數(shù)學湘教版自我小測：歸納類比

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測1．一個多面體有10個頂點，7個面，那么它的棱數(shù)為（)．A．17B．19C．15D．132．某同學在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示,○○○●●○○○●●○○○…，按這種規(guī)律往下排,那么第36個圓的顏色是(）．A．白色B．黑色C．白色的可能性大D．黑色的可能性大3．已知a1＝1,an＋1＞an,且(an＋1－an）2－2(an＋1＋an)＋1＝0,計算a2，a3，然后猜想an等于（)．A．nB．n2C．n3D．eq\r（n＋3）－eq\r(n）4．已知扇形的弧長為l,半徑為r，類比三角形的面積公式S＝eq\f（底×高，2)，可推知扇形面積公式S扇等于（)．A．eq\f（r2，2)B．eq\f(l2,2)C．eq\f(lr，2)D．不可類比5．六個面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體．如圖甲，在平行四邊形ABCD中，有AC2＋BD2＝2（AB2＋AD2)，那么在圖乙中所示的平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AC12＋BD12＋CA12＋DB12等于（)．A．2(AB2＋AD2＋AA12）B．3（AB2＋AD2＋AA12)C．4(AB2＋AD2＋AA12）D．4(AB2＋AD2)6．將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：根據(jù)以上排列規(guī)律,數(shù)陣第n(n≥3)行中從左至右的第3個數(shù)是________．7．由“等腰三角形的兩底角相等，兩腰相等”可以類比推出正棱錐的類似屬性是____________________．8．中學數(shù)學中存在許多關系，比如“相等關系”“平行關系”等等.如果集合A中元素之間的一個關系“∽"滿足以下三個條件:（1）自反性：對于任意a∈A,都有a∽a;(2）對稱性:對于a，b∈A，若a∽b，則有b∽a；（3）傳遞性:對于a，b，c∈A，若a∽b，b∽c，則有a∽c。則稱“∽"是集合A的一個等價關系．例如：“數(shù)的相等”是等價關系，而“直線的平行”不是等價關系（自反性不成立)．請你再列出三個等價關系：__________。9．設Sn為數(shù)列｛an}的前n項和，給出如下數(shù)列：①5,3,1，－1，－3,－5,－7，…；②－14，－10，－6,－2,2，6，10，14,18，…。（1）對于數(shù)列①，計算S1，S2，S4，S5；對于數(shù)列②，計算S1,S3,S5,S7。(2)根據(jù)上述結(jié)果，對于存在正整數(shù)k,滿足ak＋ak＋1＝0的這一類等差數(shù)列{an}前n項和的規(guī)律,猜想一個正確的結(jié)論,并加以證明．10．如圖，已知O是△ABC內(nèi)任意一點，連結(jié)AO，BO，CO并延長交對邊于點A′，B′，C′，則eq\f(OA′,AA′)＋eq\f（OB′,BB′)＋eq\f(OC′,OC′）＝1.這是一道平面幾何題,其證明常采用“面積法":eq\f(OA′，AA′)＋eq\f（OB′，BB′)＋eq\f(OC′,CC′）＝eq\f(S△OBC,S△ABC）＋eq\f(S△OCA,S△ABC）＋eq\f（S△OAB,S△ABC)＝eq\f(S△ABC，S△ABC）＝1.請運用類比思想,說明對于空間中的四面體V－BCD，存在什么類似的結(jié)論？并用“體積法”證明．

參考答案1．C由歐拉公式V＋F－E＝2得E＝V＋F－2＝10＋7－2＝15。2．A由題圖知，圖形是三白二黑的圓周而復始相繼排列，周期為5，因為36÷5＝7……1,所以第36個圓應與第1個圓顏色相同，即白色．3．B由題中所給遞推公式可得，（a2－a1)2－2（a2＋a1)＋1＝0，得a2＝22;同理由（a3－a2）2－2(a3＋a2)＋1＝0，得a3＝32，……由上可猜測an＝n2。4．C我們將扇形的弧類比為三角形的底邊，則高為扇形的半徑r，∴S扇＝eq\f(1，2)lr.5．C∵AC12＋BD12＋CA12＋DB12＝(AC12＋CA12）＋（BD12＋DB12）＝2(AA12＋AC2）＋2（BB12＋BD2)＝4AA12＋4AB2＋4AD2。6．eq\f（n2－n＋6，2)本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式．前n－1行共有正整數(shù)1＋2＋…＋（n－1)個,即eq\f（n2－n,2）個．因此第n行第3個數(shù)是全體正整數(shù)中第eq\f（n2－n，2）＋3個，即為eq\f（n2－n＋6，2).7．各側(cè)面與底面所成二面角相等,各側(cè)面都是全等的三角形或各側(cè)棱相等等腰三角形的底與腰可分別與正棱錐的底面與側(cè)面類比．8．答案不唯一，如“圖形的全等”“圖形的相似”“非零向量的共線"“命題的充要條件”等等(1）令A為所有三角形構(gòu)成的集合，定義:兩三角形的全等為關系“∽"，則其為等價關系．(2)令B為所有正方形構(gòu)成的集合．定義B中兩元素相似為關系“∽”，則其為等價關系．（3）令C為一切非零向量構(gòu)成的集合,定義C中任意兩向量共線為關系“∽”，則其為等價關系．9．解：（1)①S1＝S5＝5，S2＝S4＝8;②S1＝S7＝－14，S3＝S5＝－30.(2）等差數(shù)列｛an},當ak＋ak＋1＝0時，猜想如下：Sn＝S2k－n（n≤2k，k∈N＊)．證明如下:設{an｝的首項為a1，公差為d,因ak＋ak＋1＝0，所以a1＋（k－1)d＋a1＋kd＝0。所以2a1＝（1－2k)d。又S2k－n－Sn＝（2k－n)a1＋eq\f（(2k－n）（2k－n－1）,2）d－na1－eq\f(n(n－1)d,2）＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（k－n）(1－2k）＋\f（（2k－n）(2k－n－1),2）－\f(n（n－1），2)）)d＝0,所以S2k－n＝Sn正確．10．解：如圖,在四面體V－BCD中，任取一點O，連結(jié)VO，DO，BO，CO并延長分別交四個面于E,F,G，H四點,則eq\f（OE，VE)＋eq\f(OF，DF）＋eq\f(OG，BG)＋eq\f(OH,CH）＝1。證明：在四面體O－BCD與V－BCD中，eq\f（OE，VE)＝eq\f(h1,h）＝eq\f（\f(1,3)S△BCD·h1,\f（1，3）S△BCD·h)＝eq\f（VO－BCD,VV－BCD）,同理有eq\f(OF，DF）＝eq\f(VO－VBC，VD－VBC);eq\f（OG,BG)＝eq\f（VO－VCD，VB－VCD）；eq\f(OH,