專項27-相似三角形的應用-重難點題型

相似三角形的應用-重難點題型【知識點1相似三角形的應用】在實際生活中，我們面對不能直接測量物體的高度和寬度時，可以把它們轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立相似三角形模型，再利用對應邊的比相等來達到求解的目的。同時，需要掌握并應用一些簡單的相似三角形模型?！绢}型1相似三角形的應用（九章算術(shù)）】【例1】（曾都區(qū)期末）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學專著，它奠定了中國古代數(shù)學的基本框架，以計算為中心，密切聯(lián)系實際，以解決人們生產(chǎn)、生活中的數(shù)學問題為目的．書中記載了這樣一個問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何．”其大意是：如圖，Rt△ABC的兩條直角邊的長分別為5和12，則它的內(nèi)接正方形CDEF的邊長為（）A．2517 B．6017 C．10017【變式1-1】（廣西模擬）《九章算術(shù)》中，有一數(shù)學史上有名的測量問題：“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見木？”今譯如下：如圖，矩形ABCD，東邊城墻AB長9里，南邊城墻AD長7里，東門點E，南門點F分別位于AB，AD的中點，EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD，EG＝15里，HG經(jīng)過A點，則FH的長為（）A．0.95里 B．1.05里 C．2.05里 D．2.15里【變式1-2】（蘇州期末）我國古代數(shù)學發(fā)展源遠流長，成就輝煌．著作《九章算術(shù)》中就有“井深幾何”問題：“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”現(xiàn)在我們可以解釋為：如圖，矩形BCDE的邊BE、CD表示井的直徑，A在CB的延長線上，CD＝5尺，AB＝5尺，AD交BE于F，BF＝0.4尺，根據(jù)以上條件，可求得井深BC為尺．【變式1-3】（薌城區(qū)校級一模）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學專著，它奠定了中國古代數(shù)學的基本框架，以計算為中心，密切聯(lián)系實際，以解決人們生產(chǎn)、生活中的數(shù)學問題為目的．書中記載了這樣一個問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其大意是：如圖，Rt△ABC的兩條直角邊的長分別為5和12，求它的內(nèi)接正方形CDEF的邊長．【題型2相似三角形的應用（影長問題）】【例2】（津南區(qū)模擬）如圖，身高1.8米的小石從一盞路燈下B處向前走了8米到達點C處時，發(fā)現(xiàn)自己在地面上的影子CE長是2米，則路燈的高AB為米．【變式2-1】（碑林區(qū)校級月考）為更好籌備“十四運”的召開，小穎及其小組成員將利用所學知識測量一個廣告牌的高度EF．在第一次測量中，小穎來回走動，走到點D時，其影子末端與廣告牌影子末端重合于點H，其中DH＝1m．隨后，組員在直線DF上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個標記，這個標記在直線DF上的對應位置為點G．鏡子不動，小穎從點D沿著直線FD后退5m到B點時，恰好在鏡子中看到頂端E的像與標記G重合，此時BG＝2m．如圖，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小穎的身高為1.5m（眼睛到頭頂距離忽略不計），平面鏡的厚度忽略不計．根據(jù)以上信息，求廣告牌的高度EF．【變式2-2】（秦皇島一模）如圖所示，AD、BC為兩路燈，身高相同的小明、小亮站在兩路燈桿之間，兩人相距6.5m，小明站在P處，小亮站在Q處，小明在路燈BC下的影長為2m，已知小明身高1.8m，路燈BC高9m．小明在路燈BC下的影子頂部恰好位于路燈DA的正下方，小亮在路燈AD下的影子頂部恰好位于路燈BC的正下方．①計算小亮在路燈AD下的影長；②計算AD的高．【變式2-3】如圖，小華在晚上由路燈A走向路燈B．當他走到點P時，發(fā)現(xiàn)他身后影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部；當他向前再步行12m到達點Q時，發(fā)現(xiàn)他身前影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部．已知小華的身高是1.6m，兩個路燈的高度都是9.6m，且AP＝QB．（1）求兩個路燈之間的距離．（2）當小華走到路燈B的底部時，他在路燈A下的影長是多少？【題型3相似三角形的應用（杠桿問題）】【例3】（漢壽縣期末）學校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞O點旋轉(zhuǎn)到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，則欄桿C端應下降的垂直距離CD為m．【變式3-1】．（南安市校級自主招生）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，C是支點，當用力壓杠桿的A端時，杠桿繞C點轉(zhuǎn)動，另一端B向上翹起，石頭就被撬動．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動，杠桿的B端必須向上翹起10cm，已知杠桿的動力臂AC與阻力臂BC之比為6：1，要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的A端向下壓cm．【變式3-2】太原市某學校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置AB繞定點O旋轉(zhuǎn)到DC位置，已知欄桿AB的長為3.5m，OA的長為3m，C點到AB的距離為0.3m．支柱OE的高為0.5m，則欄桿D端離地面的距離為．【變式3-3】（秦都區(qū)期末）隨著生活水平的提高，家用轎車已經(jīng)成為很多人們出行的交通工具，為此修建了很多停車場．如圖，已知某停車場入口處的欄桿的長臂AO長是12米，短臂BO長是1.1米，當長臂端點垂直升高A′C＝9米時，短臂端點垂直下降了多少米？（欄桿寬度忽略不計）【題型4相似三角形的應用（建筑物問題）】【例4】（市中區(qū)一模）如圖，李老師用自制的直角三角形紙板去測量“步云閣”的高度，他調(diào)整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，邊DE與點B在同一直線上，已知直角三角紙板中DE＝16cm，EF＝12cm，測得眼睛D離地面的高度為1.8米，他與“步云閣”的水平距離CD為104m，則“步云閣”的高度AB是（）m．A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5【變式4-1】（韓城市模擬）真身寶塔，位于陜西省扶風法門鎮(zhèn)法門寺內(nèi)，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名．小玲和曉靜很想知道真身寶塔的高度PQ，于是，有一天，他們帶著標桿和皮尺來到法門寺進行測量，測量方案如下：如圖，首先，小玲在C處放置一平面鏡，她從點C沿QC后退，當退行1.8米到B處時，恰好在鏡子中看到塔頂P的像，此時測得小玲眼睛到地面的距離AB為1.5米；然后，曉靜在F處豎立了一根高1.6米的標桿EF，發(fā)現(xiàn)地面上的點M、標桿頂點E和塔頂P在一條直線上，此時測得FM為2.4米，CF為11.7米，已知PQ⊥QM，AB⊥QM，EF⊥QM，點Q、C、B、F、M在一條直線上，請根據(jù)以上所測數(shù)據(jù)，計算真身寶塔的高度PQ．【變式4-2】（雁塔區(qū)校級二模）如圖，建筑物BC上有一根旗桿AB，小芳計劃用學過的知識測量該建筑物的高度，測量方法如下：在該建筑物底部所在的平地上有一棵小樹FD，小芳沿CD后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點E、樹頂F、旗桿頂端A恰好在一條直線上，繼續(xù)后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點G、樹頂F、建筑物頂端B恰好在一條直線上，已知旗桿AB＝3米，F(xiàn)D＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，點A、B、C在一條直線上，點C、D、E、G在一條直線上，AC、FD均垂直于CG，請你幫助小芳求出這座建筑物的高BC．【變式4-3】（鳳翔縣一模）青龍寺是西安最著名的櫻花觀賞地，品種達到了13種之多，每年3、4月陸續(xù)開放的櫻花讓這里成為了花的海洋．一天，小明和小剛?cè)デ帻埶掠瓮妫肜盟鶎W知識測量一棵櫻花樹的高度（櫻花樹四周被圍起來了，底部不易到達）．小明在F處豎立了一根標桿EF，小剛走到C處時，站立在C處看到標桿頂端E和樹的頂端B在一條直線上．此時測得小剛的眼睛到地面的距離DC＝1.6米；然后，小剛在C處蹲下，小明平移標桿到H處時，小剛恰好看到標桿頂端G和樹的頂端B在一條直線上，此時測得小剛的眼睛到地面的距離MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，F(xiàn)H＝1.6米，點C、F、H、A在一條直線上，點M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，GH⊥AC，AB⊥AC．根據(jù)以上測量過程及測量數(shù)據(jù)，請你求出這棵櫻花樹AB的高度．【題型5相似三角形的應用（河寬問題）】【例5】（津南區(qū)模擬）如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一點A，再在河的這一邊選定點B和點C，使得AB⊥BC，然后選定點E，使EC⊥BC，確定BC與AE的交點為D，若測得BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，你能知道小河的寬是多少嗎？【變式5-1】如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一定A，再在河的這一邊選定點B和點C，使得AB⊥BC，然后選定點E，使EC⊥BC，確定BC與AE的交點D，若測得BD＝180米，DC＝60米，EC＝70米，請你求出小河的寬度是多少米？【變式5-2】（崆峒區(qū)一模）如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點P，在近岸取點Q和S，使點P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著再過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當?shù)狞cT，確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R．如果測得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的寬度PQ．【變式5-3】（安國市期中）如圖，洋洋和華華用所學的數(shù)學知識測量一條小河的寬度，河的對岸有一棵大樹，底部記為點A，在他們所在的岸邊選擇了點B，并且使AB與河岸垂直，在B處與地面垂直豎起標桿BC，再在AB的延長線上選擇點D，與地面垂直豎起標桿DE，使得A、C、E三點共線．經(jīng)測量，BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m，求小河的寬度．【題型6相似三角形的應用（內(nèi)接矩形問題）】【例6】（大理市期末）如圖是一塊三角形鋼材ABC，其中邊BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，則這個正方形零件的邊長是（）A．16 B．24 C．30 D．36【變式6-1】（陽山縣期末）如圖，有一塊銳角三角形材料，邊BC＝60mm，高AD＝45mm，要把它加工成矩形零件，使其一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC，且EH＝2EF，則這個矩形零件的長為（）A．36mm B．40mm C．72mm D．80mm【變式6-2】（唐山開學）如圖，Rt△ABC為一塊鐵板余料，∠B＝90°，BC＝6cm，AB＝8cm，要把它加工成正方形小鐵板，有如圖所示的兩種加工方案，請你分別計算這兩種加工方案的正方形的邊長．【變式6-3】（東平縣期末）如圖，要從一塊Rt△ABC的白鐵皮零料上截出一塊矩形EFGH白鐵皮．已知∠A＝90°，AB＝16cm，AC＝12cm，要求截出的矩形的長與寬的比為2：1，且較長邊在BC上，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，所截矩形的長和寬各是多少？

相似三角形的應用-重難點題型（解析版）【知識點1相似三角形的應用】在實際生活中，我們面對不能直接測量物體的高度和寬度時，可以把它們轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立相似三角形模型，再利用對應邊的比相等來達到求解的目的。同時，需要掌握并應用一些簡單的相似三角形模型?！绢}型1相似三角形的應用（九章算術(shù)）】【例1】（曾都區(qū)期末）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學專著，它奠定了中國古代數(shù)學的基本框架，以計算為中心，密切聯(lián)系實際，以解決人們生產(chǎn)、生活中的數(shù)學問題為目的．書中記載了這樣一個問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何．”其大意是：如圖，Rt△ABC的兩條直角邊的長分別為5和12，則它的內(nèi)接正方形CDEF的邊長為（）A．2517 B．6017 C．10017【解題思路】根據(jù)正方形的性質(zhì)得：DE∥BC，則△ADE∽△ACB，列比例式可得結(jié)論．【解答過程】解：∵四邊形CDEF是正方形，∴CD＝ED，DE∥CF，設ED＝x，則CD＝x，AD＝5﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴DEBC∴x12∴x=60∴正方形CDEF的邊長為6017故選：B．【變式1-1】（廣西模擬）《九章算術(shù)》中，有一數(shù)學史上有名的測量問題：“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見木？”今譯如下：如圖，矩形ABCD，東邊城墻AB長9里，南邊城墻AD長7里，東門點E，南門點F分別位于AB，AD的中點，EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD，EG＝15里，HG經(jīng)過A點，則FH的長為（）A．0.95里 B．1.05里 C．2.05里 D．2.15里【解題思路】首先根據(jù)題意得到△GEA∽△AFH，然后利用相似三角形的對應邊的比相等列出比例式求得答案即可．【解答過程】解：EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD，HG經(jīng)過A點，∴FA∥EG，EA∥FH，∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，∴△GEA∽△AFH，∴FGFA∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，∴153.5解得：FH＝1.05里．故選：B．【變式1-2】（蘇州期末）我國古代數(shù)學發(fā)展源遠流長，成就輝煌．著作《九章算術(shù)》中就有“井深幾何”問題：“今有井徑五尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸，問井深幾何？”現(xiàn)在我們可以解釋為：如圖，矩形BCDE的邊BE、CD表示井的直徑，A在CB的延長線上，CD＝5尺，AB＝5尺，AD交BE于F，BF＝0.4尺，根據(jù)以上條件，可求得井深BC為57.5尺．【解題思路】利用相似三角形的性質(zhì)，構(gòu)建方程求解即可．【解答過程】解：設BC＝x尺．∵四邊形BCDE是矩形，∴BF∥CD，∴△AFB∽△ADC，∴FBDC∴0.45解得x＝57.5，經(jīng)檢驗：x＝57.5是分式方程的解．∴BC＝57.5（尺）．故答案為：57.5．【變式1-3】（薌城區(qū)校級一模）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學專著，它奠定了中國古代數(shù)學的基本框架，以計算為中心，密切聯(lián)系實際，以解決人們生產(chǎn)、生活中的數(shù)學問題為目的．書中記載了這樣一個問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其大意是：如圖，Rt△ABC的兩條直角邊的長分別為5和12，求它的內(nèi)接正方形CDEF的邊長．【解題思路】根據(jù)正方形的性質(zhì)得：DE∥BC，則△ADE∽△ACB，列比例式可得結(jié)論．【解答過程】解：∵四邊形CDEF是正方形，∴CD＝ED，DE∥CF，設ED＝x，則CD＝x，AD＝5﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ACB，∴DEBC∴x12∴x=60∴正方形CDEF的邊長為6017【題型2相似三角形的應用（影長問題）】【例2】（津南區(qū)模擬）如圖，身高1.8米的小石從一盞路燈下B處向前走了8米到達點C處時，發(fā)現(xiàn)自己在地面上的影子CE長是2米，則路燈的高AB為9米．【解題思路】根據(jù)CD∥AB，得出△ECD∽△EBA，進而得出比例式求出即可．【解答過程】解：由題意知，CE＝2米，CD＝1.8米，BC＝8米，CD∥AB，則BE＝BC+CE＝10米，∵CD∥AB，∴△ECD∽△EBA∴CDAB=CE解得AB＝9（米），即路燈的高AB為9米；故答案為：9．【變式2-1】（碑林區(qū)校級月考）為更好籌備“十四運”的召開，小穎及其小組成員將利用所學知識測量一個廣告牌的高度EF．在第一次測量中，小穎來回走動，走到點D時，其影子末端與廣告牌影子末端重合于點H，其中DH＝1m．隨后，組員在直線DF上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個標記，這個標記在直線DF上的對應位置為點G．鏡子不動，小穎從點D沿著直線FD后退5m到B點時，恰好在鏡子中看到頂端E的像與標記G重合，此時BG＝2m．如圖，已知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，小穎的身高為1.5m（眼睛到頭頂距離忽略不計），平面鏡的厚度忽略不計．根據(jù)以上信息，求廣告牌的高度EF．【解題思路】根據(jù)鏡面反射原理結(jié)合相似三角形的判定方法得出△EFH∽△CDH，△EFG∽△ABG，進而利用相似三角形的性質(zhì)得出EF的長．【解答過程】解：設廣告牌的高度EF為xm，依題意知：DB＝5m，BG＝2m，DH＝1m，AB＝CD＝1.5m．∴GD＝DB﹣BG＝3m，∴FG＝GD+DF＝4m．∵CD⊥BF，EF⊥BF，∴CD∥EF．∴△EFH∽△CDH．∴EFCD=FH∴x1.5∴DF=23由平面鏡反射規(guī)律可得：∠EGF＝∠AGB．∵AB⊥BF，∴∠ABG＝90°＝∠EFG．∴△EFG∽△ABG．∴EFAB=FG∴x1.5∴x＝3．故廣告牌的高度EF為3m．【變式2-2】（秦皇島一模）如圖所示，AD、BC為兩路燈，身高相同的小明、小亮站在兩路燈桿之間，兩人相距6.5m，小明站在P處，小亮站在Q處，小明在路燈BC下的影長為2m，已知小明身高1.8m，路燈BC高9m．小明在路燈BC下的影子頂部恰好位于路燈DA的正下方，小亮在路燈AD下的影子頂部恰好位于路燈BC的正下方．①計算小亮在路燈AD下的影長；②計算AD的高．【解題思路】解此題的關鍵是找到相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應邊成比例求解．【解答過程】解：①∵EP⊥AB，CB⊥AB，∴∠EPA＝∠CBA＝90°∵∠EAP＝∠CAB，∴△EAP∽△CAB∴EP∴1.8∴AB＝10BQ＝10﹣2﹣6.5＝1.5；②∵FQ⊥AB，DA⊥AB，∴∠FQB＝∠DAB＝90°∵∠FBQ＝∠DBA，∴△BFQ∽△BDA∴FQ∴1.8∴DA＝12．【變式2-3】如圖，小華在晚上由路燈A走向路燈B．當他走到點P時，發(fā)現(xiàn)他身后影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部；當他向前再步行12m到達點Q時，發(fā)現(xiàn)他身前影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部．已知小華的身高是1.6m，兩個路燈的高度都是9.6m，且AP＝QB．（1）求兩個路燈之間的距離．（2）當小華走到路燈B的底部時，他在路燈A下的影長是多少？【解題思路】（1）如圖1，先證明△APM∽△ABD，利用相似比可得AP=16AB，再證明△BQN∽△BAC，利用相似比可得BQ=16AB，則16AB+12+AB＝AB（2）如圖2，他在路燈A下的影子為BN，證明△NBM∽△NAC，利用相似三角形的性質(zhì)得BNBN+18=1.6【解答過程】解：（1）如圖1，∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，APAB=PM∴AP=16∵NQ∥AC，∴△BNQ∽△BCA，∴BQBA=QN∴BQ=16而AP+PQ+BQ＝AB，∴16AB+12+16AB∴AB＝18．答：兩路燈的距離為18m；（2）如圖2，他在路燈A下的影子為BN，∵BM∥AC，∴△NBM∽△NAC，∴BNAN=BMAC，即答：當他走到路燈B時，他在路燈A下的影長是3.6m．【題型3相似三角形的應用（杠桿問題）】【例3】（漢壽縣期末）學校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞O點旋轉(zhuǎn)到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B，D，AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，則欄桿C端應下降的垂直距離CD為0.2m．【解題思路】由∠ABO＝∠CDO＝90°、∠AOB＝∠COD知△ABO∽△CDO，據(jù)此得AOCO【解答過程】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO＝∠CDO＝90°，又∵∠AOB＝∠COD，∴△ABO∽△CDO，則AOCO∵AO＝6m，AB＝1.2m，CO＝1m，∴61解得：CD＝0.2，∴欄桿C端應下降的垂直距離CD為0.2m．故答案為：0.2．【變式3-1】．（南安市校級自主招生）如圖是用杠桿撬石頭的示意圖，C是支點，當用力壓杠桿的A端時，杠桿繞C點轉(zhuǎn)動，另一端B向上翹起，石頭就被撬動．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動，杠桿的B端必須向上翹起10cm，已知杠桿的動力臂AC與阻力臂BC之比為6：1，要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的A端向下壓60cm．【解題思路】首先根據(jù)題意構(gòu)造出相似三角形，然后根據(jù)相似三角形的對應邊成比例求得端點A向下壓的長度．【解答過程】解：如圖；AM、BN都與水平線的垂直，M，N是垂足，則AM∥BN；∵AM∥BN，∴△ACM∽△BCN；∴ACBC∵AC與BC之比為6：1，∴ACBC=AMBN=6∴當BN≥10cm時，AM≥60cm，故要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的端點A向下壓60cm．故答案為：60．【變式3-2】太原市某學校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置AB繞定點O旋轉(zhuǎn)到DC位置，已知欄桿AB的長為3.5m，OA的長為3m，C點到AB的距離為0.3m．支柱OE的高為0.5m，則欄桿D端離地面的距離為2.3m．【解題思路】過D作DG⊥AB于G，過C作CH⊥AB于H，則DG∥CH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答過程】解：過D作DG⊥AB于G，過C作CH⊥AB于H，則DG∥CH，∴△ODG∽△OCH，∴DGCH∵欄桿從水平位置AB繞固定點O旋轉(zhuǎn)到位置DC，∴CD＝AB＝3.5m，OD＝OA＝3m，CH＝0.3m，∴OC＝0.5m，∴DG0.3∴DG＝1.8m，∵OE＝0.5m，∴欄桿D端離地面的距離為1.8+0.5＝2.3m．故答案是：2.3m．【變式3-3】（秦都區(qū)期末）隨著生活水平的提高，家用轎車已經(jīng)成為很多人們出行的交通工具，為此修建了很多停車場．如圖，已知某停車場入口處的欄桿的長臂AO長是12米，短臂BO長是1.1米，當長臂端點垂直升高A′C＝9米時，短臂端點垂直下降了多少米？（欄桿寬度忽略不計）【解題思路】欄桿長短臂在升降過程中，將形成兩個相似三角形，利用對應邊成比例解題．【解答過程】解：∵A′C⊥AB，B′D⊥AB，∴∠OCA′＝∠ODB′＝90°，又∵∠COA′＝∠DOB′，∴△OCA′∽△ODB′．∴B′DA′C即B′D9∴B/【題型4相似三角形的應用（建筑物問題）】【例4】（市中區(qū)一模）如圖，李老師用自制的直角三角形紙板去測量“步云閣”的高度，他調(diào)整自己的位置，設法使斜邊DF保持水平，邊DE與點B在同一直線上，已知直角三角紙板中DE＝16cm，EF＝12cm，測得眼睛D離地面的高度為1.8米，他與“步云閣”的水平距離CD為104m，則“步云閣”的高度AB是（）m．A．75.5 B．77.1 C．79.8 D．82.5【解題思路】先判定△DEF和△DCB相似，然后根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出BC的長，再加上AC即可得解．【解答過程】解：在△DEF和△DCB中，∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠DCB＝90°，∴△DEF∽△DCB，∴DEEF即1612解得：BC＝78（m），∵AC＝1.8m，∴AB＝AC+BC＝1.8+78＝79.8（m），即樹高79.8m，故選：C．【變式4-1】（韓城市模擬）真身寶塔，位于陜西省扶風法門鎮(zhèn)法門寺內(nèi)，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名．小玲和曉靜很想知道真身寶塔的高度PQ，于是，有一天，他們帶著標桿和皮尺來到法門寺進行測量，測量方案如下：如圖，首先，小玲在C處放置一平面鏡，她從點C沿QC后退，當退行1.8米到B處時，恰好在鏡子中看到塔頂P的像，此時測得小玲眼睛到地面的距離AB為1.5米；然后，曉靜在F處豎立了一根高1.6米的標桿EF，發(fā)現(xiàn)地面上的點M、標桿頂點E和塔頂P在一條直線上，此時測得FM為2.4米，CF為11.7米，已知PQ⊥QM，AB⊥QM，EF⊥QM，點Q、C、B、F、M在一條直線上，請根據(jù)以上所測數(shù)據(jù)，計算真身寶塔的高度PQ．【解題思路】根據(jù)已知條件推出△PCQ∽△ACB，求得QC＝1.2PQ，又根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到PQ1.6【解答過程】解：∵∠PQC＝∠ABC＝90°，∠PCQ＝∠ACB，∴△PCQ∽△ACB，∴PQAB∴PQ1.5∴QC＝1.2PQ，∵∠PQF＝∠EFM＝90°，∠PMQ＝∠EMF，∴△PMQ∽△EMF，∴PQEF∴PQ1.6即PQ1.6∴PQ＝47，答：真身寶塔的高度PQ為47米．【變式4-2】（雁塔區(qū)校級二模）如圖，建筑物BC上有一根旗桿AB，小芳計劃用學過的知識測量該建筑物的高度，測量方法如下：在該建筑物底部所在的平地上有一棵小樹FD，小芳沿CD后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點E、樹頂F、旗桿頂端A恰好在一條直線上，繼續(xù)后退，發(fā)現(xiàn)地面上的點G、樹頂F、建筑物頂端B恰好在一條直線上，已知旗桿AB＝3米，F(xiàn)D＝4米，DE＝5米，EG＝1.5米，點A、B、C在一條直線上，點C、D、E、G在一條直線上，AC、FD均垂直于CG，請你幫助小芳求出這座建筑物的高BC．【解題思路】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得出CD，進而解答即可．【解答過程】解：由題意可得，∠ACE＝∠EDF＝90°，∠AEC＝∠FED，∴△ACE∽△FDE，∴ACFD即3+BC4∴CD=5BC?5由題意可得，∠BCG＝∠FDG＝90°，∠BGC＝∠FGD，∴△BCG∽△FDG，∴BCFD即BC4∴6.5BC＝4（CD+6.5），∴6.5BC＝4×5BC?5∴BC＝14（米），∴這座建筑物的高BC為14米．【變式4-3】（鳳翔縣一模）青龍寺是西安最著名的櫻花觀賞地，品種達到了13種之多，每年3、4月陸續(xù)開放的櫻花讓這里成為了花的海洋．一天，小明和小剛?cè)デ帻埶掠瓮?，想利用所學知識測量一棵櫻花樹的高度（櫻花樹四周被圍起來了，底部不易到達）．小明在F處豎立了一根標桿EF，小剛走到C處時，站立在C處看到標桿頂端E和樹的頂端B在一條直線上．此時測得小剛的眼睛到地面的距離DC＝1.6米；然后，小剛在C處蹲下，小明平移標桿到H處時，小剛恰好看到標桿頂端G和樹的頂端B在一條直線上，此時測得小剛的眼睛到地面的距離MC＝0.8米．已知EF＝GH＝2.4米，CF＝2米，F(xiàn)H＝1.6米，點C、F、H、A在一條直線上，點M在CD上，CD⊥AC，EF⊥AC，GH⊥AC，AB⊥AC．根據(jù)以上測量過程及測量數(shù)據(jù)，請你求出這棵櫻花樹AB的高度．【解題思路】過點D作DP⊥AB于點P，交EF于點N，過點M作MQ⊥AB于點Q，交GH于點K，構(gòu)造相似三角形：△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，利用相似三角形的對應邊成比例求得相關線段的長度即可．【解答過程】解：過點D作DP⊥AB于點P，交EF于點N，過點M作MQ⊥AB于點Q，交GH于點K，由題意可得：DP＝MQ＝AC，DN＝CF＝2米，MK＝CH，AP＝DC＝1.6米，AQ＝HK＝MC＝0.8米．∵∠EDN＝∠BDP，∠END＝∠BPD＝90°，∴△DEN∽△DBP，∴BPEN∴AB?1.62.4?1.6∵∠GMK＝∠BMQ，∠GKM＝BQM＝90°，∴△GMK∽△BMQ∴BQGK∴AB?0.82.4?0.8∴AB＝8.8（米）．答：這棵櫻花樹AB的高度是8.8米．【題型5相似三角形的應用（河寬問題）】【例5】（津南區(qū)模擬）如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一點A，再在河的這一邊選定點B和點C，使得AB⊥BC，然后選定點E，使EC⊥BC，確定BC與AE的交點為D，若測得BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，你能知道小河的寬是多少嗎？【解題思路】先證明△ABD∽△ECD，利用對應邊成比例可求出AB的長度．【解答過程】解：由已知得，∠ABD＝∠DCE＝90°，∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△ECD，∴ABEC將BD＝180m，DC＝60m，EC＝50m，代入可得：AB50解得：AB＝150．答：小河的寬是150m．【變式5-1】如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一定A，再在河的這一邊選定點B和點C，使得AB⊥BC，然后選定點E，使EC⊥BC，確定BC與AE的交點D，若測得BD＝180米，DC＝60米，EC＝70米，請你求出小河的寬度是多少米？【解題思路】先證明△ABD∽△ECD，然后利用相似比計算出AB即可得到小河的寬度．【解答過程】解：∵AB⊥BD，EC⊥BC，∴AB∥CE，∴△ABD∽△ECD，∴ABCE=BD∴AB＝210．答：小河的寬度是210米．【變式5-2】（崆峒區(qū)一模）如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標點P，在近岸取點Q和S，使點P、Q、S共線且直線PS與河垂直，接著再過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當?shù)狞cT，確定PT與過點Q且垂直PS的直線b的交點R．如果測得QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，求河的寬度PQ．【解題思路】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出PQPQ+QS【解答過程】解：根據(jù)題意得出：QR∥ST，則△PQR∽△PST，故PQPQ+QS∵QS＝45m，ST＝90m，QR＝60m，∴PQPQ+45解得：PQ＝90（m），∴河的寬度為90米．【變式5-3】（安國市期中）如圖，洋洋和華華用所學的數(shù)學知識測量一條小河的寬度，河的對岸有一棵大樹，底部記為點A，在他們所在的岸邊選擇了點B，并且使AB與河岸垂直，在B處與地面垂直豎起標桿BC，再在AB的延長線上選擇點D，與地面垂直豎起標桿DE，使得A、C、E三點共線．經(jīng)測量，BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m，求小河的寬度．【解題思路】由BC⊥AD，ED⊥AD，可得∴△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題．【解答過程】解：設小河的寬度AB＝xm，根據(jù)題意得：BC⊥AD，ED⊥AD，∴△ABC∽△ADE，∴AB：AD＝BC：ED，∴x：（x+5）＝1：1.5，解得x＝10，∴AB＝10，即小河的寬度為10米．【題型6相似三角形的應用（內(nèi)接矩形問題）】【例6】（大理市期末）如圖是一塊三角形鋼材ABC，其中邊BC＝60cm，高AD＝40cm，把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，則這個正方形零件的邊長是（）A．16 B．24 C．30 D．36【解題思路】根據(jù)正方形的對邊平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一邊的直線截其它兩邊或其它兩邊的延長線，得到的三角形與原三角形相似”，設正方形零件的邊長為xcm，則KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，解方程即可得到結(jié)果．【解答過程】解：∵四邊形EGHF為正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；設正方形零件的邊長為xcm，則KD＝EF＝xcm，AK＝（40﹣x）cm，∵AD⊥BC，∴EFBC∴x60解得：x＝24．即：正方形零件的邊長為24cm．故選：B．【變式6-1】（陽山縣期末）如圖，有一塊銳