(

)A. B.C. D.5.已知實(shí)數(shù)，則函數(shù)的最小值為(

)A.5 B.6 C.7 D.86.函數(shù)的圖象大致是(

)A. B.C. D.7.定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)，且，都有成立，且，則不等式的解集為(

)A. B. C. D.8.已知函數(shù)且，若函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知集合，若，則實(shí)數(shù)a的值可以為(

)A.2 B.1 C. D.010.若，則下列命題正確的是(

)A.若，則 B.若，則C.若且，則 D.11.已知x，y都為正數(shù)，且，則(

)A.2xy的最大值為 B.的最小值為C.的最大值為 D.的最小值為12.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù)，例如：，已知函數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的有(

)A.是偶函數(shù) B.的值域是，C.是奇函數(shù) D.在R上是增函數(shù)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.求值：____________.14.函數(shù)且的圖像必經(jīng)過(guò)點(diǎn)____________.15.不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)___________.16.函數(shù)，，若，使成立，則a的取值范圍是_____

.四、解答題：本題共5小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.本小題14分解關(guān)于x的不等式；18.本小題14分已知集合，，，求，；若是的充分而不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19.本小題14分已知函數(shù)是定義在上的函數(shù)，恒成立，且確定函數(shù)的解析式；用定義證明在上是增函數(shù)；解不等式20.本小題14分某工廠某種航空產(chǎn)品的年固定成本為250萬(wàn)元，每生產(chǎn)x件，需另投入成本為，當(dāng)年產(chǎn)量不足80件時(shí)，萬(wàn)元，當(dāng)年產(chǎn)量不小于80件時(shí)，萬(wàn)元，每件商品售價(jià)為50萬(wàn)元，通過(guò)市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．寫(xiě)出年利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量件的函數(shù)解析式；年產(chǎn)量為多少件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？21.本小題14分設(shè)冪函數(shù)在單調(diào)遞增.求的解析式;設(shè)不等式的解集為函數(shù)的定義域，記的最小值為，求的解析式.

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定為存在量詞命題，即可求出結(jié)果.【解答】解：因?yàn)槿Q(chēng)量詞命題的否定為存在量詞命題，所以命題的否定為：存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線不垂直.故選2.【答案】A

【解析】解：，或，解得，，故選：根據(jù)可得出或，解出a，b的值，然后即可求出答案．本題考查集合相等的定義，集合元素的互異性，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】A

【解析】【分析】本題考查指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)比較大小，屬于基礎(chǔ)題由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得答案．【解答】解：，在R上單調(diào)遞增，，在R上單調(diào)遞減，，故選4.【答案】A

【解析】【分析】本題考查一元二次不等式的解法，屬于中檔題．先根據(jù)關(guān)于x的一元二次不等式的解集為，得到，且和5是一元二次方程的兩根，由根與系數(shù)關(guān)系可得到，，，代入不等式化簡(jiǎn)后可解得．【解答】解：因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次不等式的解集為，所以，且和5是一元二次方程的兩根，所以，解得，所以不等式可化為，即，解得，則不等式的解集是故選5.【答案】B

【解析】【分析】本題考查由基本不等式求最值或取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.配湊后，根據(jù)基本不等式即可求解.【解答】解：實(shí)數(shù)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，函數(shù)的最小值為故選：6.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查了函數(shù)的圖象，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)函數(shù)的定義域、特殊值、函數(shù)的變換趨勢(shì)求解即可.【解答】解：由函數(shù)解析式可得，該函數(shù)定義域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；取，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于的值且都為正，故且大于0，故D錯(cuò)誤，故選7.【答案】A

【解析】【分析】本題考查不等式求解，考查函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.構(gòu)造函數(shù)，由題意得到在上單調(diào)遞增，結(jié)合，可化為，再利用函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【解答】解：令，因?yàn)閷?duì)，且，都有成立，不妨設(shè)，則，故，則，即，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，故可化為，所以由的單調(diào)性可得，即不等式的解集為故選：8.【答案】B

【解析】【分析】本題考查利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)求參，指數(shù)函數(shù)的定義域、值域，屬于較難題.根據(jù)題意分類(lèi)討論a的范圍，利用指數(shù)函圖象與性質(zhì)求解即可.【解答】解：根據(jù)題意，若，則單調(diào)遞減，則函數(shù)的值域不能為R，顯然不滿足題意，所以，于是在上單調(diào)遞增，而，對(duì)于的對(duì)稱(chēng)軸為，所以在上單調(diào)遞增，要使函數(shù)的值域?yàn)镽，則須滿足：，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選9.【答案】ABD

【解析】【分析】本題主要考查集合關(guān)系中的參數(shù)問(wèn)題，屬于中檔題.由題意，得且，然后對(duì)B進(jìn)行分類(lèi)討論即可.【解答】解：

，，當(dāng)

時(shí)，

，顯然

，符合題意；當(dāng)

時(shí)，

，顯然

，符合題意；當(dāng)

且

時(shí)，

，要想

，只需

，綜上所述：選項(xiàng)ABD滿足，故選10.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查了不等式的基本性質(zhì)、作差法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，屬于基礎(chǔ)題．選項(xiàng)是不等式，可以利用不等式性質(zhì)，結(jié)合特例逐項(xiàng)判斷，得出正確結(jié)果．【解答】解：對(duì)于A，若，則，所以

，故A正確；對(duì)于B，若

，即，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，結(jié)論等價(jià)于，即，成立，故C正確；對(duì)于D，結(jié)論等價(jià)于，成立，故D正確.11.【答案】ABD

【解析】【分析】本題考查利用基本不等式求最值，屬于中檔題.利用基本不等式結(jié)合已知條件逐個(gè)分析判斷.【解答】解：對(duì)于A，因?yàn)閤，y都為正數(shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取等號(hào)，所以2xy的最大值為，所以A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，由選項(xiàng)A可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，但x，y都為正數(shù)，故等號(hào)取不到，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閤，y都為正數(shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，所以D正確，故選：12.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)以及應(yīng)用，屬于較難題．根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中說(shuō)法是否正確，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，對(duì)于A，，，，則函數(shù)不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，由，則，則有的值域是，，B正確，對(duì)于C，，其定義域?yàn)镽，由，則，即函數(shù)為奇函數(shù)，C正確，對(duì)于D，，設(shè)，則，在R上是增函數(shù)，，在也是增函數(shù)，則在R上是增函數(shù)，D正確，故選：13.【答案】

【解析】【分析】本題考查指數(shù)冪的化簡(jiǎn)求值，屬于基礎(chǔ)題.利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)直接求即可.【解答】解：故答案為14.【答案】

【解析】【分析】本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，平移問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)函數(shù)，且的圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是，利用平移可得答案．【解答】解：函數(shù)，且的圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)向右平移2個(gè)單位，向上平移1個(gè)單位，函數(shù)且的圖象經(jīng)過(guò)，故答案為15.【答案】

【解析】【分析】本題考查不等式恒成立問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．分

和

兩種情況討論，當(dāng)

時(shí)

，即可求出參數(shù)的取值范圍.【解答】解：①當(dāng)

時(shí)，

成立，②當(dāng)

時(shí)，只需

，解得

，綜上可得

，即實(shí)數(shù)

a

的取值范圍為

.16.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查函數(shù)值域以及由集合關(guān)系求參數(shù)范圍，中檔題.根據(jù)一次函數(shù)以及二次函數(shù)單調(diào)性分別求得兩函數(shù)值域，再根據(jù)題意得出兩值域的包含關(guān)系即可得出a的取值范圍.【解答】解：由以及可得再由以及可得若，使成立，可得，即解得又，因此a的取值范圍是答案為：

.17.【答案】解：，即，當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為當(dāng)，即時(shí)，原不等式的解集為；綜上，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為當(dāng)時(shí)，不等式的解集為當(dāng)時(shí)，不等式的解集為

【解析】本題考查了分類(lèi)討論思想以及一元二次不等式的解法和應(yīng)用問(wèn)題．屬于中檔題.把不等式化為，對(duì)與的大小關(guān)系分類(lèi)討論，即可得出不等式的解集．18.【答案】解：由，解得，，集合，或，或是的充分而不必要條件，故C真包含于，當(dāng)時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，有，即，綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍為

【解析】【分析】本題考查了集合的運(yùn)算性質(zhì)、分類(lèi)討論方法、不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．由，解得，可得B，，由集合，可得或，利用并集的運(yùn)算性質(zhì)可得：由Ⅰ知，，由是的充分不必要條件，可得：對(duì)C與的關(guān)系、對(duì)m分類(lèi)討論即可得出．19.【答案】解：因?yàn)楹瘮?shù)，恒成立，所以恒成立，則，此時(shí)，滿足題意，所以，解得，所以；證明：設(shè)任意的，且，則，，，則，且，則，即，所以函數(shù)在上是增函數(shù);，，是定義在上的增函數(shù)，，得，所以不等式的解集為

【解析】本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求解析式，判斷函數(shù)的單調(diào)性以及利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，是中檔題.先由函數(shù)的奇偶性得到，然后由求解，即可得解；利用函數(shù)單調(diào)性定義證明；將，轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性和定義域求解.20.【答案】解：因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為50萬(wàn)元，則x件商品銷(xiāo)售額為50x萬(wàn)元，依題意得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元；當(dāng)且時(shí)，萬(wàn)元，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則萬(wàn)元，因?yàn)?，故?dāng)年產(chǎn)量為100件時(shí)，年獲利