山東省青島第二中學(xué)2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題含答案

山東省青島第二中學(xué)2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知空間向量，，且，則（

）A． B．16 C．4 D．2．已知點(diǎn)，，若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段相交，則該直線(xiàn)斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．已知空間向量，，若與垂直，則等于（

）A． B． C． D．4．設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的為（

）A．若，是對(duì)立事件，則B．若，是互斥事件，，則C．若，且，則，是獨(dú)立事件D．若，是獨(dú)立事件，，則5．已知點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)在圓上，則（

）A．4 B．5 C．-4 D．-56．連擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（

）A． B． C． D．7．邊長(zhǎng)為1的正方形沿對(duì)角線(xiàn)折疊，使，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．8．已知空間向量，，兩兩的夾角均為，且，.若向量，滿(mǎn)足，，則的最大值是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．8個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，另3個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，則這11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是B．若樣本數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為2，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為3C．一組數(shù)據(jù)，，，，，的分位數(shù)為6D．某班男生30人、女生20人，按照分層抽樣的方法從該班共抽取10人答題.若男生答對(duì)題目的平均數(shù)為10，方差為1；女生答對(duì)題目的平均數(shù)為15，方差為0.5，則這10人答對(duì)題目的方差為6.810．已知，若過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)交于點(diǎn)（與，不重合），則以下說(shuō)法正確的是（

）A．B點(diǎn)的坐標(biāo)為 B．為定值C．最大值為 D．的最大值為11．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，，，，若直線(xiàn)與的夾角為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．線(xiàn)段的長(zhǎng)度為B．的最小值為1C．對(duì)任意點(diǎn)，總存在點(diǎn)，使得D．存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與平面所成的角為三、填空題（本大題共4小題）12．已知，，，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則.13．已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到直線(xiàn)距離的最大值為.14．在長(zhǎng)方體中，已知異面直線(xiàn)與，與所成角的大小分別為和，為中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為.15．平面直角坐標(biāo)系中，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)為，O0,0，，，C0,6，光線(xiàn)從邊上一點(diǎn)沿與軸正方向成角的方向發(fā)射到邊上的點(diǎn)，被反射到上的點(diǎn)，再被反射到上的點(diǎn)，最后被反射到軸上的點(diǎn)，若，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共3小題）16．已知直線(xiàn)，，且滿(mǎn)足，垂足為.(1)求的值及點(diǎn)的坐標(biāo).(2)設(shè)直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，求的外接圓方程.17．在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為.現(xiàn)有兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏?單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次.收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼（例如，若收到1，則譯碼為1，若收到0，則譯碼為0）；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到，，，則譯碼為1，若依次收到，，，則譯碼為1）.(1)已知，，（i）若采用單次傳輸方案，重復(fù)發(fā)送信號(hào)0兩次，求至少收到一次0的概率；（ii）若采用單次傳輸方案，依次發(fā)送，，，判斷事件“第三次收到的信號(hào)為”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”是否相互獨(dú)立，并說(shuō)明理由；(2)若發(fā)送1，采用三次傳輸方案時(shí)譯碼為0的概率不大于采用單次傳輸方案時(shí)譯碼為0的概率，求的取值范圍.18．如圖，四面體中，為等邊三角形，且，為等腰直角三角形，且.(1)當(dāng)時(shí)，（i）求二面角的正弦值；（ii）當(dāng)為線(xiàn)段中點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)與平面所成角正弦值；(2)當(dāng)時(shí)，若，且平面，為垂足，中點(diǎn)為，中點(diǎn)為；直線(xiàn)與平面的交點(diǎn)為，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求的值.

參考答案1．【答案】A【詳解】由題可知，解得，所以.故選：A.2．【答案】B【詳解】由題意，，，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與線(xiàn)段相交，結(jié)合圖象可知，該直線(xiàn)的斜率的取值范圍為.故選：B.3．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，所以，又與垂直，則，解得，所以，即.故選：C.4．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)立事件的概念判斷A，根據(jù)互斥事件的概率加法公式判斷B，根據(jù)獨(dú)立事件的定義及概率公式判斷C、D.【詳解】對(duì)于A：若，是對(duì)立事件，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，是互斥事件，且，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)椋?，則，，又，所以，是獨(dú)立事件，故C正確；對(duì)于D：若，是獨(dú)立事件，則，是獨(dú)立事件，由，，所以，故D錯(cuò)誤；故選：C5．【答案】B【詳解】設(shè)，則所以由題可知，故選：B6．【答案】C【詳解】，，即，事件“”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共個(gè)，所有的基本事件數(shù)為，因此，事件“”的概率為.故選：C.7．【答案】B【詳解】取中點(diǎn)，連接，則，，

而，平面，于是平面，，，，，又，，則，解得，，而，則，，所以三棱錐的體積為.故選：B.8．【答案】A【詳解】取三棱錐，，且，，，所以，，如圖，令，因?yàn)椋?，又，所以，，即，所以⊥，⊥，分別取的中點(diǎn)，則，，，所以，所以當(dāng)四點(diǎn)共線(xiàn)且按此順序排列時(shí)，取得最大值，最大值為.故選：A9．【答案】ABD【詳解】對(duì)于A，這11個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，A正確；對(duì)于B，數(shù)據(jù)，，…，的平均數(shù)為，B正確；對(duì)于C，給定數(shù)據(jù)由小到大排列為2，3，4，5，6，8，而，則這組數(shù)據(jù)的60%分位數(shù)為5，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，30名男生抽人，20名女生抽4人，這10人答對(duì)題目的平均數(shù)為，所以這10人答對(duì)題目的方差為，D正確.故選：ABD10．【答案】ABD【詳解】因?yàn)榭梢赞D(zhuǎn)化為，故直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)椋?，恒過(guò)定點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確；由和，滿(mǎn)足，所以，可得，所以，故B選項(xiàng)正確；而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以最大值為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋O(shè)，為銳角,則，，所以，，所以當(dāng)時(shí)，取最大值，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.11．【答案】ABC【詳解】因?yàn)?，，，所以P為側(cè)面（不含邊界）內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)?，，所以Q為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，可得：，A1,0,0，，，，，，設(shè)點(diǎn)，，由直線(xiàn)與的夾角為，則有：，，故有：，解得：，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則有：，解得：，對(duì)選項(xiàng)A，則有：，故選項(xiàng)A正確；對(duì)選項(xiàng)B，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線(xiàn)，垂足為，因?yàn)?，則易知：，故的最小值等價(jià)于求的最小值，，故有：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立，結(jié)合，可得此時(shí)，故選項(xiàng)B正確；對(duì)選項(xiàng)C，若，則有：，，又，則有：，則有：，又，則有：，故對(duì)任意點(diǎn)，總存在點(diǎn)，使得，故選項(xiàng)C正確；對(duì)選項(xiàng)D，易知平面的法向量為n=0,1,0，若直線(xiàn)與平面所成的角為，即直線(xiàn)與平面的法向量成，則有：解得：，矛盾，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.12．【答案】1【詳解】若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則共面，存在，使得，即，解得.故答案為：1.13．【答案】3【詳解】由題意知，半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以圓心的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，而到直線(xiàn)的距離為，所以圓心到直線(xiàn)距離的最大值為.故答案為：3.14．【答案】33/【詳解】如圖建立以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線(xiàn)為x軸，DC所在直線(xiàn)為x軸，所在直線(xiàn)為z軸的空間直角坐標(biāo)系，且設(shè)，則，則，因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)與所成角為，所以因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)與所成角為，所以計(jì)算可得，設(shè)平面法向量為n=x,y,z，則，令，則因?yàn)?，則點(diǎn)到平面的距離.故答案為：.15．【答案】【詳解】由題可知所以有，，，，，，解得，故答案為：16．【答案】(1)；.(2)【詳解】（1）解：顯然，可得，，由，可得，即，解得，所以直線(xiàn)：，直線(xiàn)：，聯(lián)立方程組，解得，所以點(diǎn)．（2）解：由直線(xiàn)：，直線(xiàn)：，可得，，所以的外接圓是以為直徑的圓，可得圓心1,0，半徑，所以的外接圓方程是．17．【答案】(1)（i）；（ii）不相互獨(dú)立，理由見(jiàn)解析；(2)【詳解】（1）（i）記事件為“至少收到一次0”，則至少收到一次0的概率為．（ii）證明：記事件為“第三次收到的信號(hào)為1”，事件為“三次收到的數(shù)字之和為2”，則，，，，事件“第三次收到的信號(hào)為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”不相互獨(dú)立．（2）記事件為“采用三次傳輸方案時(shí)譯碼為0”，事件為“采用單次傳輸方案時(shí)譯碼為0”，，，根據(jù)題意得，，，，，解得，的取值范圍是．18．【答案】(1)（i）；（ii）(2)1【詳解】（1）（i）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，?所以，則，所以，又因?yàn)樗?，則，，又因?yàn)?，所以為二面角的平面角，，所以，所以二面角的正弦值?（ii）過(guò)點(diǎn)作軸垂直平面，又因?yàn)?，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，所以直線(xiàn)與平面所成角正弦值為.（2）取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，?所以