上海市上海中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

上海中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)期中2024.11一、填空題（每題3分，共36分）

1.空間中垂直于同一條直線的兩個(gè)平面的位置關(guān)系是_________________.

2.空間中四個(gè)點(diǎn)最多能確定___________個(gè)平面.

3.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是___________.

4.若一個(gè)球的半徑為3，則其體積為___________.

5.若空間向量共面，則實(shí)數(shù)___________.

6.將一個(gè)圓錐的側(cè)面展開后，得到一個(gè)半圓，則該圓錐軸截面的頂角等于___________.

7.若二面角內(nèi)一點(diǎn)到的距離分別等于，則該二面角的大小為___________.

8.已知空間向量的夾角是鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.

9.已知一個(gè)圓臺(tái)有內(nèi)切球，且兩底面半徑分別為1，4，則該圓臺(tái)的表面積為___________.

10.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為.若，則___________.

11.已知一個(gè)正三棱錐的高為6，底面邊長(zhǎng)為12，動(dòng)點(diǎn)分別在其內(nèi)切球和外接球上，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是___________.

12、空間中有五個(gè)球兩兩外切，它們的半徑分別為，則___________.

二、選擇題（每題4分，共16分）

13.二面角的取值范圍是（）.

A.B.C.D.

14.滿足條件的等差數(shù)列共有（）個(gè)

A.2B.3C.4D.5

15.給出命題：有兩個(gè)面平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形的多面體一定是棱柱；命題：對(duì)任意且，均存在所有側(cè)面都是直角三角形的棱錐，則（）.

A.都是真命題B.是真命題，是假命題C.是假命題，是真命題D.都是假命題

16.在正三棱錐中，且兩兩垂直，是的中點(diǎn)，過直線作平面，則直線與平面所成角的最大值為（）.

A.B.C.D.

三.解答題（17~18每題8分，19~20每題10分，21題12分）

17.在等差數(shù)列中，且.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值.

18.在平行六面體中，，，是的中點(diǎn).

（1）求的長(zhǎng)；

（2）求.

在矩形中，.

（1）將矩形繞直線旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的表面積；

（2）將矩形繞直線旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的體積.

20.四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，且，，是的中點(diǎn).

（1）求二面角的余弦值；

（2）求異面直線和之間的距離.

21.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是的中點(diǎn)，分別是上的動(dòng)點(diǎn).考查過三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面：

（1）當(dāng)是的中點(diǎn)且是的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出截面的周長(zhǎng)和面積；

（2）當(dāng)時(shí)，若截面為六邊形，求的取值范圍；

（3）當(dāng)是的中點(diǎn)且截面為五邊形時(shí)，是否存在點(diǎn)，使得截面將正方體分為體積比的兩個(gè)部分，若存在，求出的值；若不存在，說明理由. 參考答案一、填空題1.平行；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.12.二、選擇題13.D14.D15.C16.C15.給出命題：有兩個(gè)面平行，其余各個(gè)面都是平行四邊形的多面體一定是棱柱；命題：對(duì)任意且，均存在所有側(cè)面都是直角三角形的棱錐，則（）.

A.都是真命題B.是真命題，是假命題C.是假命題，是真命題D.都是假命題

【答案】C【解析】對(duì)于命題：下左圖即為反例，故命題為假命題；對(duì)于命題：如右上圖所示，在該棱錐中，底面.在底面中，，，…….根據(jù)三垂線定理，即可使得所有側(cè)面都是直角三角形，即命題為真命題.16.在正三棱錐中，且兩兩垂直，是的中點(diǎn)，過直線作平面，則直線與平面所成角的最大值為（）.

A.B.C.D.

【答案】C【解析】以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，再設(shè)平面還通過棱上一點(diǎn)，可得，易得平面的一個(gè)法向量為.又，設(shè)直線與平面所成角為，則.令，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，∴，選C.

三．解答題17.【答案】（1）；（2）.18.【答案】（1）；（2）.19.【答案】（1）；（2）.20.四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，且，，是的中點(diǎn).

（1）求二面角的余弦值；

（2）求異面直線和之間的距離.【答案】（1）；（2）.【解析】（2）取中點(diǎn)，連接，作，垂足為，易得平面.根據(jù)底面是平行四邊形，所以，故平面，所以線段的長(zhǎng)度即為直線與平面間的距離，也即異面直線和之間的距離.在中，，所以異面直線和之間的距離為.（1）再過點(diǎn)作，連接，根據(jù)三垂線定理可知，所以為二面角的平面角.在中，；在中，，所以，所以二面角的余弦值為.21．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是的中點(diǎn)，分別是上的動(dòng)點(diǎn).考查過三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面：

（1）當(dāng)是的中點(diǎn)且是的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出截面的周長(zhǎng)和面積；

（2）當(dāng)時(shí)，若截面為六邊形，求的取值范圍；

（3）當(dāng)是的中點(diǎn)且截面為五邊形時(shí)，是否存在點(diǎn)，使得截面將正方體分為體積比的兩個(gè)部分，若存在，求出的值；若不存在，