專題04圓與方程-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試好題匯編(人教A版2019)

專題04圓與方程考點(diǎn)一圓的方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)圓心半徑為r一般充要條件：圓心坐標(biāo)：半徑：1．（2020·北京市第十二中學(xué)高二期中）已知圓的一條直徑的端點(diǎn)分別是，，則該圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓心，由兩點(diǎn)間距離公式求出半徑，即可得到圓的方程．【詳解】解：由題意可知，，的中點(diǎn)為，又圓的半徑為，故圓的方程為．故選：B．2．（2021·北京牛欄山一中高二期中）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），點(diǎn)M滿足|MA|=2，那么M點(diǎn)的軌跡方程是（）A．x2+y2+2x3=0 B．x2+y22x3=0 C．x2+y2+2y3=0 D．x2+y22y3=0【答案】A【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用已知條件列出方程化簡求解即可．【詳解】解：設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)滿足，可得：，即：，所以M點(diǎn)的軌跡方程是.故選：A．3.（2020·黔西南州同源中學(xué)高二期中）圓心為(1，－2)，半徑為3的圓的方程是_________【答案】【分析】結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，圓的圓心為，半徑為3，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：4.（2020·上海徐匯·南洋中學(xué)高二期中）方程表示一個圓，則m的取值范圍是_______【答案】【分析】把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．【詳解】方程，即表示圓，，求得，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為，故答案為：5.（2020·合肥市廬陽高級中學(xué)）（1）求過點(diǎn)，，且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）已知圓C：，圓心在直線上，且圓心在第二象限，半徑長為求圓的一般方程.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求得線段的垂直平分線方程，由此求得圓心坐標(biāo)以及圓的半徑，即而求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓心的位置以及半徑求得，由此求得圓的一般方程.【詳解】（1）線段的中點(diǎn)為，線段的斜率為，所以線段的垂直平分線的斜率為，線段的垂直平分線方程為.，即圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）圓心，∵圓心在直線上，∴，即.①又∵半徑長，∴.由①②可得或又∵圓心在第二象限，∴，即.則.故圓的一般方程為.考點(diǎn)二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系理論依據(jù)：點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)．①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點(diǎn)在圓上；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點(diǎn)在圓外；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?點(diǎn)在圓內(nèi)．1.（2020·青海湟川中學(xué)高二期中）過點(diǎn)可以向圓引兩條切線，則的范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)方程表示圓，以及點(diǎn)在圓外，列不等式即可求解.【詳解】因?yàn)楸硎緢A，所以，解得：，若過點(diǎn)可以向圓引兩條切線，則點(diǎn)在圓外，所以，解得，所以的范圍是，故選：C.2.（2021·全國高二期中練習(xí)）圓上與點(diǎn)距離最大的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷點(diǎn)（0，5）和圓的位置關(guān)系，進(jìn)而通過數(shù)形結(jié)合找到距離最大值的位置，即在該點(diǎn)與圓心所確定的直線上，最后解出直線與圓的交點(diǎn)得到答案.【詳解】因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓外，過圓心與點(diǎn)的直線的斜率，則直線方程為：.聯(lián)立或,由兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)（3，2）與點(diǎn)（0，5）之間的距離為：，點(diǎn)（1，4）與點(diǎn)（0，5）之間的距離為：.故選：B.3.（2021·全國高二期中練習(xí)）已知圓的方程為，要使過定點(diǎn)的圓的切線有兩條，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】【分析】由過點(diǎn)的圓的切線有兩條，可知點(diǎn)A必在圓外，由點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，列出不等關(guān)系，即得解【詳解】將圓的方程配方得，圓心的坐標(biāo)為，半徑，其中，若過點(diǎn)的圓的切線有兩條，則點(diǎn)A必在圓外，即.化簡得.由，解得，故a的取值范圍是.考點(diǎn)三圓與圓的位置關(guān)系兩圓圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系與兩圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1半徑為r1，圓O2半徑為r2相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖形量的關(guān)系1.（2020·四川省瀘縣第二中學(xué)高二期中）已知圓和圓，則圓與圓的位置關(guān)系為（）A．外切 B．內(nèi)切 C．相交 D．外離【答案】A【分析】根據(jù)圓的方程確定圓的圓心和半徑，再根據(jù)兩圓圓心間的距離與兩圓半徑的大小關(guān)系判斷兩圓的位置關(guān)系.【詳解】因?yàn)閳A，所以，半徑為5,因?yàn)閳A，所以，半徑為5，由于，等于兩圓半徑之和，所以圓與圓外切.故選：A2.（2021·全國高二期中）（多選題）圓與圓的公共弦長為，則實(shí)數(shù)的值可能為（）A． B． C． D．【答案】CD【分析】先求得公共弦所在直線的方程為，結(jié)合弦長公式，求得圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程即可求解.【詳解】由圓和圓，兩式相減，可得公共弦所在直線的方程為，因?yàn)閮蓤A的公共弦長為，且圓的圓心為，半徑為2，設(shè)圓心到直線的距離為的距離，可得，又由圓心到直線的距離為，即，解得或.故選：CD.3.（2021·安徽高二期中）以圓：與圓：相交的公共弦為直徑的圓的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先兩圓相減，求公共弦所在的直線方程，和圓心連線的方程聯(lián)立求圓心，再根據(jù)弦長公式求半徑，最后表示圓的方程.【詳解】∵圓與圓，∴兩圓相減可得公共弦方程為，即又∵圓的圓心坐標(biāo)為(?2,0),半徑為；圓的圓心坐標(biāo)為(?1,?1)，半徑為1，∴的方程為∴聯(lián)立可得公共弦為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(?1,?1)，∵(?2,0)到公共弦的距離為：，∴公共弦為直徑的圓的半徑為：，∴公共弦為直徑的圓的方程為故選：B.4.（2020·江西宜春九中高二期中）已知圓和圓恰有三條公共切線，則的最小值為（）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】根據(jù)兩圓有三條公切線得到兩圓的位置關(guān)系，從而得到滿足的等式，再根據(jù)的幾何意義求解出的最小值.【詳解】因?yàn)閳A與圓有三條公切線，所以圓與圓外切，因?yàn)?，，，，所以，所以，所以的軌跡是圓心在原點(diǎn)、半徑為的圓，又因?yàn)楸硎九c的距離，所以.故選：B.5.（2021·全國高二期中）已知兩圓，．（1）求證：此兩圓相切，并求切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求過點(diǎn)且與兩圓相切于上述切點(diǎn)的圓的方程．【答案】（1）證明見解析，；（2）．【分析】（1）求出兩圓的圓心和半徑，比較圓心距等于半徑之和即可求證兩圓相切；兩圓方程相減可得公切線方程，再求出直線的方程，聯(lián)立兩條直線的方程即可求得切點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由題意可得所求圓的圓心必在直線上，設(shè)圓心為，再結(jié)合點(diǎn)和切點(diǎn)到圓心的距離相等列方程可得圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而可得半徑，即可求解.【詳解】（1）由圓可得：，由圓可得：，因此兩圓心分別為，，兩圓的半徑，圓心距，所以兩圓外切．由兩式相減得，易知直線經(jīng)過切點(diǎn)，且的方程為，即，由解得所以切點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）與兩圓切于點(diǎn)的圓的圓心必在已知兩圓的圓心連線：上，設(shè)圓心為，則，解得，所以，故所求圓的方程為．1.（2020·永豐縣永豐中學(xué)高二期中）圓關(guān)于直線對稱的圓的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出圓心關(guān)于直線對稱的圓的圓心，即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑，則不妨設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的圓的圓心為，半徑為，則由，解得，故所求圓的方程為.故選：D2.（2020·遼寧大連市·高二期中）圓與圓的位置關(guān)系為（）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離【答案】A【分析】根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系可判斷.【詳解】圓，即，表示以為圓心，半徑等于1的圓.圓，表示以為圓心，半徑等于3的圓.兩圓的圓心距，，故兩個圓相內(nèi)切.故選：A.3.（2018·四川雅安中學(xué)高二期中）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，再求函數(shù)的取值范圍即可【詳解】解：設(shè)，則因?yàn)?，所以的取值范圍為，故選：C4．（2020·浙江高二期中）已知圓C：上存在兩個點(diǎn)到點(diǎn)的距離為，則m可能的值為（）A．5 B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知以為圓心，以為半徑的圓與圓C有兩個交點(diǎn)，由兩圓相交滿足：，列式求解即可.【詳解】以為圓心，以為半徑的圓：，圓C：圓心為，半徑，圓心距，由題意可得兩圓相交，即，解得.故選：C5.（2021·浙江溫州·高二期中）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元首262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼期圓．已知，，圓上有且僅有一個點(diǎn)P滿足，則r的取值可以為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用已知條件列出方程，化簡可得點(diǎn)P的軌跡方程，由點(diǎn)P是圓C：上有且僅有的一點(diǎn)，可得兩圓相切，進(jìn)而可求得r的值．【詳解】設(shè)動點(diǎn)，由，得，整理得，又點(diǎn)是圓：上有且僅有的一點(diǎn)，所以兩圓相切.圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓C：的圓心坐標(biāo)為，半徑為r，兩圓的圓心距為3，當(dāng)兩圓外切時，，得，當(dāng)兩圓內(nèi)切時，，，得．故選：A.6．（2020·永豐縣永豐中學(xué)高二期中）已知圓和兩點(diǎn)，，若圓上存在點(diǎn)，使得，則的最大值為（）．A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】首先根據(jù)題意得到若圓上存在點(diǎn)，使得，則以為直徑的圓與圓有交點(diǎn).從而得到圓與圓內(nèi)切時，取得最大值，再求最大值即可.【詳解】圓，圓心，半徑.若圓上存在點(diǎn)，使得，則以為直徑的圓與圓有交點(diǎn).如圖所示：當(dāng)圓與圓內(nèi)切時，取得最大值..故選：D7．（2020·安徽立人中學(xué)高二期中）已知點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，點(diǎn)S在x軸上，則的最小值為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】本題目是數(shù)形結(jié)合的題目，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的原則，可以將轉(zhuǎn)換為，連接，找到點(diǎn)的位置，從而求出線段和的最小值【詳解】將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，如下圖所示：作點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接與圓相交于點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)，此時，的值最小，且，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得：點(diǎn)坐標(biāo)為，半徑，所以，，所以最小值為9故選：C8．（2019·安徽滁州·高二期中）已知圓，點(diǎn)，分別是圓，圓上的動點(diǎn)，為軸上的動點(diǎn)，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用圓的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，利用對稱性和三點(diǎn)共線求最值的方法即可得出結(jié)果.【詳解】解：由題意可知，圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑為，要使得取最大值，需的值最大，的值最小.其中的最大值為,的最小值為則的最大值為點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，，所以的最大值為.故選：C.9．（2021·廣東廣州市第二中學(xué)高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓：，若直線：上有且只有一個點(diǎn)滿足：過點(diǎn)作圓C的兩條切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，且使得四邊形PMCN為正方形，則正實(shí)數(shù)m的值為（）A．1 B． C．3 D．7【答案】C【分析】根據(jù)四邊形PMCN為正方形可得，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離為可求得結(jié)果.【詳解】由可知圓心，半徑為，因?yàn)樗倪呅蜳MCN為正方形，且邊長為圓的半徑，所以，所以直線：上有且只有一個點(diǎn)，使得，即，所以圓心到直線的距離為，所以，解得或（舍）.故選：C10．（2020·青海西寧市·湟川中學(xué)高二期中）已知圓，點(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)向圓引兩條切線，，，為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過的定點(diǎn)（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，可得以為直徑的圓的方程，兩圓方程相減，可得其公共弦，化為，由可得結(jié)果.【詳解】由可得：，因?yàn)辄c(diǎn)為直線上一動點(diǎn)，設(shè)，是圓的切線，，是圓與以為直徑的兩圓的公共弦，的中點(diǎn)為，可得以為直徑的圓的方程為：，①又，②①與②相減得：，化為，由可得，可得總滿足直線方程，即過定點(diǎn)，故選：B.11．（2020·浙江高二期中）已知點(diǎn)Q是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，則的最小值為___________.【答案】【分析】根據(jù)題意易求出點(diǎn)的軌跡為圓，軌跡方程為，再根據(jù)兩圓的位置關(guān)系即可求出的最小值．【詳解】設(shè)，由可得，，化簡得，，所以點(diǎn)的軌跡為圓，圓心坐標(biāo)為，點(diǎn)Q在圓上，兩圓的圓心距為，所以兩圓相離，故的最小值為．故答案為：．12．（2020·江蘇金陵中學(xué)）在平面直角坐標(biāo)系中，若圓和圓關(guān)于直線對稱，則直線的方程為________.【答案】【分析】直線為兩個圓心的中垂線，分別求圓心，利用點(diǎn)斜式求解即可.【詳解】若圓和圓關(guān)于直線對稱，則直線為兩個圓心的中垂線，的圓心為，的圓心為.，中點(diǎn)為可得直線為，整理得：.故答案為：.13．（2021·臺州市書生中學(xué)高二期中）已知實(shí)數(shù)、滿足方程．求：的取值范圍為_______；的最小值為________；的取值范圍為__________.【答案】【分析】設(shè)，可得出直線與圓有公共點(diǎn)，可求得的取值范圍；設(shè)，可得出直線與圓有公共點(diǎn)，可求得的取值范圍；設(shè)，可得出圓與圓有公共點(diǎn)，可求得的取值范圍，即可求得的取值范圍.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為.設(shè)，可得，則直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得，則的取值范圍為；設(shè)，可得，則直線與圓有公共點(diǎn)，則，解得，則的最小值為；設(shè)，由于，則原點(diǎn)在圓外，因?yàn)閳A與圓有公共點(diǎn)，圓心距為，故，解得，故.即的取值范圍為.故答案為：；；.14．（2018·珠海市第二中學(xué)高二期中）已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，則ab的最大值為_____________．【答案】【分析】根據(jù)兩圓外切可得(a＋b)2＝(2＋1)2并結(jié)合基本不等式計算即可.【詳解】由兩圓外切可得圓心(a，－2)，(－b，－2)之間的距離等于兩圓半徑之和，即(a＋b)2＝(2＋1)2，即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號，即ab的最大值是．故答案為：15．（2019·安徽銅陵一中高二期中）若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦長為，則a＝________.【答案】1【分析】先求得相交弦所在直線方程，然后利用勾股定理列方程，解方程求得的值.【詳解】將兩圓的方程相減，得相交弦所在的直線方程為.圓的圓心為，半徑為.到直線的距離為：，解得.故答案為：16．（2019·浙江臺州·高二期中）兩圓相交于兩點(diǎn)和，兩圓圓心都在直線上，且、均為實(shí)數(shù)，則__________．【答案】【分析】設(shè)兩圓交點(diǎn)為和，根據(jù)題意可知：直線是線段的垂直平分線，故可求得所在直線斜率，進(jìn)而求得，在利用中點(diǎn)公式和的值求出線段中點(diǎn)，代入，即可求出的值，即可得的值.【詳解】由題意可知：直線時線段的垂直平分線，又直線的斜率為，則，且，解得，則，故答案為：17．（2020·山東濟(jì)寧市兗州區(qū)教學(xué)研究室高二期中）在①，；②，；③，中任選一個，補(bǔ)充在下列問題中，并解答.已知，的中點(diǎn)坐標(biāo)是，且______.（1）求直線的方程；（2）求以線段為直徑的圓的方程.【答案】條件選擇見解析；（1）；（2）.【分析】先分別選①②③，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，（1）先利用，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出直線的方程；（2）求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，就是圓的圓心，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求出的長度，就是圓的直徑，從而可求出圓的方程【詳解】若選①，則，所以，；若選②，則，所以，；若選③，則，所以，；（1）設(shè)直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，則有，化簡得.（2）由，所以圓的半徑，圓心坐標(biāo)為，所以圓的方程為.18．（2020·山東濰坊市·高二期中）已知圓：過點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圓心、半徑；（2）若直線分別與軸，軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，求面積的取值范圍.【答案】（1），圓心為，，半徑為（2），【分析】（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的方程求得值，可得圓的方程，配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心坐標(biāo)與半徑；（2）由題意得與的坐標(biāo)，求得，再求出圓心到直線的距離，可得點(diǎn)到直線的距離的最小值與最大值，則面積的取值范圍可求．【詳解】（1）由題意，，解得；圓的方程為，化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心為，，半徑為；（2）由題意得，，，，，圓心到直線的距離，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，最大值為．的面積的最小值為，最大值為．面積的取值范圍是，．19．（2020·青海西寧市·湟川中學(xué)高二期中）已知圓與圓相外切，切點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與圓交于點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為.（1）求